7.3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕离散型随机变量的方差展开，通过课前案自主学习导入，衔接前期数字特征知识，课堂案互动探究深化概念与性质，课后案学业评价巩固，栏目导航构建分阶段学习支架。 其亮点在于采用课前课中课后三阶段设计，结合“偏离程度”直观描述与\(a^2 D(X)\)符号表达，培养数学思维与数学语言。互动探究通过实例（如答案0.49）引导推理，助学生用数学眼光分析波动，教师可借结构化资源提升教学效率。

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章　随机变量及其分布 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 偏离程度 越小 越大 a2D(X) 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 学业标准 素养目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养． 导学　离散型随机变量的方差 　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P [提示]　不能，因为E(X)＝E(Y). (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ [提示]　方差． (1)试求E(X)，E(Y). [提示]　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ ◎结论形成 1．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的____________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差________，随机变量的取值越集中；方差或标准差________，随机变量的取值越分散． 2．离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝____________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定.(　　) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (4)若a，b为常数，则＝a.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 答案　B 3．(多选题)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列式子正确的是(　　) A．E(X)＝－　　 B．D(X)＝ C．P(X＝0)＝ D．P(X≥0)＝ 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， 故A正确； D(X)＝×＋×＋×＝，故B不正确， CD显然正确． 答案　ACD 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝_______，b＝______． X －1 0 1 2 P a b c 解析　由题意知解得 答案　　 题型一　求离散型随机变量的方差 　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　　) A．　　　 B． C． D． [解析]　由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 故D(X)＝×＋×＋×＋×＝. [答案]　C 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取各个值的概率，写出分布列． (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X). (4)根据公式计算方差． [触类旁通] 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 且E(X)＝1.1，则D(X)＝________． 解析　由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 题型二　方差的性质　(一题多变) 　已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)＝，则 (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． [解析]　由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(X)＝×＋×＋×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴＝. [母题变式] (变条件)若本例(2)中“Y＝3X－2”改为“Y＝2X＋1”，求的值． 解析　因为Y＝2X＋1，所以D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝， 所以＝. 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X). [触类旁通] 2．(多选题)(2025·长春高二期末)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是(　　) A．E(X)＝1 B．E(2X＋2)＝2 C．D(X)＝0.6 D．D(2X＋2)＝3.2 解析　由m＋0.4＋m＝1，得m＝0.3， 所以E(X)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1， E(2X＋2)＝2E(X)＋2＝4， 所以D(X)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6， D(2X＋2)＝4D(X)＝2.4， 故选AC. 答案　AC 题型三　方差的实际应用 　[教材例6·迁移]为选拔某运动会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． [解析]　(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． [素养聚焦]　解决此类实际应用问题的关键是准确地计算随机变量的均值和方差，在求解过程提升数学运算、数学建模等核心素养． 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． [触类旁通] 3．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解析　∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2). D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2). 综上可知，A大钟的质量较好． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的方差、标准差． 2．离散型随机变量的方差的性质． 解题时方差公式常套用错误． $