阶段测评(四)(2.6～2.8)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

阶段测评(四)(§6～§8) (时间：50分钟　分值：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·山师附中高二月考)已知函数f(x)＝x2－8x＋6ln x＋1，则f(x)的极大值为(　　) A.10 B．－6 C.－7 D．0 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－8＋＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，故f(x)，f′(x)随x的变化如表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增 所以f(x)的极大值为f(1)＝－6. 答案　B 2．函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A.－， B．－， C.－，＋2 D．－，＋2 解析　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f＝2＋，f(x)min＝f＝－.故选D. 答案　D 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　) A.13万件 B．11万件 C.9万件 D．7万件 解析　令y′＝－x2＋81＞0，解得0＜x＜9；令y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9，所以函数y＝－x3＋81x－234在区间(0，9)上单调递增，在区间(9，＋∞)上单调递减，所以在x＝9处取得极大值，也是最大值． 答案　C 4．(2025·合肥六校高二联考)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　　) A.a∈(－∞，－3) B．a＝－3 C.a＝3 D．a∈(－∞，3) 解析　由f(x)＝ln x＋x2＋ax(x>0)得f′(x)＝，又f(x)的单调递减区间是，所以和1是方程2x2＋ax＋1＝0的两个根，代入得a＝－3.经检验满足题意．故选B. 答案　B 5．若函数f(x)＝6a ln x＋x2－(a＋6)x(x＞0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，6)∪(6，＋∞) B.(0，6)∪(6，＋∞) C.{6} D.(0，＋∞) 解析　f′(x)＝＋x－(a＋6)＝(x＞0)，因为函数f(x)有2个极值点，所以f′(x)＝0有2个不同的正实数根，所以a＞0且a≠6，即实数a的取值范围是(0，6)∪(6，＋∞).故选B. 答案　B 6．(2025·佛山顺德区一中高二期中)已知a＝＋2ln 2，b＝＋ln 9，c＝＋2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＜a＜b B．c＜b＜a C.a＜c＜b D．a＜b＜c 解析　令函数f(x)＝＋2ln x，x>1，求导得f′(x)＝－＋＝>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f(2)＜f(e)＜f(3)，即＋2ln 2<＋2<＋2ln 3，所以a＜c＜b.故选C. 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知函数f(x)(x∈[－3，5])的导函数为f′(x)，若f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在(－2，1)上单调递增 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)在x＝－2处取得极小值 D.f(x)在x＝1处取得极大值 解析　当f′(x)＞0时，f(x)单调递增，由图可知x∈(－2，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故A正确．当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故B错误．当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－2，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝－2处取得极小值，故C正确．当x∈(－2，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)在x＝1处取得极大值，故D正确． 答案　ACD 8．已知函数f(x)＝x＋sin x，其中x∈[0，2π]，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)的极大值为＋ B.f(x)的极小值为－ C.f(x)的单调递减区间为 D.f(x)的值域为[0，π] 解析　f′(x)＝＋cos x，x∈[0，2π]，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以是函数的极大值点，极大值为f＝＋，是函数的极小值点，极小值为f＝－，故A，B正确，C错误．f(0)＝0，f(2π)＝π，比较函数的极大值和极小值，可知函数的最小值是0，函数的最大值是π，所以函数的值域是[0，π]，故D正确． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．若函数f(x)＝x＋t sin x在上单调递增，则实数t的取值范围是 ． 解析　若函数f(x)＝x＋t sin x在上单调递增，只需f′(x)＝1＋t cos x≥0在上恒成立， 故t≥－在上恒成立， 而y＝－在上单调递减， 所以y<－＝－1， 故t≥－1，即实数t的取值范围是[－1，＋∞). 答案　[－1，＋∞) 10．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ． 解析　令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设φ(x)＝x3－3x＋(x－1)2，φ′(x)＝(3x＋5)(x－1)，则φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，φ(0)＝1，φ(1)＝－2，所以a的取值范围为(－2，1). 答案　(－2，1) 11．(2025·山东淄博四中高二期末)若函数f(x)＝x3＋2ax2＋ax－1在(0，1)上存在唯一极值点，则实数a的取值范围是 ． 解析　由三次函数图象特点知，其最多有1个极大值点和1个极小值点．f′(x)＝3x2＋4ax＋a，若f(x)在(0，1)上存在唯一极值点，则f′(0)·f′(1)＜0⇒a·(3＋4a＋a)＜0⇒a∈. 答案　 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求f′(2)的值； (2)求f(x)的单调区间和极值； (3)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为f′(x)＝3x2－6，所以f′(2)＝6. (2)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0得x＝－或x＝，当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间是(－，).当x＝－时，f(x)有极大值，极大值为f(－)＝5＋4，当x＝时，f(x)有极小值，极小值为f()＝5－4. (3)令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，由(2)可得g(x)的极大值为5＋4－a，极小值为5－4－a，因为g(x)＝0有三个不同的根，故解得5－4＜a＜5＋4.所以当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，即关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根． 13．(15分)已知函数f(x)＝. (1)设a＞0，若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围． 解析　(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝－，x＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x＝1处取得极大值，∵函数f(x)在区间上不单调，∴函数f(x)在(a＞0)上存在极值，∴a＜1＜a＋，解得＜a＜1，即实数a的取值范围为. (2)当x≥1时，不等式f(x)≥，即为≥k2＋k，记g(x)＝，∴g′(x)＝，令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－，∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝1＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝2，∴k2＋k≤2，解得－2≤k≤1，即实数k的取值范围为[－2，1]. 14．(15分)若农场计划设计建造一条2 000米长的水渠，其横断面如图所示，其中底部是半径为1米的圆弧，上部是有一定倾角的线段AD与BC，渠深MN为米，且圆弧的圆心为O在MN上，AD⊥OA，BC⊥OB，AD＝BC，AB∥DC.据测算，水渠底部曲面每平方米的造价为百元，上部矩形壁面每平方米的造价为1百元，其他费用忽略不计．设∠BON＝θ，0＜θ＜. (1)试用θ表示水渠建造的总费用f(θ)(单位：百元)； (2)试确定θ的值，使得建造总费用最低． 解析　(1)因为底部圆弧所在的圆的半径为1米，∠BON＝θ，所以弧长l＝2θ，过B点作BE⊥CD于点E，如图所示，设MN与AB交于点F，则BE＝MF＝＋cos θ(米)，∠BCD＝θ，所以BC＝＝＝(米)，所以AD＝BC＝(米)，所以f(θ)＝2 000×＝2 000，0＜θ＜. (2)f′(θ)＝2 000× ＝2000× ＝2000×，0＜θ＜， 令f′(θ)＝0，则cosθ＝，因为0＜θ＜，则θ＝，列表如下： θ f′(θ) － 0 ＋ f(θ) 单调递减 极小值 单调递增 当θ＝时，f(θ)取得极小值，即最小值，最小值为f＝(6＋5π)(百元).故当θ＝时，建造总费用最低． 学科网（北京）股份有限公司 $