学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（华东师大版，九上+九下第26～27章）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 12. 13. 14 15 16 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) D B 图1 图Ⅱ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) P o N B 24.(10分) 图③ 图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A D .0 E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章--第27章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了张照片，则这个亲友团的人数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 8．（25-26九年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根；②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根；④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）三角形的重心是三角形三条中线的交点，如图1，点是的重心．重心有一些特殊的性质，例如图1中的6个小三角形面积相等；重心的另一个性质是将每条中线分成的比例．如图2，在等腰直角中，，，点是的重心，连接，，以为直角边作等腰直角，，，连接，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是 ． 12．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 13．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，则的值为 ． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，点E，F是对角线的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为 ． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为 。 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在锐角中，以为边作等边，以为边作，其中，，D为的中点，分别连接和，则 ． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（25-26八年级上·湖南永州·期中）（9分）计算或解方程： (1)；(2)；(3)． 20．（25-26九年级上·广东·期中）（9分）河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． (1)求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； (3)该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 21．（25-26九年级上·山西·期中）（8分）随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． (1)小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为______； (2)小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 22．（25-26九年级上·山东威海·期中）（8分）综合与实践 【问题情境】在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】(1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 23．（25-26九年级上·江苏南京·月考）（10分）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 (1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； (2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）（10分）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程： 解：分别延长、交于点M． 四边形是平行四边形，． ，，． ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为________．（用含m、n的代数式表示） 25．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）（12分）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求和的面积比； (3)求证：． 26．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）（12分）二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章--第27章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误。 B、∵ ，∴ B错误。C、∵ ，∴ C正确。 D、∵ ，∴ D错误。故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 【答案】D 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意；故选：D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，米，∵，∴， 在中，，∴米，故选：B． 4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：，故选：B． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了张照片，则这个亲友团的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设亲友团人数为，则集体照冲印张数为 （每位成员一张），合影数量为 ， ∴ 总冲印照片数 ； ∵给定总冲印照片数为 256，∴ ，∴ ；故选：C 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】B 【详解】解：∵底片上的与实物是位似图形，且位似比为2， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴, ∵，∴，故选：B． 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 【答案】B 【详解】解：连接， ∵与相切于点D，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，∴，故选项C正确，不符合题意； 又，∴， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵点是优弧上一点，∴度数不确定，故选项D正确，不符合题意；故选：B． 8．（25-26九年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根；②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根；④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①若 ，则该方程没有实数根，正确； ②若 ，此时，若，该方程没有实数根，故原说法错误； ③若 ，，则该方程一定有两个实数根，正确； ④若该方程的一个根是 ，此时，即， 当时，不一定为0，则无法确定是否为方程的根，故原说法错误；综上，正确说法有①和③，共2个．故选：B 9．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）三角形的重心是三角形三条中线的交点，如图1，点是的重心．重心有一些特殊的性质，例如图1中的6个小三角形面积相等；重心的另一个性质是将每条中线分成的比例．如图2，在等腰直角中，，，点是的重心，连接，，以为直角边作等腰直角，，，连接，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点， ∵点是的重心，∴点是的中点，点是的中点，， ∴，，，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，， ∴，且，∴， ∴，∴，故选：D． 10．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线，∴，∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上，∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，，∴，∴， 当时，，即，解得， ∴的最小值为，的最小值为，∴的最小值为．故选B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，    根据勾股定理，得，解得， 答：该门洞的半径为．故答案为： 12．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：由二次函数的顶点式可得，其开口向上，对称轴为直线，当时，函数取最小值，∵抛物线关于直线对称， 又∵处函数取最小值，∴抛物线上的点到直线越近，其纵坐标越小， 点到对称轴距离为2，点到对称轴距离为，点到对称轴距离为4， ∵，∴．故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：设，则，且， ，即，解得：，， ，，即，故答案为： 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】方程是“和美方程”，是它的一个根， 将代入方程得：，即， ， 配方得：， 由于，当时，取得最小值，故答案为：． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，点E，F是对角线的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，∴，， ∵中，点E，F是对角线的黄金分割点，∴，， 在与中，∴，∴， 在与中，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴， ∴， ∵现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），∴针尖落在阴影区域的概率为，故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为 。 【答案】0.5 【详解】解：当时，，∴点，∵直线轴，∴直线为， ∵，∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点，∴直线过点， ∴，∴，符合题意．故答案为：。 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在锐角中，以为边作等边，以为边作，其中，，D为的中点，分别连接和，则 ． 【答案】 【详解】解：取的中点G的中点H，连接，则， 为的中点，，， ，，， ，，，， 是等边三角形，， ，，，， ，，， ∽，，故答案为： 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵，∴，∴， ∵点F为的中点，点为的中点，∴是的中位线，， ∴，∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（25-26八年级上·湖南永州·期中）（9分）计算或解方程： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)；(2)1．(3) 【详解】（1） （3分） （2） （6分） （3）解:, 移项得:, 因式分解得:, 整理得:, ∴或, ∴．（9分） 20．（25-26九年级上·广东·期中）（9分）河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． (1)求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； (3)该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元；(3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为， 则，解得（不合题意，舍去）， 即该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为；（3分） （2）解：设该款吉祥物应该降价元， 由题意得，，整理得：，解得， ∵要让利顾客，， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元；（6分） （3）解：不能达到元，理由如下：设吉祥物应降价元， 由题意得，，整理得，， ∵，∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元．（9分） 21．（25-26九年级上·山西·期中）（9分）随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． (1)小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为______； (2)小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款， 根据古典概型概率公式：（3分） （2）根据题意，列表如下： 第二种 第一种 Y K W J Y K ） W J 或（6分） 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种．（选中两种软件）（8分） 22．（25-26九年级上·山东威海·期中）（8分）综合与实践 【问题情境】在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】(1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：表示冬季的光线，表示夏季的光线．分别作，（1分） ∴，．在中，可得． 在中，可得． （2分） 联立方程组．解得，，；（3分） （2）解：过点D作于点G．分别作，（4分） ∴，，． （5分） 由（1）中的结论，可得：． ．（6分） 在中，得． ∴．（7分） 在中，得．（8分） 23．（25-26九年级上·江苏南京·月考）（10分）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 (1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； (2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 【答案】(1)分(2)①，；②； 【详解】（1）解：得分为10分； 理由如下：设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：， 将代入得： ，解得：， ∴； 令，解方程得：； ∴小明投掷时，最大水平距离为；∴小明得分为分；（3分） （2）解：①由题意得：，； 联立，得：； 故答案为：，；（6分） ②连接，作于点，作于点，如图所示： 则四边形为矩形，∴；（7分） ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴， ∴；∴；即：投掷距离为；（8分） ∵，∴，，联立，得：； ∵投掷距离为；∴经过点，即：， 解得：（舍），∴，∴出手速度（10分） 24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）（10分）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程： 解：分别延长、交于点M． 四边形是平行四边形，． ，，． ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为________．（用含m、n的代数式表示） 【答案】补全过程见解析，（1）（2） 【详解】（问题解决）如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 点是边的中点，，， ，．（4分） (问题拓展)（1）如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ，设，则，，， ，， 点是边的中点，，， ，．故答案为．（7分） （2）如图，过D作，交延长线于点，交延长线于点L， ，，四边形是平行四边形， ，，设，， ，，，，， ，，即， ，， ，．故答案为．（10分） 25．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）（12分）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求和的面积比； (3)求证：． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，∴，（1分） ∵平分，∴，∴，（2分） ∵∴；（3分） （2）解：如图，过点A作于点F，过点C作于点G， ∵，∴，（4分） ∵平分，∴，∴，∴， ∵∴， ∴，，∴（5分） 又∵，∴，∴，∴， ∵∴，（6分） ∵，∴∴， ∴；（7分） （3）证明：∵平分，∴，（8分） ∵，∴∴，∴，∴，（9分） ∴，∴， ∵，∴，（10分） ∵，∴，∴，∴，（11分） ∴，即．（12分） 26．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）（12分）二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． 【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：由条件可设二次函数的解析式为，（1分） 将代入二次函数解析式可得：，解得：，（2分） ∴；∴；（3分） （2）解：①抛物线的对称轴为直线，点，∴，（4分） 假设原直线的解析式为，将和代入得， 解得，∴：，（5分） 上移h个长度单位，：， ．（6分） 有交点，，，；（7分） ②，，，， ，．（8分） 如图，连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，∴， 又∵，∴， ∴，，（9分） 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， ，解得，， ，，，；（10分） 同理对称可知，同上可求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式， 求出；综上，或．（12分） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B B C B B B D B 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】8 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】0.5 17．【答案】 18．【答案】 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【答案】(1)；(2)1．(3) 【详解】（1） （3分） （2） （6分） （3）解:, 移项得:, 因式分解得:, 整理得:, ∴或, ∴．（9分） 20．【答案】(1)(2)该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元；(3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为， 则，解得（不合题意，舍去）， 即该款吉祥物月份的销量的月平均增长率为；（3分） （2）解：设该款吉祥物应该降价元， 由题意得，，整理得：，解得， ∵要让利顾客，， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元；（6分） （3）解：不能达到元，理由如下：设吉祥物应降价元， 由题意得，，整理得，， ∵，∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元．（9分） 21．【答案】(1)(2) 【详解】（1）总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款， 根据古典概型概率公式：（3分） （2）根据题意，列表如下： 第二种 第一种 Y K W J Y K ） W J 或（6分） 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种．（选中两种软件）（8分） 22．【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：表示冬季的光线，表示夏季的光线．分别作，（1分） ∴，．在中，可得． 在中，可得． （2分） 联立方程组．解得，，；（3分） （2）解：过点D作于点G．分别作，（4分） ∴，，． （5分） 由（1）中的结论，可得：． ．（6分） 在中，得． ∴．（7分） 在中，得．（8分） 23．【答案】(1)分(2)①，；②； 【详解】（1）解：得分为10分； 理由如下：设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：， 将代入得： ，解得：， ∴； 令，解方程得：； ∴小明投掷时，最大水平距离为；∴小明得分为分；（3分） （2）解：①由题意得：，； 联立，得：； 故答案为：，；（6分） ②连接，作于点，作于点，如图所示： 则四边形为矩形，∴；（7分） ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴， ∴；∴；即：投掷距离为；（8分） ∵，∴，，联立，得：； ∵投掷距离为；∴经过点，即：， 解得：（舍），∴，∴出手速度（10分） 24．【答案】补全过程见解析，（1）（2） 【详解】（问题解决）如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 点是边的中点，，， ，．（4分） (问题拓展)（1）如图，分别延长、交于点M， 四边形是平行四边形， ，设，则，，， ，， 点是边的中点，，， ，．故答案为．（7分） （2）如图，过D作，交延长线于点，交延长线于点L， ，，四边形是平行四边形， ，，设，， ，，，，， ，，即， ，， ，．故答案为．（10分） 25．【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，∴，（1分） ∵平分，∴，∴，（2分） ∵∴；（3分） （2）解：如图，过点A作于点F，过点C作于点G， ∵，∴，（4分） ∵平分，∴，∴，∴， ∵∴， ∴，，∴（5分） 又∵，∴，∴，∴， ∵∴，（6分） ∵，∴∴，∴；（7分） （3）证明：∵平分，∴，（8分） ∵，∴∴，∴，∴，（9分） ∴，∴， ∵，∴，（10分） ∵，∴，∴，∴，（11分） ∴，即．（12分） 26．【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：由条件可设二次函数的解析式为，（1分） 将代入二次函数解析式可得：，解得：，（2分） ∴；∴；（3分） （2）解：①抛物线的对称轴为直线，点，∴，（4分） 假设原直线的解析式为，将和代入得， 解得，∴：，（5分） 上移h个长度单位，：，．（6分） 有交点，，，；（7分） ②，，，， ，．（8分） 如图，连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，∴， 又∵，∴， ∴，，（9分） 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， ，解得，， ，，，；（10分） 同理对称可知，同上可求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式， 求出；综上，或．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12 13 14 15 6 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) ---1-10° D 图1 图Ⅱ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A M B 24.(10分) D D 图③ 图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D 10 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（12分) D C 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章--第27章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西晋城·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了张照片，则这个亲友团的人数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 8．（25-26九年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根；②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根；④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）三角形的重心是三角形三条中线的交点，如图1，点是的重心．重心有一些特殊的性质，例如图1中的6个小三角形面积相等；重心的另一个性质是将每条中线分成的比例．如图2，在等腰直角中，，，点是的重心，连接，，以为直角边作等腰直角，，，连接，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是 ． 12．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 13．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，则的值为 ． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，点E，F是对角线的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为 ． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为 。 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在锐角中，以为边作等边，以为边作，其中，，D为的中点，分别连接和，则 ． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（25-26八年级上·湖南永州·期中）（9分）计算或解方程： (1)；(2)；(3)． 20．（25-26九年级上·广东·期中）（9分）河源市是客家人的发祥地之一，拥有丰富的历史文化，包括客家文化，恐龙文化和水文化．为了弘扬河源地方文化，让更多游客了解客家文化，某文旅公司推出多款文创产品．某款吉祥物受到广大游客的喜爱，6月份的销量为200件，8月份的销量为288件，已知该款吉祥物的成本价是30元．当售价为40元时，每天可售出60件，调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件． (1)求该款吉祥物月份的销量的月平均增长率； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是630元； (3)该文旅公司每天的利润能达到1000元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 21．（25-26九年级上·山西·期中）（9分）随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． (1)小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为______； (2)小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 22．（25-26九年级上·山东威海·期中）（8分）综合与实践 【问题情境】在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】(1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 23．（25-26九年级上·江苏南京·月考）（10分）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 (1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； (2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 24．（25-26九年级上·吉林长春·月考）（10分）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程： 解：分别延长、交于点M． 四边形是平行四边形，． ，，． ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为________．（用含m、n的代数式表示） 25．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）（12分）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求和的面积比； (3)求证：． 26．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）（12分）二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $