第六章 习题课 计数原理的综合应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦计数原理综合应用，通过组数、选取与分配、涂色种植等题型，以母题变式和触类旁通为支架，衔接分类加法与分步乘法原理，帮助学生构建从基础到应用的知识脉络。 其特色在于以实际问题为载体，通过一题多变培养逻辑推理，结合涂色种植等情境发展数学建模与运算素养，规律方法总结助学生形成解题策略，课堂小结强化知识落实，能提升学生解题能力，为教师提供系统教学资源。

习题课　计数原理的综合应用 第六章　计数原理 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 课堂案•互动探究 01 课后案•学业评价 02 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　计数原理 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　计数原理 1 学业标准 素养目标 1．进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂色(种植)等实际问题．(难点) 通过利用两个计数原理解决实际问题的方式，培养逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养． 题型一　组数问题　(一题多变) 　用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解析]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种). (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种). (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [母题变式] (变结论)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解析　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个). 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． [触类旁通] 1．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243　　　　　　　 B．252 C．261 D．648 解析　0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个). 答案　B 题型二　选取与分配问题 　有一项活动，需在3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ [解析]　(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法． (3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39种选法． 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法等． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [触类旁通] 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解析　(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择， 由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60. 题型三　涂色与种植问题 　(1)如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　) A．280 B．180 C．96 D．60 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． [解析]　(1)按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故D区域也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180种涂法． (2)分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. ①若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4种方法． ②若第三块田放a： a b a 第四块有b或c两种方法， Ⅰ若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； Ⅱ若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，共1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42种方法． [答案]　(1)B　(2)42 [素养聚焦]　在利用两个计数原理解决涂色与种植问题的过程中，有时需要分类讨论，在此过程中提升了数学建模、逻辑推理等核心素养． 1．涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 2．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． [触类旁通] 3．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法． 解析　先给地区Ⅰ染色有5种选择，再给地区Ⅱ染色有4种选择，然后给地区Ⅲ染色有3种选择，最后给地区Ⅳ染色也有3种选择，综上所述，满足题意的染色方法共有5×4×3×3＝180(种). 答案　180 知识落实 技法强化 1．两个计数原理的区别与联系． 2．两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题． 解题过程中注意分类讨论及正难则反的方法，且分类标准不明确时会出现重复或遗漏问题． $