精品解析：四川省乐山市高中2026届高三上学期第一次调查研究考试数学试题

乐山市高中2023级第一次调查研究考试 数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再利用共轭复数、复数的模的概念运算. 【详解】因为，所以， 则 ，故. 故选：C 2. 已知两条平行直线，，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程变形为，根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】直线可变形为， 则根据两平行直线间的距离公式可知直线与间的距离为：. 故选：B. 3. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和偶函数的性质求出时， ，再根据的范围，解不等式. 【详解】当时，则 ，由题意得，因为函数是定义域为的偶函数，所以，即时，； 又因为，所以当时，，解得；当 ，，解得，综上所述的取值范围是， 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，角与角均以 为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由题意， ，由诱导公式和二倍角的余弦公式代入化简得出答案；解法二：由两角差的正弦公式可得，对其两边平方可求出，再结合，即可得出答案. 【详解】解法一：由题意可得：， ，从而 ； 解法二：由得，平方可得， 所以，又， ， 从而. 故选：D. 5. 已知点，圆，以为直径的圆与圆相交于，两点，则直线 与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】得到 ⊥，为圆的半径，故直线 与圆相切. 【详解】如图所示，由于为直径，故 ⊥， 又为圆的半径，故直线 与圆相切. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，众数的估计值为；C选项，先确定50%分位数所在区间，设为，进而得到方程，求出答案；D选项，中间值作代表，求出平均数的估计值. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得 ， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知向量，满足，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 8. 已知曲线在点处的切线方程是． （1）求，的值； （2）若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由切点在切线方程上，求出 ，又利用切线的斜率建立方程得到，即解出. （2）由（1）知，利用导数研究的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为切点在切线方程上，所以 . 对于，可变形为， 则曲线在点处的切线的斜率是， 而，. 综上可得， ，. 【小问2详解】 由（1）知，，令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若在区间有唯一极值点， 则或， 解得或， 则的取值范围为. 9. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面底面 ，且，，． （1）证明：； （2）若三棱锥 的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， ，， 侧面底面 ，且侧面 底面，平面， 底面 ，又平面 ，， 在矩形 中，，，，，且夹角均为直角，，， 又平面 ，且，平面 ， 又 平面 ，. （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质推出线面垂直，进而得到线线垂直； （2）由题意得建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 三棱锥 的体积为，， 由题意得以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，故平面的法向量为， 又由图可知，平面的法向量为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为 10. 北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…， 的和． （1）若， ． ①求的值； ②求． （2）已知数列的通项公式为 ，其前n项和记为．数列满足 ，且．将与的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数列．设，证明： ． 【答案】（1）① ；②； （2）因为， 所以， 又， 所以 ， 与的公共项满足，所以 当时，公共项组成的新数列 ，所以， 所以，所以 所以 . 【解析】 【分析】（1）由 和得到 ，代入公式分别求得； （2）分别求出，得到，放缩，累加得，放缩得证. 【小问1详解】 ①当 层时，下底的长 ，宽 ， 代入公式得 ； ②当 时，下底 ，宽 ，代入公式得 ； 【小问2详解】 略 11. 有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时（如图），一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式.记 时，表示满足条件的握手方法总数． （1）求，； （2）已知，把人顺时针标记为1，2，…，10，在1和2握手的情况下，求9和10握手的概率； （3）已知：对任意个随机变量，，…，，有.当 时，随机变量表示相邻两人握手的对数，其期望记为，求（用n和表示）. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将人进行标记，再分和讨论即可； （2）根据（1）中结论，并结合条件概率公式即可得到答案； （3）求出，再计算出，最后代入计算即可. 【小问1详解】 当时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，用表示和 握手． 若1和2握手，共有两种方法：和； 若1和6握手，共有两种方法：和； 若1和4握手，共有1种方法：． 所以，． 当时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，7，8，用表示和 握手． 若1和2握手，剩下6人，情况同，共5种方法； 若1和8握手，由对称性，情况同1和2握手，共5种方法； 若1和4握手，则2和3握手，剩下4人，共2种方法； 若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法； 所以，种方法． 【小问2详解】 设 “1和2握手”，“9和10握手”． ， 所以. 【小问3详解】 记，，其中 表示第1个人. 和握手时，情况和 个人时一样，共种方法， 则． 设， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市高中2023级第一次调查研究考试 数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知两条平行直线，，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角 与角均以 为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，圆，以为直径的圆与圆 相交于， 两点，则直线 与圆 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知向量，满足，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 8. 已知曲线在点处的切线方程是． （1）求， 的值； （2）若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 9. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形，侧面底面，且，，． （1）证明：； （2）若三棱锥 的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 10. 北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…， 的和． （1）若， ． ①求的值； ②求． （2）已知数列的通项公式为 ，其前n项和记为．数列满足 ，且．将与的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数列．设，证明： ． 11. 有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时（如图），一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式.记 时，表示满足条件的握手方法总数． （1）求，； （2）已知，把人顺时针标记为1，2，…，10，在1和2握手的情况下，求9和10握手的概率； （3）已知：对任意个随机变量，，…，，有.当 时，随机变量表示相邻两人握手的对数，其期望记为，求（用n和表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $