6.3.2 二项式系数的性质-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“二项式系数的性质”，核心涵盖对称性、增减性与最大值、系数和等知识点。课堂导入通过展示(a+b)^n展开式系数排列（如杨辉三角），引导学生观察规律（两端为1、中间项最大、系数和为2^n），衔接二项式定理，搭建自主探究的学习支架。 其亮点是以问题链驱动自主学习（如3个提示问题引导发现性质），结合一题多解（赋值法求系数和）、一题多变（变结论、条件求最大项）设计互动探究，培养数学抽象（从杨辉三角抽象性质）、数学运算（解不等式组求最大项）和逻辑推理（证明对称性）等核心素养。学生通过基础自测与触类旁通巩固知识，教师可借助结构化题型分类与规律总结提升教学效率。

6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 第六章　计数原理 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 等距离 二项式系数 栏目导航 第六章　计数原理 1 2n 2n 偶数 2n-1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 栏目导航 第六章　计数原理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　计数原理 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　计数原理 1 学业标准 素养目标 1．能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．(重点) 2．会用“赋值法”求展开式系数的和．(难点) 1．通过对二项式系数性质的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用二项式系数的性质解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学　二项式系数的性质 　(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： [提示]　2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. [提示]　n＝2，4，6时，中间一项最大；n＝3，5时，中间两项最大． (1)从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ [提示]　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． (2)计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ ◎结论形成 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“__________”的两项的______________相等 增减性与 最大值 当二项式的幂指数n是偶数时，中间的一项_______取得最大值 当n为奇数时，中间的两项_______与_______相等，且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于______，即C＋C＋C＋…＋C＝______ 奇数项的二项式系数之和等于________项的二项式系数之和，都等于2n-1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) (4)令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1　　　　　　 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 答案　C 3．(多选题)若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第3项　 B．第4项 C．第5项　 D．第6项 答案　CD 4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝C(－3)4-k(2x)k， ∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 答案　－15 题型一　与杨辉三角有关的问题 　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19. [解析]　由杨辉三角可知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，……，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 故S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝＋C＝274. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 [触类旁通] 1．如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3? 解析　杨辉三角中的每个数均为二项式系数，第n行中从左至右第k个数为C. 由题意得C∶C＝2∶3，∴2C＝3·C， 即2·＝3·， 2(n－13)＝3×14，∴n＝34. 故在第34行中的第14个数与第15个数之比为2∶3. 题型二　求二项展示式的系数和　(一题多解) 　[教材例3·拓展]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [解析]　(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1， 则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256. (3)由得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一　∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6) ＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [触类旁通] 2．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝________；a1＋a2＋a3＋a4＝______． 解析　令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3·(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x， 则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24， 故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 故答案为1，15. 答案　1　15 题型三　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项　(一题多变) 　在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解析]　Tk＋1＝C·()8-k·＝(－1)k·C·2k·x. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C·24·x＝1 120x-6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [母题变式] 1．(变结论) 在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项． 解析　由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x-11＝1 792x-11.系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x＝－1 792x. 2．(变条件)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． [素养聚焦]　解决二项展开式中系数最大的项或二项式系数最大的项的方法是解不等式(组)或利用结论，在此过程中提升数学运算等核心素养． 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得. [触类旁通] 3．(1)(多选题)(2025·武汉高二期末)若展开式的所有二项式系数之和为64，则下列说法中正确的有(　　) A．n＝6 B．展开式中所有项的系数和为－1 C．展开式中的常数项为－160 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项 (2)在二项式(x＋1)11的展开式中，系数最大的项的系数为________(结果用数值表示). 解析　(1)对于A，由二项式系数和为64，得2n＝64，解得n＝6，故A正确； 对于B，令x＝1得＝(－1)6＝1，故B错误； 对于C，展开式通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)kx2k-6， 令2k－6＝0，得k＝3，即常数项为T4＝C(－2)3x0＝－160，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数为C，C，…，C，最大的为C，对应的是第4项，故D错误． 故选AC. (2)二项式(x＋1)11的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx11-k，所以当k＝5或k＝6时，其系数最大，则最大系数为C＝C＝462. 知识落实 技法强化 1．二项式系数的性质． 2．赋值法求各项系数的和． 在赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项． $