3.3.2 抛物线的简单几何性质 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质 一．选择题 1.已知过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|=(　　) A.4 B.6 C.3 D.8 2.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则抛物线C的焦点坐标为(　　) A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0) 3.已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为(　　) A. B. C. D. 4.已知直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为2,则k的值为(　　) A.2或-2 B.1或-1 C.2 D.3 5.(多选题)(2024·全国新高考卷Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为抛物线C上的动点,过点P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过点P作直线l的垂线,垂足为B,则(　　) A.直线l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 6.已知直线l过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于M,N两点,若=2,且=2,则|MN|=(　　) A. B. C.+2 D.6 7.(多选题)已知抛物线x2=4y的焦点为F,M(4,y0)在抛物线上,延长MF交抛物线于点N,抛物线准线与y轴交于点Q,则下列叙述正确的是(　　) A.|MF|=6 B.点N的坐标为 C. D.在x轴上存在点R,使得∠MRF为钝角 8.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=(　　) A. B.3 C.6 D.8 9.已知直线y=kx-2k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线没有公共点 D.直线与抛物线有一个或两个公共点 10.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为(　　) A.48 B.56 C.64 D.72 11.(多选题)(2025·广西高三毕业班高考适应性测试,11)在平面直角坐标系中,已知曲线E上的动点P(x,y)与点F(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与曲线E交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.曲线E的轨迹方程为y2=8x B.若点T的坐标为(4,2),则|PT|+|PF|的最小值为6 C.存在直线l使得|AC|=|AF| D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF| 二．填空题 12.已知斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.  13.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,P是抛物线上的一动点,则点P到直线l的最短距离为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　　.  14.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则取得最小值时,点P的坐标是　　　　　.  15.已知直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于　　　　　.  16.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,点M满足)(O为坐标原点),过点M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为　　　　　,|AB|=　　　　　.  三．解答题 17.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)已知O为坐标原点,若直线l与OA平行,且与抛物线有公共点,直线OA与l的距离为,求直线l的方程. 18.已知直线l:y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点. (1)若m=p,且|AB|=5,求抛物线C的方程; (2)若m=4p,求证:OA⊥OB(O为坐标原点). 19.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 一．选择题 1.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为M,依题意有=2, 所以x1+x2=4,于是|AB|=x1+x2+2=4+2=6. 2.B 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=,不妨设点D在第一象限,所以D(2,2),将其坐标代入抛物线方程得4=4p,解得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为. 3.B 由得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=,所以双曲线的方程为x2-=1,故双曲线的离心率e=. 4.C 由得k2x2-4(k+2)x+4=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则Δ=42(k+2)2-16k2,x1+x2=,由Δ>0,得k>-1,由=4,得k=2或k=-1(舍去).故选C. 5.ABD 准线l的方程为x=-1,与☉A相切,A正确; A(0,4),当P,A,B三点共线时,P(4,4),|PA|=4,|PQ|=,B正确; 当|PB|=2时,P(1,±2),PA与AB显然不垂直,C错误; (方法一)当|PA|=|PB|时,设P(x,y),则,即(y-4)2=2x+1,又y2=4x,即y2-16y+30=0,解得y=8±,对应x的值有两个,所以点P有2个,D正确. (方法二)焦点F(1,0),由|PB|=|PF|,|PB|=|PA|,即|PF|=|PA|,则点P在线段AF的垂直平分线上,此垂直平分线的方程为y=x+,与抛物线方程联立有两组解,所以点P有两个,D正确.故选ABD. 6.B 因为=2,所以点F在点M,N之间,且向量方向相同,因此有|MF|=2|FN|.又因为=2,所以|MF|=,|FN|=,因此|MN|=|MF|+|FN|=. 7.BC 由已知得F(0,1),准线为y=-1; 对于A,∵M(4,y0)在抛物线x2=4y上,∴y0=4, ∴|MF|=y0+1=5,故A错误; 对于B,∵kMF=,∴直线MF:y=x+1,由 又M(4,4),∴N,故B正确; 对于C,∵Q(0,-1),∴=(4,5),=,∴=-4+,故C正确; 对于D,设R(t,0),则=(-t,1),=(4-t,4),∴=-t(4-t)+4=t2-4t+4=(t-2)2≥0,∴∠MRF不能为钝角,D错误,故选BC. 8.C 设△ABF的边长为a(a>0),依题意有a=p,则a=. 不妨设B,代入方程=1得p=6. 9.D 由于y=kx-2k=k(x-2),所以直线经过点(2,0),当k=0时,直线与抛物线有一个公共点,当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 10.A 由得x2-10x+9=0, 解得 不妨设A(9,6),B(1,-2),则|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,故梯形APQB的面积S=(|AP|+|BQ|)·|PQ|=×(10+2)×8=48. 11.ABD 对于A,由曲线E上的动点P(x,y)与点F(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,得曲线E是以F为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,方程为y2=8x,A正确;对于B,令点P到直线x=-2的距离为d,则|PF|=d,过T作TT'垂直于直线x=-2于T',于是|PT|+|PF|=|PT|+d≥|TT'|=4-(-2)=6,当且仅当P是线段TT'与抛物线的交点时取等号,B正确;对于C,过A作AD垂直于直线x=-2,垂足为D,易知C(-2,0).若|AC|=|AF|,则|AC|=|AD|,|AD|=|CD|,∠ACF=45°,直线AC的方程为y=x+2.由得y2-8y+16=0,而此方程有两个相等的实根,直线AC与抛物线相切,同直线AC与抛物线相交矛盾,C错误;对于D,令直线AC的方程为x=ty-2. 由得y2-8ty+16=0,Δ=64t2-64>0,解得t2>1.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,x1+x2=t(y1+y2)-4=8t2-4,|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=8t2>8=2|CF|,D正确.故选ABD. 二．填空题 12. ∵抛物线的方程为y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又直线AB过焦点F且斜率为,∴直线AB的方程为y=(x-1). 由得3x2-10x+3=0, (方法一)解得x1=,x2=3, 所以|AB|=. (方法二)Δ=100-36=64>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, 所以|AB|=x1+x2+p=+2=. 13. 设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则点P到直线x-y+3=0的距离d=,当y0=1时,d取得最小值,此时x0=,所以点P的坐标为. 14. (0,0) 设P,则, 则+y2=y2+8≥8, 当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0). 15. 易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点,所以弦AB为过焦点的弦.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点N,因为|AB|=x1+x2+p=4,所以.故弦AB的中点到直线x+=0的距离为. 16. 1　8 由y2=4x得2p=4,∴p=2. 因此F(1,0),准线方程为x=-1. 设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=2⇒x0=1. 由点P在抛物线上知=4x0=4,∴y0=±2. 不妨取y0=2,得P(1,2). 由)得M为线段AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则M. ∴=4x1,=4x2,且y1+y2=4. 从而(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2). 因此,直线AB的斜率kAB==1, ∴直线AB的方程为y=x-1. 由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6, 因此|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 三．解答题 17. (1)将点A(1,-2)的坐标代入抛物线方程y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. (2)设直线l的方程为y=-2x+t. 联立消去x得y2+2y-2t=0. 一方面,因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 另一方面,由直线OA与l的距离为,可得,解得t=±1. 综上可知t=1. 于是直线l的方程为2x+y-1=0. 18. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)联立得4x2-6px+p2=0, 则x1+x2=p. 因为直线l过抛物线的焦点F, 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=p=5, 解得p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:由得4x2-18px+16p2=0. 则x1+x2=p,x1x2=4p2. 所以=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)·(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×p2+16p2=0,故OA⊥OB. 19. (1)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为,则直线AB的方程为y=x+, 由消去x得4y2-5py+p2=0, 则y1+y2=.由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=9,即+p=9,解得p=4. 故抛物线的方程为x2=8y. (2)由p=4知,方程4y2-5py+p2=0,即y2-5y+4=0, 解得y1=1,y2=4,则x1=-2,x2=4. 所以A(-2,1),B(4,4). 于是+λ=(-2,1)+λ(4,4)=(-2+4λ,1+4λ). 因为C为抛物线上一点,所以(-2+4λ)2=8(1+4λ), 整理得λ2-2λ=0,解得λ=0或λ=2. 学科网（北京）股份有限公司 $