2.6.1 函数的单调性-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“用导数研究函数的单调性”，通过高台跳水运动函数图像观察和具体函数单调性分析等问题导入，引导学生从特殊到一般抽象出导数符号与单调性的关系，搭建“问题探究—结论形成—应用巩固”的学习支架。 其亮点在于融入数学抽象、逻辑推理等核心素养，如通过含参数函数单调性讨论培养分类思维，结合错题案例强化定义域意识。采用问题链驱动和一题多解，助力学生提升数学运算能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第二章　导数及其应用 §6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学 导数的符号与函数的单调性之间的关系 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 ＞ 区间 增 ＜ 区间 减 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解导数的符号与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 1.通过导数与函数单调性关系的学习，提升数学抽象、直观想象等核心素养． 2．借助导数研究函数的单调性，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 　观察高台跳水运动员的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别． [提示]　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0； (2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0. 　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ [提示]　(1)在区间(－∞，＋∞)上，y′＝1>0，y是增函数； (2)在区间(－∞，0)上，y′＝2x<0，y是减函数； 在区间(0，＋∞)上，y′＝2x>0，y是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)上，y′＝3x2≥0，y是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上，y′＝－ eq \f(1,x2)<0，y在每个区间上都是减函数． 　在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增函数，反过来也成立吗？ [提示]　不一定成立．例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)≥0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件． ◎结论形成 1．导数的符号与函数的单调性之间的关系 (1)若在定义域的某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)___0，则在这个______上，函数y＝f(x)单调递___． (2)若在定义域的某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)___0，则在这个______上，函数y＝f(x)单调递___． 2．函数单调递增(或递减)的充要条件 若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． [拓展]　 1．充分不必要条件 f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是函数f(x)在定义域内的某个区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件． 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 越快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 越慢 比较“平缓”(向上或向下) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角．(　　) (2)若f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上必有f′(x)＞0.(　　) (3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．(　　) (4)函数f(x)在(a，b)上变化得越快，其导数就越大.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析　y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3＜0得－1＜x＜1，所以函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1，1). 答案　C 3．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析　由导数的图象可得，导函数f′(x)的值在[－1，0]上逐渐增大， 故函数f(x)在[－1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f(x)的图象是下凹型的． 导函数f′(x)的值在[0，1]上逐渐减小， 故函数f(x)在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的． 答案　B 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是___________． 解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，即(x－2)ex＞0，解得x＞2. 答案　(2，＋∞) 题型一　利用导数求不含参数的函数单调区间 eq \a\vs4\al(一题多解) 　[教材例1拓展]求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x－x3； (2)f(x)＝3x2－2ln x. [解析]　(1)因为f′(x)＝3－3x2 ＝－3(x＋1)(x－1)， 法一　当f′(x)＞0， 即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增； 当f′(x)＜0， 即x＜－1或x＞1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减． 所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞). 法二　令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜1时， f′(x)＞0； 当x＞1时，f′(x)＜0. 所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞). (2)函数的定义域为(0，＋∞). 因为f′(x)＝6x－ eq \f(2,x) ＝ eq \f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,3))),x)＝ eq \f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3))),x)， 又因为x＞0，所以令f′(x)＝0，得x＝ eq \f(\r(3),3). 当0＜x＜ eq \f(\r(3),3)时，f′(x)＜0； 当x＞ eq \f(\r(3),3)时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))). 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． [注意]　如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 　 [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A．y＝2x3＋4x　　　 B．y＝x＋sin (－x) C．y＝lg |x| D．y＝2x－2－x (2)(2025·福州高二月考)已知函数f(x)＝－ eq \f(1,2)x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析　(1)由奇函数的定义可知，A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，y′＝6x2＋4＞0，所以y＝2x3＋4x在(0，1)上单调递增；对于选项B，y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin (－x)在(0，1)上单调递增；对于选项D，y′＝2x ln 2＋2－xln 2＞0，所以y＝2x－2－x在(0，1)上单调递增，故选ABD. (2)定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝－x＋3－ eq \f(2,x)＜0.又x＞0，解得x＞2或0＜x＜1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，(2，＋∞)，单调递增区间为(1，2). 答案　(1)ABD　(2)(0，1)和(2，＋∞)　(1，2) 题型二　导函数与原函数图象的关系 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)设函数f(x)在定义域上可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) (2)函数y＝f(x)在定义域 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)＜0的解集为___________． [解析]　(1)由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数的图象应始终在x轴上方；当x＞0时，函数先增后减再增，导数值应先正后负再正，对应的图象先在x轴上方，然后又在x轴下方，再回到x轴上方．对照选项，只有D正确． (2)函数y＝f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2，3)上单调递减，所以在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2，3)上，y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2，3). [答案]　(1)D　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2，3) [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，试求不等式f′(x)＞0的解集． 解析　根据题目中的图象，函数y＝f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和(1，2)上单调递增，所以在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和区间(1，2)上y＝f′(x)＞0，所以f′(x)＞0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))∪(1，2). 2．(变结论)若本例(2)中的条件不变，试求不等式xf′(x)＞0 的解集． 解析　当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))时，函数为减函数， 则f′(x)＜0，即xf′(x)＞0； 当x∈(1，2)时，函数为增函数， 则f′(x)＞0，即xf′(x)＞0. 综上可知，xf′(x)＞0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1，2). [素养聚焦]　在函数图象与导函数图象关系的应用过程中，体现了直观想象、逻辑推理等核心素养. 函数与导函数图象间的关系 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．　 [触类旁通] 2．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，是y＝f(x)的大致图象的是(　　) 解析　当0＜x＜1时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在区间(0，1)上为减函数； 当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数．故选C. 答案　C 题型三　含参数的函数单调性问题 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　讨论含参数的函数单调性 　(2025·四川广元市期末)已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋2a ln x．讨论f(x)的单调性． [解析]　函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x＋ eq \f(2a,x)＝ eq \f(x2＋2a,x). ①当a≥0时，f′(x)＝ eq \f(x2＋2a,x)＞0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a＜0时，令f′(x)＝ eq \f(x2＋2a,x)＝0，得x＝ eq \r(－2a).由二次函数性质可知，当x∈(0， eq \r(－2a))时，f′(x)＜0，f(x)在(0， eq \r(－2a))上单调递减；当x∈[ eq \r(－2a)，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)在[ eq \r(－2a)，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在(0， eq \r(－2a))上单调递减，在[ eq \r(－2a)，＋∞)上单调递增． 讨论含参函数的单调性的关键点 (1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间内的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结． (2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0.高考热点是对函数求导后解含参数的一元二次不等式，一般按以下顺序分类讨论：①对二次项系数是否为0进行讨论；②对相应方程根的判别式Δ与0的关系进行讨论；③当Δ＞0时，讨论两根的大小．　 角度2　已知函数单调性求参数(范围) 　(1)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1)，a＞0，若f(x)在(0，1)上是增函数，则a的取值范围是_____________； (2)(2025·德州高二检测)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是______________． [解析]　(1)因为f′(x)＝2a－3x2， 令f′(x)＞0，由a＞0，x＞0可解得0＜x＜ eq \r(\f(2a,3))， 所以f(x)的单调递增区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0， \r(\f(2a,3)))). 又因为f(x)在(0，1)上是增函数， 所以(0，1)⊆ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0， \r(\f(2a,3)))).所以 eq \r(\f(2a,3))≥1，即a≥ eq \f(3,2). 所以a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). (2)由函数f(x)＝kx－ln x，可得f′(x)＝k－ eq \f(1,x)，因为函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调， 所以f′(x)＝0在区间(1，＋∞)有解，并且解的两侧，导数的符号相反． 令k－ eq \f(1,x)＝0，解得x＝ eq \f(1,k)＞1，所以k∈(0，1). 而f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,k)))上单调递减，在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，＋∞))上单调递增， 所以k的取值范围是(0，1). [答案]　(1) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))　(2)(0，1) 已知函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；②利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). [提醒]　利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题注意验证等号是否成立．　 [触类旁通] 3．(1)(2025·四川达州高二月考)已知函数f(x)＝－ eq \f(1,3)x3＋ eq \f(1,2)x2＋2ax. ①若函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________． ②若函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上单调递增，则实数a的取值范围是_____________． (2)(2023·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x，讨论f(x)的单调性． 解析　(1)①f′(x)＝－x2＋x＋2a，由于f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))上存在单调递增区间，故∃x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))，使得f′(x0)>0，∴a> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x,2))) eq \s\do7(min)，由于y＝ eq \f(x2－x,2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，且当x＝ eq \f(2,3)时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x,2))) eq \s\do7(min)＝－ eq \f(1,9)，∴a＞－ eq \f(1,9)，即实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，＋∞)). ②若函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上单调递增，则∀x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，f′(x)≥0恒成立，所以a≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x,2))) eq \s\do7(max)， 由于y＝ eq \f(x2－x,2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增， 故y＝ eq \f(x2－x,2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上单调递增， 当x＝1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x,2))) eq \s\do7(max)＝0，∴a≥0，即实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)). (2)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R， 所以f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减； 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0， 解得x＝－ln a， 当x<－ln a时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； 当x>－ln a时，f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 答案　(1)① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，＋∞))　②[0，＋∞)　(2)略 [缜密思维提能区] 易错案例 求函数的单调区间忽视定义域致误 [典例]　设函数f(x)＝ax－ eq \f(a,x)－2ln x，且f′(2)＝0，求函数f(x)的单调区间． [错解]　由f(x)＝ax－ eq \f(a,x)－2ln x得 f′(x)＝a＋ eq \f(a,x2)－ eq \f(2,x).由f′(2)＝0得a＝ eq \f(4,5)， 即f′(x)＝ eq \f(2,5x2)(2x2－5x＋2)， 由f′(x)＞0得x＞2或x＜ eq \f(1,2)， 由f′(x)＜0得 eq \f(1,2)＜x＜2， 所以函数的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))和(2，＋∞)，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)). [正解]　由已知得x＞0，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 因为f′(x)＝a＋ eq \f(a,x2)－ eq \f(2,x)， 所以由f′(2)＝a＋ eq \f(a,4)－1＝0，得a＝ eq \f(4,5). 即f′(x)＝ eq \f(4,5)＋ eq \f(4,5x2)－ eq \f(2,x)＝ eq \f(2,5x2)(2x2－5x＋2). 令f′(x)＞0，得0＜x＜ eq \f(1,2)或x＞2， 令f′(x)＜0，得 eq \f(1,2)＜x＜2， 所以函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)). [纠错心得]　在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内解决问题． 知识落实 技法强化 (1)函数的单调性与其导数的关系． (2)利用导数判断函数的单调性． (3)利用导数求函数的单调区间． (4)由导数的信息画函数的大致图象． 对于含参数的函数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏． $