专题06 圆及直线与圆的位置关系（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学讲义通过核心考点表格系统梳理圆及直线与圆位置关系的知识体系，涵盖基本概念、定理及位置关系，用对比表格呈现圆心角与圆周角定理、直线与圆位置关系等重难点，分知识点分层梳理性质与判定，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于十大题型分类训练，包含例题与变式，如垂径定理应用、切线证明等，结合实际情境题培养数学眼光，通过推理题发展推理意识。分层练习满足不同学生需求，易错点提醒助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

专题06 圆及直线与圆的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质（弦、直径、弧、等弧等） 能准确识别圆的相关概念，熟练区分优弧与劣弧、等弧的判定条件，掌握圆的对称性及三角形外接圆与外心的性质 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是混淆等弧的前提、误将弦心距与半径等同； 圆心角与圆周角定理及推论 能熟练运用圆心角定理“知一推三”的关系，准确应用圆周角定理及推论解决角度计算与证明问题，掌握圆内接四边形的性质 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是忽略“同弧或等弧”前提误用圆周角定理、混淆圆内接四边形的对角与邻角关系 垂径定理及其推论 能准确理解垂径定理的核心条件与结论，熟练运用定理及推论解决弦长、半径、弦心距的计算问题，会添加“过圆心作弦的垂线”等常用辅助线 重点高频考点，多为选择、填空题或解答题计算环节；命题趋势是结合几何图形求线段长度，常作为解答题关键步骤，分值3-5分 直线与圆的位置关系 能根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置，熟练运用切线的判定定理证明直线是圆的切线，灵活应用切线的性质定理解决相关计算，掌握切线长定理 核心难点考点，解答题必考；易错点是切线判定时遗漏“经过半径外端”或“垂直于半径”的条件、误用切线长定理的角平分线性质 三角形的内切圆与内心 能准确识别三角形内心的位置与性质，熟练运用内心到三边距离相等的性质解决问题，掌握直角三角形内切圆半径公式并能计算 基础中档考点，常出现在选择、填空题；命题趋势是单独考查内心性质或结合面积计算，难度不大 知识点01 圆的基本概念与性质 1．圆的定义 旋转定义：平面内，线段绕固定端点（圆心）旋转一周，另一个端点形成的图形； 集合定义：所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。 表示方法：以点为圆心的圆记作，读作“圆”。 2．圆的相关概念 概念 定义 关键备注 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦（经过圆心） 直径 经过圆心的弦 圆中最长的弦 弧 圆上任意两点间的部分（简称弧） 用符号“”表示，如 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 半圆是特殊的弧，不是优弧或劣弧 优弧 大于半圆的弧 用三个字母表示，如 劣弧 小于半圆的弧 用两个字母表示，如 等弧 能互相重合的弧 前提：同圆或等圆中 3．圆的确定 过一点作圆：无数个（以该点外任意一点为圆心，两点距离为半径）； 过两点作圆：无数个（圆心在线段的垂直平分线上）； 过三点作圆：仅当三点不在同一直线上时，有且只有一个圆（圆心是两条线段垂直平分线的交点）。 4．三角形的外接圆与外心 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 外心：外接圆的圆心（三角形三条边垂直平分线的交点）； 位置规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 5．圆的对称性 轴对称性：有无数条对称轴（过圆心的任意直线）； 中心对称性：对称中心为圆心（绕圆心旋转与原图形重合）。 知识点02 圆心角与圆周角 1．核心定义 圆心角：顶点在圆心的角； 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。 2．关键定理与推论 定理/推论 具体内容 圆心角相关定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦心距相等（知一推三） 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等（同圆或等圆中） 圆周角推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径 圆周角推论3 三角形一边上的中线等于这边的一半该三角形是直角三角形 3．圆内接四边形的性质 对角互补（，）； 任意一个外角等于它的内对角（如的外角）。 知识点03 垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2．重要推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦且平分另一条弧； 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 3．常用辅助线：过圆心作弦的垂线（连半径、造直角三角形，结合勾股定理求弦长、半径、弦心距）；弧中点连圆心（得垂直平分关系）。 知识点04 直线与圆的位置关系 1．三种位置关系（设半径为，圆心到直线距离为） 位置关系 数量关系(与) 交点个数 相离 0个 相切 1个（切点） 相交 2个（割线） 2．切线的判定与性质 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两条件缺一不可）； 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 二推一定理：①过圆心、②过切点、③垂直切线，已知任意两个可推出第三个。 3．切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长为切线长； 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 4．三角形的内切圆与内心 内切圆：与三角形各边都相切的圆； 内心：内切圆的圆心（三角形三条内角平分线的交点）； 核心性质：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）； 常用公式：直角三角形内切圆半径（、为直角边，为斜边）；任意三角形面积（、、为边长）。 知识点05 与圆有关的计算 1．弧长公式：（为圆心角度数，为圆的半径）。 1．扇形面积公式 ； （为扇形弧长）。 3．圆柱与圆锥的相关计算 立体图形 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 圆柱 矩形（长=底面周长，宽=圆柱高） 圆锥 扇形（半径=母线长，弧长=底面周长） 知识点06 正多边形和圆 1．核心概念 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆（正多边形是圆的内接正多边形）； 中心：正多边形外接圆的圆心； 半径：外接圆的半径（正多边形的半径）； 中心角：正多边形每一边所对的圆心角（度数为，为边数）； 边心距：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）。 关键关系：正多边形的中心、半径、边心距构成直角三角形（可结合勾股定理计算边长、边心距等）。 题型一 垂径定理及其应用。 【例1】如图，是的直径，是的弦，于点．若，则的半径为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵是的直径，是的弦，于点，， ∴． ∵， ∴， ∴的半径为5． 故选：B． 【例2】“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【答案】 【分析】 【详解】解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 答：门洞的半径约为． 【变式1-1】已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式1-2】如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【答案】/度 【分析】 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 题型二 圆周角定理。 【例3】如图，是的直径，，为圆上两点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，所对的圆周角为，所对的圆心角为， ， ， 故选：A． 【例4】如图，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式2-1】如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，点A、B、C是上三点， ，则等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：点A、B、C是上三点， ， ． 故选：B． 【变式2-3】如图，某景区要在月亮洞洞口安装装饰灯带，需要先确定洞口的尺寸和相关角度： (1)测量得洞口（圆弧形）的水平宽度约，洞高约，为了定制刚好贴合洞口边缘的灯带，需要先算出这个圆弧形洞口的半径的长度； (2)景区计划在洞顶上安装1个监控探头（点M在上），已知圆心角，需要计算该探头看洞口时的视角的度数． 【答案】(1)米 (2) 【分析】 【详解】（1）解：设． 由题意知，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴半径的长度为米． （2）解：如图，补全，在的下方取一点N，连接， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 题型三 圆内接四边形。 【例5】如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 【例6】如图，四边形内接于，D是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的直径长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴ ． ∴． ∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：如图，连接并延长，交于点F，连接． ∵是的直径， ∴． ∵ ， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的直径长为10． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质和判定，直径所对圆周角为直角，圆周角定理，以及直角三角形性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 【变式3-1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ， 故选：D． 【变式3-2】如图，点分别在以为直径的半圆上，连接，已知，求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，， ∴ ． 故选：B． 【变式3-3】如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：平分， ， ， ． （2）证明： ， ， 四边形内接于， ， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 题型四 三角形的外接圆与外心 【例7】如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 【例8】如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）解： ， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：． （2）解：∵圆心D点坐标为：， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， 故答案为：，． 【变式4-2】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 【答案】2.5 【详解】解：， ， 解得：，， 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根， 直角三角形的斜边长为， 此直角三角形外接圆的半径等于， 故答案为：． 【变式4-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 题型五 直线与圆的位置关系。 【例9】平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【详解】的半径，圆心到直线的距离， ，即， 直线与相交． 故选． 【例10】如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 【变式5-1】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】解：∵圆心到轴的距离为5，的半径，， ∴与轴相离， 故选：A． 【变式5-3】如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】 【详解】解：∵，，是边上的中点， ∴， ∴， 作交于， ∴， 解得：， 即直线与的位置关系是相离． 故答案为：相离． 题型六 切线的性质与判定。 【例11】如图，四边形的外接圆是以为直径的，延长至点，连接，使得，连接与交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若点是的中点，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如下图，过点作于点． 点是的中点，， ， ， 是的直径， ， ， ． ， ． ，即． ， ，即． ． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于90度，切线的证明，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【例12】如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 【变式6-1】如图，是直角三角形，，以为直径的与相切于点，交于两点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接，交于点， 是的切线， ，， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； （2）连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． ∵，是半径， ∴， ∴． 【变式6-2】如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ∴半径于点D， 是的切线； （2）解：连接， ， ， ，，， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ． 【变式6-3】如图，是的外接圆，是直径，点D是上的一个点，且． (1)求证：． (2)E是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）证明：是的外接圆，是直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 又是半径， 为的切线． 题型七 三角形内切圆与内心。 【例13】《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 【例14】设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵两直角边分别为的直角三角形， ∴斜边长为， ∵直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点， ∴， ∵直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式7-1】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】九章算术中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于 步（注：“步”为古代长度单位）． 【答案】 【详解】解：根据勾股定理得：斜边长为， 该直角三角形内切圆的半径为（步）， 该直角三角形内切圆的直径为（步）． 故答案为：． 【变式7-3】如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，圆心为（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）设内切圆的半径为， 在中，，，， ， ，， 又 ，即， ， 故答案为：． 题型八 正多边形和圆。 【例15】如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形，矩形，矩形，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，交于点M，，交于点N，过点O作于点P，连接，，，，如图， ∵A，B，C，D•••，K，L为圆的十二等分点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 由题意得：点M为的中点，点N为的中点， ∴，， ∵四边形为圆的内接正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 【例16】如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 【变式8-2】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，过作于， ∵圆的内接正十二边形的每条边所对的圆心角为， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：3． 【变式8-3】如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型九 弧长与扇形面积的计算。 【例17】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为，则， 解得 ∴扇形面积， 故答案为：． 【例18】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 【变式9-1】如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴点A经过的路线的长度是＝， 故选D． 【变式9-2】如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式9-3】如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转得到．求点运动的路程． 【答案】 【分析】 【详解】解：在中，由勾股定理得， 点绕点逆时针旋转， 运动轨迹是圆心角，半径的弧， 由弧长公式得：． 即点运动的路程为． 题型十 圆锥的计算。 【例19】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 【答案】 【分析】 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 【例20】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ∵ 圆锥底面圆的周长为 ，且扇形弧长为 ， ∴， 解得 ． 故选B． 【变式10-1】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是 ． 【答案】16 【分析】 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 【变式10-2】扇形的半径为9，弧所对的圆心角为，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】2 【详解】解：扇形的弧长为 ． 设圆锥底面半径为 ，则底面周长为． 由题意，，解得 ． 故答案为：2． 【变式10-3】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 11．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、 与不一定相等，符合题意；     B、 ∵直径， ∴，故不符合题意； C、∵直径， ∴，故不符合题意； ∴，故D不符合题意， 故选：A． 2．如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图在中，，，，将绕顶点顺时针方向旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点所经过的最短路线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕顶点顺时针方向旋转至的位置， ∴， ∵、、三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴点所经过的最短路线是以为半径，圆心角为的弧， ∴点所经过的最短路线的长为（）， 故选：D． 4．已知的半径r为3，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内部 B．点P在外部 C．点P在内部或点P在外部 D．点P在上或点P在外部 【答案】C 【详解】解：方程， 解得，， ∴当，时，点P在圆内； 当，时，点P在圆外， ∴点在的内部或点在的外部． 故选：C． 5．如图，在中，，D为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点E．若，则的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【详解】解：记圆心为，连接， 设， 与相切于点E， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 解得； 故选：B． 6．某款“不倒翁”（图1）从正面看的形状图如图2，，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作的垂线，过点作的垂线，相交于点， ，为圆心， ， ， ， 对应的圆心角为， 的长是． 故选：D． 7．圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π） 【答案】1200π 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，母线长， 则侧面积． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为6，点A的坐标是．则点D的纵坐标是 ． 【答案】3 【详解】解：∵与x轴、y轴都相切，设切点分别为，连接， ∴轴，轴， 延长接分别交，点M，F， ∵矩形， ∴，， ∴四边形，，均为矩形， ， ∵， ∴四边形为正方形， ∵的半径为6， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标是3， 故答案为：3． 9．如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】 【详解】（1）证明：如图，连接、， 由作法可知，， 又∵，， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点D． (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，过点O作于点G， ，， 得矩形， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 11．如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， 解得：（舍去）． ∴， ∴的半径为12． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度． 2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴、、、四点共圆，故①正确； ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故②正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故③正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，即 ∴（舍负），故④错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵ ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，圆的确定等知识点，难度大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 3．如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 5．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为4 【分析】 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为，则， ∵是的切线， ∴，即． ∵是的中点， ∴，即, ∵， ∴， 又，故①。 由得， ∴,则②, 联立①②知，，则，即 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得（舍去）． 故半径的长为． 6．已知是的外接圆． (1)如图1，过点B作于点E，交于点D，连接，若平分． ①求证：． ②若，的半径为2，求的长； (2)如图2，过点O作于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】 【详解】（1）解：①证明：作于点M，于点N，连接，如图1， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴． 设， 则，， 在中，， 则， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：如图2，连接，连接并延长交于点H， ∵于点F， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，即点E是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，圆周角定理及推论，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，弧、弦关系，弦、弦心距关系，垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆及直线与圆的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质（弦、直径、弧、等弧等） 能准确识别圆的相关概念，熟练区分优弧与劣弧、等弧的判定条件，掌握圆的对称性及三角形外接圆与外心的性质 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是混淆等弧的前提、误将弦心距与半径等同； 圆心角与圆周角定理及推论 能熟练运用圆心角定理“知一推三”的关系，准确应用圆周角定理及推论解决角度计算与证明问题，掌握圆内接四边形的性质 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是忽略“同弧或等弧”前提误用圆周角定理、混淆圆内接四边形的对角与邻角关系 垂径定理及其推论 能准确理解垂径定理的核心条件与结论，熟练运用定理及推论解决弦长、半径、弦心距的计算问题，会添加“过圆心作弦的垂线”等常用辅助线 重点高频考点，多为选择、填空题或解答题计算环节；命题趋势是结合几何图形求线段长度，常作为解答题关键步骤，分值3-5分 直线与圆的位置关系 能根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置，熟练运用切线的判定定理证明直线是圆的切线，灵活应用切线的性质定理解决相关计算，掌握切线长定理 核心难点考点，解答题必考；易错点是切线判定时遗漏“经过半径外端”或“垂直于半径”的条件、误用切线长定理的角平分线性质 三角形的内切圆与内心 能准确识别三角形内心的位置与性质，熟练运用内心到三边距离相等的性质解决问题，掌握直角三角形内切圆半径公式并能计算 基础中档考点，常出现在选择、填空题；命题趋势是单独考查内心性质或结合面积计算，难度不大 知识点01 圆的基本概念与性质 1．圆的定义 旋转定义：平面内，线段绕固定端点（圆心）旋转一周，另一个端点形成的图形； 集合定义：所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。 表示方法：以点为圆心的圆记作，读作“圆”。 2．圆的相关概念 概念 定义 关键备注 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦（经过圆心） 直径 经过圆心的弦 圆中最长的弦 弧 圆上任意两点间的部分（简称弧） 用符号“”表示，如 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 半圆是特殊的弧，不是优弧或劣弧 优弧 大于半圆的弧 用三个字母表示，如 劣弧 小于半圆的弧 用两个字母表示，如 等弧 能互相重合的弧 前提：同圆或等圆中 3．圆的确定 过一点作圆：无数个（以该点外任意一点为圆心，两点距离为半径）； 过两点作圆：无数个（圆心在线段的垂直平分线上）； 过三点作圆：仅当三点不在同一直线上时，有且只有一个圆（圆心是两条线段垂直平分线的交点）。 4．三角形的外接圆与外心 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 外心：外接圆的圆心（三角形三条边垂直平分线的交点）； 位置规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 5．圆的对称性 轴对称性：有无数条对称轴（过圆心的任意直线）； 中心对称性：对称中心为圆心（绕圆心旋转与原图形重合）。 知识点02 圆心角与圆周角 1．核心定义 圆心角：顶点在圆心的角； 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。 2．关键定理与推论 定理/推论 具体内容 圆心角相关定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦心距相等（知一推三） 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等（同圆或等圆中） 圆周角推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径 圆周角推论3 三角形一边上的中线等于这边的一半该三角形是直角三角形 3．圆内接四边形的性质 对角互补（，）； 任意一个外角等于它的内对角（如的外角）。 知识点03 垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2．重要推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦且平分另一条弧； 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 3．常用辅助线：过圆心作弦的垂线（连半径、造直角三角形，结合勾股定理求弦长、半径、弦心距）；弧中点连圆心（得垂直平分关系）。 知识点04 直线与圆的位置关系 1．三种位置关系（设半径为，圆心到直线距离为） 位置关系 数量关系(与) 交点个数 相离 0个 相切 1个（切点） 相交 2个（割线） 2．切线的判定与性质 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两条件缺一不可）； 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 二推一定理：①过圆心、②过切点、③垂直切线，已知任意两个可推出第三个。 3．切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长为切线长； 定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 4．三角形的内切圆与内心 内切圆：与三角形各边都相切的圆； 内心：内切圆的圆心（三角形三条内角平分线的交点）； 核心性质：内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）； 常用公式：直角三角形内切圆半径（、为直角边，为斜边）；任意三角形面积（、、为边长）。 知识点05 与圆有关的计算 1．弧长公式：（为圆心角度数，为圆的半径）。 1．扇形面积公式 ； （为扇形弧长）。 3．圆柱与圆锥的相关计算 立体图形 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 圆柱 矩形（长=底面周长，宽=圆柱高） 圆锥 扇形（半径=母线长，弧长=底面周长） 知识点06 正多边形和圆 1．核心概念 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆（正多边形是圆的内接正多边形）； 中心：正多边形外接圆的圆心； 半径：外接圆的半径（正多边形的半径）； 中心角：正多边形每一边所对的圆心角（度数为，为边数）； 边心距：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）。 关键关系：正多边形的中心、半径、边心距构成直角三角形（可结合勾股定理计算边长、边心距等）。 题型一 垂径定理及其应用。 【例1】如图，是的直径，是的弦，于点．若，则的半径为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例2】“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【变式1-1】已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【变式1-3】如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 题型二 圆周角定理。 【例3】如图，是的直径，，为圆上两点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【变式2-1】如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． 【变式2-2】如图，点A、B、C是上三点， ，则等于 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，某景区要在月亮洞洞口安装装饰灯带，需要先确定洞口的尺寸和相关角度： (1)测量得洞口（圆弧形）的水平宽度约，洞高约，为了定制刚好贴合洞口边缘的灯带，需要先算出这个圆弧形洞口的半径的长度； (2)景区计划在洞顶上安装1个监控探头（点M在上），已知圆心角，需要计算该探头看洞口时的视角的度数． 题型三 圆内接四边形。 【例5】如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【例6】如图，四边形内接于，D是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的直径长． 【变式3-1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点分别在以为直径的半圆上，连接，已知，求的度数（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 题型四 三角形的外接圆与外心 【例7】如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例8】如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 【变式4-2】一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 【变式4-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 题型五 直线与圆的位置关系。 【例9】平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【例10】如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式5-1】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式5-3】如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是 ． 题型六 切线的性质与判定。 【例11】如图，四边形的外接圆是以为直径的，延长至点，连接，使得，连接与交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若点是的中点，，求的值． 【例12】如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【变式6-1】如图，是直角三角形，，以为直径的与相切于点，交于两点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)，求的长． 【变式6-2】如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结．若，，求的长． 【变式6-3】如图，是的外接圆，是直径，点D是上的一个点，且． (1)求证：． (2)E是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为的切线． 题型七 三角形内切圆与内心。 【例13】《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【例14】设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则 ． 【变式7-1】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】九章算术中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于 步（注：“步”为古代长度单位）． 【变式7-3】如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，圆心为（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为______． 题型八 正多边形和圆。 【例15】如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形，矩形，矩形，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【例16】如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是 ． 【变式8-1】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式8-2】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【变式8-3】如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型九 弧长与扇形面积的计算。 【例17】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【例18】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【变式9-2】如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转得到．求点运动的路程． 题型十 圆锥的计算。 【例19】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 【例20】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 【变式10-1】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是 ． 【变式10-2】扇形的半径为9，弧所对的圆心角为，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为 ． 【变式10-3】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 11．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图在中，，，，将绕顶点顺时针方向旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点所经过的最短路线的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知的半径r为3，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内部 B．点P在外部 C．点P在内部或点P在外部 D．点P在上或点P在外部 5．如图，在中，，D为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点E．若，则的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 6．某款“不倒翁”（图1）从正面看的形状图如图2，，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π） 8．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为6，点A的坐标是．则点D的纵坐标是 ． 9．如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．如图，是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点D． (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的长． 11．如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 4．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 5．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，连接，分别与交于点． (1)求证：； (2)过点B作的切线交的延长线于点G．若，求半径的长． 6．已知是的外接圆． (1)如图1，过点B作于点E，交于点D，连接，若平分． ①求证：． ②若，的半径为2，求的长； (2)如图2，过点O作于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $