1.5 数学归纳法-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下面四个判断中，不正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn-1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析　A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－. 答案　ABD 2．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是(　　) A．p(n)对所有自然数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的自然数n都成立 解析　初始值n＝2为偶数，而由p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立就可以判断n取所有正偶数时p(n)均成立．选B. 答案　B 3．证明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　) A．1项　　　　　　　 B．k－1项 C．k项 D．2k项 解析　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋； 当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项． 答案　D 4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1　　　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C. 答案　C 5．用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是 ． 解析　因为n≥2，所以n0＝2.观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2). 答案　2＋f(1)＝2f(2) 6．对任意n∈N＋，34n+2＋a2n+1都能被14整除，则最小的自然数a＝ ． 解析　当n＝1时，36＋a3能被14整除，符合条件的自然数a的取值最小为3，其次为5.当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，当a＝5时，对任意n∈N＋，34n+2＋52n+1＝(14－5)2n+1＋52n+1都能被14整除．故符合题意的a的最小值为5. 答案　5 7．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N＋”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是 ． 解析　当n＝k时，左边式子为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k).当n＝k＋1时，左边式子为(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2).故左边增乘的因式是2(2k＋1). 答案　2(2k＋1) 8．观察下列各式： 2＝2×1， 3×4＝4×1×3， 4×5×6＝8×1×3×5， 5×6×7×8＝16×1×3×5×7. 你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？ 解析　由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…， 猜想：(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×2n＝2n×1×3×5×…×(2n－1). 下面利用数学归纳法进行证明： (1)当n＝1时，显然成立； (2)假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)×(k＋2)×(k＋3)×…×2k ＝2k×1×3×5×…×(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)×(k＋1＋2)×(k＋1＋3)×…×2(k＋1) ＝(k＋1)×(k＋2)×…×2k×(2k＋1)×2 ＝2k×1×3×5×…×(2k－1)×(2k＋1)×2 ＝2k+1×1×3×5×…×(2k＋1) ＝2k+1×1×3×5×…×[2(k＋1)－1]， 所以当n＝k＋1时等式成立． 根据(1)(2)可知，对任意正整数等式均成立． [关键能力·综合提升] 9．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋　　　　 B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－ ＝－， 故Sk＋1＝Sk＋－. 答案　C 10．(多选题)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n-1＝3n·(na－b)＋对一切n∈N＋都成立，那么a，b的值为(　　) A．a＝ B．b＝ C．a＝0 D．b＝ 解析　因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n-1＝3n(na－b)＋对一切n∈N＋都成立， 所以当n＝1，2时有 即解得 经检验a＝，b＝符合题意． 答案　AB 11．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明当Sn＝时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为 ． 解析　当n＝k时，Sk＝12＋22＋32＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，比较上述两式知，应添加的项为(k＋1)2＋k2. 答案　(k＋1)2＋k2 12．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为 ，从n＝k(k∈N＋)到n＝k＋1时需增添的项是 ． 解析　当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k(k∈N＋)到n＝k＋1时需增添的项是25k＋25k+1＋…＋25k+4. 答案　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a≠0. (1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． (1)解析　因为Sn是2a与－2nan的等差中项， 所以Sn＝a－nan. 由a1＝S1＝a－a1，则a1＝a； 由a1＋a2＝a－2a2，则a2＝a； 由a1＋a2＋a3＝a－3a3，则a3＝a. (2)猜想an＝a. 证明　①当n＝1时，a1＝a，猜想成立． ②假设当n＝k(其中k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝a， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－a＋kak， 所以(k＋2)ak＋1＝kak＝k·a， 即ak＋1＝a， 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②知，对任意n∈N＋，猜想an＝a都成立． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　) A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析　若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，A正确．若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确．故选AD. 答案　AD 15．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，且当x∈时，f(x)≥. (1)求a的值； (2)设0<a1<，an＋1＝f(an)，n∈N＋，证明：an<. (1)解析　由题意，知 f(x)＝ax－x2＝－＋. 因为f(x)max≤，所以f(x)max＝f＝≤，所以a2≤1. 又当x∈时，f(x)≥， 所以即解得a≥1. 又a2≤1，所以a＝1. (2)证明　由(1)知，f(x)＝x－x2. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，0<a1<，显然原不等式成立． 因为当x∈时，0<f(x)≤， 所以0<a2＝f(a1)≤<. 故当n＝2时，原不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式0<ak<成立． 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈时，f(x)为增函数． 由0<ak<≤，得0<f(ak)<f. 于是0<ak＋1＝f(ak)<－·＋－＝－<. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 综合①②，知对任意n∈N＋，不等式an<都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $