阶段测评(三)(2.1～2.5)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

阶段测评(三)(§1～§5) (时间：50分钟　分值：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　因为f(x)＝x3－ln x， 所以f(e)＝e3－ln e ＝e3－1， f(1)＝13－ln 1＝1， 所以f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率为＝＝. 故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝x·ex，则导数值f′(1)＝(　　) A．1 B．2e C．e D．e＋1 解析　因为f(x)＝x·ex， 所以f′(x)＝x′·ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，所以f′(1)＝2e.故选B. 答案　B 3．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex 解析　由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2， 设切点坐标为(t，et-2＋1)， 可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)， 把原点(0，0)代入方程， 可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1， 解得t＝2， 所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)， 即y＝x.故选A. 答案　A 4．若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，又f(1)＝1，得g(1)＝－1.原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.故选C. 答案　C 5．(2025·太原高二月考)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．该定理如下：若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象不间断，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一个点ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)·(b－a)，ξ称为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的中值点．那么函数f(x)＝1－2x3在区间[－1，1]上的中值点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因为f(x)＝1－2x3，x∈， 所以f(－1)＝3，f(1)＝－1，f′(x)＝－6x2， 所以f(1)－f(－1)＝－4，f′(ξ)＝－6ξ2.由拉格朗日中值定理得－4＝－12ξ2，解得ξ＝±. 因为－，∈，所以函数f(x)＝1－2x3在区间[－1，1]上的中值点有2个．故选C. 答案　C 6．过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln (x＋a)都相切，则实数a＝(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　由y＝ex得y′＝ex， 由y＝ln (x＋a)得y′＝. 设过原点的直线l分别与曲线y＝ex，y＝ln (x＋a)相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由导数的几何意义得＝ex1，且y1＝ex1，故x1＝1，所以直线l的斜率为e.所以＝＝e，所以ln (x2＋a)＝ex2，所以ex2＝－1，即x2＝－，代入＝e得a＝.故选D. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．(2025·江苏淮安六校联考)已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．f(x)在[a，b]上的平均变化率大于g(x)在[a，b]上的平均变化率 B．f(x)在[a，b]上的平均变化率小于g(x)在[a，b]上的平均变化率 C．对于任意x0∈(a，b)，f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈(a，b)，使得f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 解析　f(x)在[a，b]上的平均变化率是， g(x)在[a，b]上的平均变化率是， 由题图可知f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)， ∴＝，故A，B错误； 易知f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在x＝x0处的切线的斜率， 同理，g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是曲线g(x)在x＝x0处的切线的斜率， 由题图知∃x0∈(a，b)，使得曲线f(x)在x＝x0处的切线的斜率小于曲线g(x)在x＝x0处的切线的斜率，故C错误，D正确．故选ABC. 答案　ABC 8．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析　若f(x)＝sin x＋cos x，则f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，在上恒有f″(x)<0；若f(x)＝ln x－2x，则f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在上恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在上恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝－e－x＋xe－x，f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x，在上恒有f″(x)>0. 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．设点P是函数f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)的图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ． 解析　∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，∴f′(0)＝1， ∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)， ∴f′(x)＝2ex－1>－1.即tan α>－1， 故角α的取值范围为∪. 答案　∪ 10．已知曲线y＝x ln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b的值为 ． 解析　由题意可得y′＝ln x＋1－ae－x， 根据导数的几何意义可知，曲线在点x＝1处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e. 所以切点为(1，－1)， 代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3. 答案　－3 11．计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以多次进行求导数运算，则当x∈(a，b)，且x≠x0时，有f(x)＝·(x－x0)0＋(x－x0)1＋(x－x0)2＋(x－x0)3＋….其中f′(x)是f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，f‴(x)是f″(x)的导数…….取x0＝0，则sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，sin 1精确到0.01的近似值为 ． 解析　取x0＝0时，可得f(x)＝x0＋x＋x2＋x3＋…， 则f(x)＝sin x＝0×x0＋1×x＋0×x2＋(－1)×x3＋0×x4＋1×x5…＝x－x3＋x5＋…， 所以sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为x5， 令x＝1，代入上式可得f(1)＝sin 1＝1－＋＋…＝＋…≈0.84. 答案　x5　0.84 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x. (1)若f′(1)＝0，求a的值； (2)若a≥1，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数． (1)解析　因为f′(1)＝0，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，所以2a－(a＋2)＋1＝0，解得a＝1. (2)证明　函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，所以f′(x)＝＝， 当a≥1，x∈[1，e]时，2x－1>0，ax－1≥0， 可得f′(x)≥0. 13．(15分)(2025·北京铁路二中高二期中)已知函数f(x)＝＋a ln x，a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，求a的值； (2)若a＝0，过点P(1，0)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 解析　(1)直线y＝x＋2的斜率为1，所以曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线的斜率为－1， 由f(x)＝＋a ln x，a∈R，得f′(x)＝－＋， 则f′(1)＝－2＋a＝－1，所以a＝1. (2)若a＝0，则f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝－， 作出函数f(x)的大致图象如图所示． 由图可知过点P(1，0)作曲线y＝f(x)的切线，切线斜率一定存在，且切点不为点P. 设切点为Q，设切线斜率为k， 则k＝f′(x0)＝－， 又因为切线过P，Q两点， 所以k＝＝， 所以－＝，解得x0＝或x0＝0(舍). 所以Q，k＝f′(x0)＝－＝－8，则切线方程为y－0＝－8(x－1)，即8x＋y－8＝0. 令x＝0，则y＝8，则切线横截距为1，纵截距为8， 所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×8＝4. 14．(15分)(2025·安徽合肥一中月考)已知函数f(x)＝(ax＋1)ex. (1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若曲线f(x)有两条过点(0，0)的切线，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ex，切点为(0，1)，f′(x)＝(x＋2)ex，切线斜率k＝f′(0)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1. (2)设切点为(x0，(ax0＋1)ex0)，由f′(x)＝(ax＋a＋1)ex知＝(ax0＋a＋1)ex0，整理得ax＋x0－1＝0①，因为过点(0，0)的切线有两条，所以①式有两个不相等实根， 所以解得a>－，且a≠0.故a的取值范围为∪(0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $