1.2.2 第2课时 等差数列习题课-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·河南周口高二期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　) A．－50　　　　　　　 B．－60 C．－70 D．－80 解析　由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.故选D. 答案　D 2．(2025·聊城期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，因为＝，所以＝， 即S8－S4＝S4， 则数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12是以S4为首项，S4为公差的等差数列， 则S12－S8＝2S4，S16－S12＝S4，所以S8＝S4，S16＝7S4，所以＝.故选A. 答案　A 3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 024，－＝2，则S2 025＝(　　) A．0 B．2 024 C．2 025 D．－2 026 解析　由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝2d＝2， ∴d＝1.∴＝＋2 024d＝－2 024＋2 024＝0，∴S2 025＝0×2 025＝0. 答案　A 4．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足|a4|＝|a10|，公差d＜0，则(　　) A．a7＝0 B．S13＞0 C．Sn有最大值 D．Sn＝S13－n(1≤n≤12，n∈N＋) 解析　由|a4|＝|a10|，d＜0，得a4＞0，a10＜0，且a4＋a10＝0，所以a4＋a10＝2a7＝0，即a7＝0，故A正确； S13＝(a1＋a13)＝13a7＝0，故B错误； 由d＜0，a4＞0，a10＜0，得{an}是首项为正数的递减数列，又a7＝0，所以当n＝6或n＝7时Sn有最大值，C正确； 由以上分析易知Sn＝S13－n(1≤n≤12，n∈N＋)，D正确．故选ACD. 答案　ACD 5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ． 解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． 设一共有n层， ∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190. 当n＝20时，S20＝210>200. ∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案　10 6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝8，则S6＝ ． 解析　由等差数列{an}的前n项和性质可得 S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， 即2×6＝2＋S6－8，解得S6＝18. 答案　18 7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝ ． 解析　法一　令Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)， 则 得A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n. 因为n≠m，所以A(n＋m)＋B＝－1， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－m－n. 法二　不妨设m>n， 则Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am ＝＝n－m， 所以a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2. 所以Sm＋n＝＝－m－n. 答案　－m－n 8．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项的和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解析　(1)由得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜， 所以当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， 所以数列{an}的前17项和最大． (2)当n≤17时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. 所以Sn＝ [关键能力·综合提升] 9．(多选题)(2025·广东清远期末)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝66，a2＋a4＋a6＝57，则下列结论正确的是(　　) A．{an}的公差为－2 B．{an}的通项公式为an＝31－3n C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2 575 解析　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，因为a1＋a3＋a5＝3a3＝66，a2＋a4＋a6＝3a4＝57，所以a3＝22，a4＝19，所以d＝a4－a3＝－3，故A错误； a1＝a3－2d＝28，∴an＝28＋(n－1)×(－3)＝31－3n，故B正确； Sn＝＝，故C正确； 易得a10＝31－3×10＝1＞0， a11＝31－3×11＝－2＜0， ∴{|an|}的前50项和为S10－(S50－S10)＝－S50＋2S10＝＋2×＝2 565，故D错误．故选BC. 答案　BC 10．(多选题)已知公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．若S15<0，S16>0，则a8是数列中绝对值最小的项 B．若＝，则＝ C．若a1＝8，a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝32 D．若|a4|＝|a8|，d≠0，则S11＝0 解析　因为{an}为等差数列，且 所以即 所以|a9|>|a8|，d>0，故a8是数列{an}中绝对值最小的项，故A说法正确； 因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，设S3＝x，由＝，得S6＝3x，故x，2x，S9－3x为等差数列，故S9＝6x，所以＝＝，故B说法正确； 因为{an}为等差数列，且a1＝8，a4＝－1， 所以3d＝－9，d＝－3， 则an＝8－3(n－1)＝－3n＋11， 则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝8＋5＋2＋1＋4＋7＋10＋13＝50，故C说法错误； 因为{an}为等差数列，且|a4|＝|a8|，d≠0，所以a4＝－a8，则a4＋a8＝0，则S11＝＝＝0，故D说法正确．故选ABD. 答案　ABD 11．已知在数列{an}中a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝ ． 解析　因为a1＝－60，an＋1＝an＋3， 所以{an}是首项为a1＝－60，公差为3的等差数列， 所以an＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0，得n<21， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30| ＝－2(a1＋a2＋…＋a20)＋(a1＋a2＋…＋a30) ＝－2×＋＝765. 答案　765 12．数列{an}与{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，若＝，则＝ ，使得为整数的n值个数为 ． 解析　由等差数列的性质可得＝＝＝＝＝. ＝＝＝＝＝＝＝＝＝3－， 因为为整数，所以4能被n＋1整除， 又n＋1≥2，n∈N＋，故n＋1＝2或n＋1＝4， 解得n＝1或n＝3， 所以使得为整数的n值个数为2. 答案　　2 13．在①a4＋a5＝－4，②a2＋a6＝－6，③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题． 问题：等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝3.若 ，是否存在实数k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1？若k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由． 解析　若存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1，则ak<0，ak＋1>0.设等差数列{an}的公差为d. 若选择条件①： 由得 解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N＋). 令an<0，得n<；令an＋1＞0，得n＞，所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0，所以k＝5满足题意． 若选择条件②： 由 得解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N＋). 后同选择条件①. 若选择条件③： 由得解得 所以an＝1＋(n－1)＝n＋(n∈N＋). 易知an>0恒成立， 所以不存在满足条件的实数k. [学科素养·探索创新] 14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(即金杖)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重量为an斤(n＝1，2，…，15)，且a1＜a2＜…＜a15，若bn＝[an]·an(其中[an]表示不超过an的最大整数)，则数列{bn}的所有项的和为 ． 解析　由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{an}，设公差为d， 则⇒ 解得a1＝，d＝，所以an＝. 所以[an]＝ 因此数列{bn}的所有项的和为a8＋a9＋…＋a15＝＝. 答案　 15．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1 000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元． (1)你会怎样选择增资方案？请说明你的理由； (2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问a为何值时，方案乙总比方案甲增资多？ (说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数) 解析　(1)设甲方案第n次的增资额为an，则 an＝1 000n，第n年末的增资总额为Tn＝500n(n＋1)； 乙方案第n次的增资额为bn，则bn＝300n， 第n年末的增资总额S2n＝300n(2n＋1). 因为Tn－S2n＝100n(2－n)， 所以当n＝1时，Tn＞S2n； 当n＝2时，Tn＝S2n； 当n≥3时，S2n＞Tn. 所以只工作一年选择甲方案；只工作两年，随便选；工作两年以上选择乙方案． (2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)， 由题设S2n＞Tn， 即a＞500·＝250. 经分析知为递减数列， 当n＝1时，取得最大值. 故当a＞时， 方案乙总比方案甲增资多． 学科网（北京）股份有限公司 $