1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 解析　根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列． 答案　C 2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2 026，则序号n等于(　　) A．667　　　　　　　 B．668 C．675 D．676 解析　依题意，得an＝1＋3(n－1)＝3n－2，令2 026＝3n－2，解得n＝676. 答案　D 3．已知{an}是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝9－(n－1)＝－n＋10， 所以a10＝－10＋10＝0. 答案　B 4．(2025·河南洛阳一中高二月考)－401是等差数列－5，－9，－13，－17，…中的(　　) A．第98项 B．第99项 C．第100项 D．第101项 解析　根据题意，数列－5，－9，－13，－17，…是等差数列，数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，令an＝－4n－1＝－401，解得n＝100.故－401是数列的第100项． 答案　C 5．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝ ． 解析　由题意得该等差数列的公差d＝＝，所以c－a＝2d＝. 答案　 6．已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d＝ ． 解析　根据题意得 a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，① 又a3＝a1＋2d＝－2，② 由①②联立，得d＝－. 答案　－ 7．已知{an}是等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝ ． 解析　由题意知 即解得 所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15. 答案　15 8．已知在数列{an}中，a1＝1，a3＝4. (1)若数列{an}是等差数列，求a11的值； (2)若数列是等差数列，求数列{an}的通项公式． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d. 由题设，2d＝4－1＝3，所以d＝. 所以an＝1＋(n－1)＝－＋，所以a11＝16. (2)设bn＝，则数列{bn}是等差数列， b1＝，b3＝， 所以2d＝－，即d＝－. 所以bn＝－(n－1)＝， 即＝，所以an＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列．若81是该数列中的一项，则公差可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d. 因为81是该数列中的一项，所以81＝1＋(n－1)d， 所以n＝＋1.因为d，n∈N＋， 所以d是80的因数，故d可能是2，4，5，不可能是3.故选ACD. 答案　ACD 10．数列{an}满足a1＝2，＝＋1(n∈N＋)，则(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析　记bn＝，则bn＋1＝bn＋1，b1＝＝1，故数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，故bn＝1＋(n－1)×1＝n＝，所以an＝1＋＝.故选B. 答案　B 11．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 ． 解析　因为＝＋，a1＝8， 所以 －＝，＝2， 所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×＝(n＋1)， 所以an＝2(n＋1)2. 答案　an＝2(n＋1)2 12．(2025·徐州高二检测)若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为 ． 解析　数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列， 所以ln a2－ln a1＝ln a5－ln a2， 即ln (a1＋d)－ln a1＝ln (a1＋4d)－ln (a1＋d)， 即＝，所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以a＋2a1d＋d2＝a＋4a1d， 解得d＝2a1，所以＝＝3. 答案　3 13．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16. (1)证明：数列是公差为－2的等差数列； (2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项． (1)证明　设数列{an}的公差为d， 因为a2＝4，a6＝16， 所以4d＝a6－a2＝12，得d＝3， 所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2， 设bn＝an－3n，则bn＝－2n－， 所以bn＋1－bn＝－2， 即数列是公差为－2的等差数列． (2)解析　由(1)得a1＝4－3＝1，设新数列为{cn}，其公差为d1，则c1＝1，c5＝4， 所以4d1＝3，得d1＝， 所以c41＝1＋(41－1)×＝31. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有(　　) A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列 B．数列{(－1)n}是等方差数列 C．若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列 D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(n∈N＋，k为常数)不是等方差数列 解析　根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n-1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确； 若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a－a＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p. 又p为常数，所以d＝0，C正确； 若数列{an}是等方差数列，则a－a＝p， a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，D错误． 答案　ABC 15．(2025·潍坊高二检测)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2, … )，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1. 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列 {an}不可能为等差数列， 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ). 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾． 所以，不存在λ使{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $