1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3＋a7＝(　　) A．－2　　　　　　　 B． C．1 D． 解析　设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 答案　D 2．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，其前n项和为Sn，若S9＝18，则a5等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 解析　根据2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，所以S9＝＝18，所以a1＋a9＝4，所以2a5＝4，所以a5＝2. 答案　C 3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由a＝a1a4得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理可得a1＝－4d≠0.则＝＝＝＝－3.故选B. 答案　B 4．(多选题)(2025·河南南阳六校高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝，则(　　) A．S11＝0 B．a6＝0 C．S6＝S5 D．S7＝S6 解析　因为{an}是等差数列，所以 a5＋a7＝a1＋a11＝2a6. 根据题意S11＝＝a6，又S11＝＝11a6，所以11a6＝a6， 从而a6＝0，S11＝0，故选项A，B正确； 又a6＝S6－S5＝0，所以S6＝S5，故选项C正确； 对于选项D，S7－S6＝a7，根据题意无法判断a7是否为零，故选项D错误． 故选ABC. 答案　ABC 5．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ ． 解析　因为{an}为等差数列， 所以a3＋a4＝2a1＋5d＝7， 3a2＋a5＝4a1＋7d＝5， 所以a1＝－4，d＝3， 所以S10＝10a1＋45d＝95. 答案　95 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为 ． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n-1. 当n＝1时，不满足上式，故an＝ 答案　an＝ 7．已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，S12＝8S4，则的值为 ． 解析　因为S12＝8S4，所以由等差数列前n项和公式得12a1＋66d＝8(4a1＋6d)，即9d＝10a1，所以＝，所以＝＝＝＋1＝. 答案　 8．设等差数列{an}的公差为整数，且a4＝a－28，a5＝10， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝a3n＋1，若数列{bn}的前n项和Sn＝350，求n. 解析　(1)设数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝2，d＝2或a1＝－21，d＝(舍)， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. (2)由bn＝a3n＋1知，bn＝2(3n＋1)＝6n＋2， bn＋1＝6(n＋1)＋2＝6n＋8， 所以bn＋1－bn＝(6n＋8)－(6n＋2)＝6，为常数，故数列{bn}为等差数列，且公差d＝6，首项b1＝8， 所以Sn＝8n＋×6＝3n2＋5n. 令3n2＋5n＝350，即3n2＋5n－350＝0， 解得n＝10或n＝－(舍)，故n＝10. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列选项正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确． {Sn}中最大项为S6，D不正确． 答案　AB 10．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，公差为d，S16>0，a9<0，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．当n＝8时，Sn取得最大值 C．a4＋a5＋a18<0 D．使得Sn>0成立的最大自然数n是17 解析　对于A，因为等差数列中，S16＝＝>0，a9<0，所以a8>0，d＝a9－a8<0，A正确； 对于B，由A知当n＝8时，Sn取得最大值，B正确； 对于C，a4＋a5＋a18＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝3a9<0，C正确； 对于D，S16>0，S17＝＝17a9<0， 故使得Sn>0成立的最大自然数n＝16，D错误．故选ABC. 答案　ABC 11．设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N＋，那么S1，S2，S3，S4中最小的为 ． 解析　因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N＋，所以数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列． 所以a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1. 所以S1＝－5，S2＝－8，S3＝－9，S4＝－8. 所以S1，S2，S3，S4中最小的为S3. 答案　S3 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝ ． 解析　因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10. 答案　10 13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0. 因为a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根． 又公差d＞0，所以a3＜a4，所以a3＝9，a4＝13. 所以所以所以an＝4n－3. (2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n， 所以bn＝＝. 所以b1＝，b2＝，b3＝. 因为{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3， 所以2c2＋c＝0，所以c＝－(c＝0舍去). 经检验，c＝－符合题意， 所以c＝－. [学科素养·探索创新] 14．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为 ． 解析　对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n.当Sn取得最大值时，对任意n∈N＋满足解得n＝20，即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 答案　20 15．已知{an}是等差数列，首项为a1，其公差d<0，前n项和为Sn，设数列的前n项和为Tn. (1)若a1＝－4d，则当n＝ 时，Tn有最大值； (2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则的取值范围是 ． 解析　易知＝n＋， 若a1＝－4d，则＝n－d，由 解得8≤n≤9. 即n＝8或9时，Tn有最大值． 若当且仅当n＝6时，Tn有最大值， 则解得－3<<－. 答案　(1)8或9　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $