2.3 空间向量基本定理及坐标表示 第二课时 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量的直角坐标表示，通过“两个黄鹂鸣翠柳”诗句创设现实空间情境，以平面向量基本定理为支架，引导学生从二维向量分解类比迁移至三维，理解向量在标准正交基下的坐标定义及点与向量坐标的关系。 其亮点在于情境贴近现实激发数学眼光，类比推理培养数学思维，结合长方体例题强化几何直观，思考环节深化投影理解。帮助学生建立空间观念，教师可借助清晰的知识脉络提升教学效率。

2.3 空间向量基本定理及坐标表示 第二课时 情景与问题 空间向量的直角坐标表示 两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天,对于树枝上的黄鹂,天上飞着的白鹭,与地面的我们之间的关系在空间中怎么来表示呢？ 空间中两两之间可以组成一个向量,可以用空间向量联系起来,可是空间向量又怎么样具体的表示出来呢？ 知识讲解 空间向量的直角坐标表示 平面向量基本定理 空间向量的直角坐标表示 空间向量在直角坐标系又该如何表示呢？ 空间向量的直角坐标表示 空间每个向量都可以分解成基向量的实数倍之和: 系数按顺序排成的实数组,称为向量的坐标,记为 空间向量的直角坐标表示 证明 向量在标准正交基下的坐标就是点在这个直角坐标系中的坐标 空间向量的直角坐标表示 则点,,的坐标分别为 空间向量的直角坐标表示 过点做平面垂直于轴,过点作平面垂直于轴,过点作平面垂直于轴,三个平面交于一点,则的坐标为 故在标准正交基下的坐标就是点在这个直角坐标系中的坐标 空间向量的直角坐标表示 如果先建立空间直角坐标系,分别在三条坐标轴正方向上取长度为的向量,,组成标准正交基,则空间任意一点决定的在这组标准正交基下的坐标等于点的坐标 空间向量的直角坐标表示 标准正交基的基向量的坐标分别是 ,,,, 空间向量的直角坐标表示 如果,为空间直角坐标系内任意两点,向量的坐标又该如何表示呢? 空间向量的直角坐标表示 通过前面学习的知识,我们知道向量而和可以由刚刚学到的坐标进行表达,因此可以通过计算推导出向量的坐标 空间向量的直角坐标表示 设向量的起点和终点的坐标分别为和,则 因为 因此向量的坐标为 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标 问题解决 空间向量的直角坐标表示 第一问是建立适当的空间直角坐标系,并表示出点的坐标,长方体中,可以直接找一个顶点作为原点,建立空间直角坐标系,比如点,再去求解点的坐标即可 在长方体中,已知,, （）建立适当的空间直角坐标系,并求点的坐标 （）求向量的坐标 例 第二问求向量的坐标,根据刚刚学习的空间向量坐标表示,我们可以知道,空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标 因此,只需求出两点在空间直角坐标系中的坐标,再进行相减即可 空间向量的直角坐标表示 （）解:如图,以点为原点,以,,为标准正交基方向,均以为单位长度,建立空间直角坐标系 则 ,, 又 空间向量的直角坐标表示 所以点的坐标为（） 空间向量的直角坐标表示 （）要求解,需要先求解出点,的坐标,由于是空间直角坐标系的原点,因此只需求解和 因为 所以点的坐标为（,,） 所以点的坐标为（,,） 因此 （,,）(,,）（,,） 空间向量的直角坐标表示 思考 在三条坐标轴正方向上的投影, ,因此向量在三条坐标轴正方向上的投影分别是,,由此可知: 如何求=(,,)在三条坐标轴正方向上的投影? 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标 空间向量的直角坐标表示 思考 如何求向量=(,,)在三条坐标轴正方向上的投影? 可以通过向量与三条坐标轴正方向的夹角来计算投影 在轴正方向上的投影为,可知: 又由于, 空间向量的直角坐标表示 思考 空间向量的直角坐标表示 所以 同理,, 因此 它在标准正交基{,,}下的坐标分别等于向量与各个基向量的数量积 (,,) 单位向量的坐标分别等于向量与各个基向量夹角的余弦值: 空间向量的直角坐标表示 空间向量的直角坐标表示 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标 在标准正交基{,,}下,已知向量,, ,求在上的投影 例1 例 空间向量的直角坐标表示 解: 因为 所以向量在上的投影等于 例1 解答 空间向量的直角坐标表示 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标 空间向量的直角坐标表示: 空间向量在坐标轴正方向上的投影: 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标 谢谢观看 $