2.3 导数的计算-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的计算，涵盖导函数概念、基本初等函数导数公式及切线方程应用，通过问题引导（如求具体函数在不同点的导数）推导导函数，搭建从具体计算到抽象概念的学习支架，衔接导数概念与运算的过渡。 其亮点在于以问题链培养数学抽象（如从具体函数导数到导函数定义），通过例题变式（如切线方程的切点与非切点问题）提升数学运算和逻辑推理，课堂小结系统梳理知识与技法。学生能夯实基础、提升解题能力，教师可获得结构化教学资源，提高教学效率。

第二章　导数及其应用 §3　导数的计算 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 导函数 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 每一点x f′(x) 导函数 导数 y′ 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 导数公式 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 0 αxα-1 ax ln a ex 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 cos x －sin x 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解导函数的概念，会利用导数的概念求常见函数的导数．(难点) 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用．(重点) 1.通过学习导函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，f′(a)(a∈R)? [提示]　 eq \f(Δy,Δx)＝eq \o\al(2,0) eq \f(－(x0＋Δx)2＋2－（－x＋2）,Δx) ＝－2x0－Δx， 当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0， 所以f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1， f′(a)＝－2a. 　问题1中，若x0是一个变量x，f′(x)还是常量吗？ [提示]　f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ◎结论形成 导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的____________处都有导数f′(x)＝ ________________，那么_______是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的________，也简称为______，有时也将导数记作______． eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) [导学点睛] f′(x0)与f′(x)的异同 名称 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值． 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值． f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 　函数y＝f(x)＝x的导数是什么？ [提示]　因为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝ eq \f(x＋Δx－x,Δx)＝1，所以y′＝ eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝1，即y′＝1. 　函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？ [提示]　y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动． ◎结论形成 基本初等函数的导数 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝___ y＝xα(α是实数) y′＝______ y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝________ 特别地(ex)′＝___ y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝_______ 特别地(ln x)′＝______ y＝sin x y′＝_________ y＝cos x y′＝__________ y＝tan x y′＝________ eq \f(1,x ln a) eq \f(1,x) eq \f(1,cos2x) [拓展]　 1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝ eq \f(ln x,ln a)，于是f′(x)＝(logax)′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,ln a)))′＝ eq \f(1,ln a)·(ln x)′＝ eq \f(1,x ln a).据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，另一方面还可以加深我们对这个导数公式的记忆． 2．由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝ eq \r(n,xm)，有f(x)＝ eq \r(n,xm)＝x eq \s\up6(\f(m,n))，从而f′(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(m,n))))′＝ eq \f(m,n)x eq \f(m,n)-1. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝ eq \r(2)，则y′＝ eq \f(1,2)×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (3)f(x)＝ eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－ eq \f(3,x4).(　　) (4)f(x)＝ln ex，则f′(x)＝ eq \f(x,e).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．f(x)＝x2，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．2　　　　　　 B．1 C．－2 D．－1 解析　f′(x)＝(x2)′＝2x， 又f′(x0)＝2，所以2x0＝2，所以x0＝1. 答案　B 3．已知函数f(x)＝sin x，其导函数为f′(x)，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝(　　) A．－ eq \f(1,2)　　 B． eq \f(3,2)　　　 C． eq \f(1,2)　　 D．－ eq \f(3,2) 解析　∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x， ∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝cos eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2).故选C. 答案　C 4．曲线y＝f(x)＝ln x与x轴交点处的切线方程是_________． 解析　因为曲线y＝f(x)＝ln x与x轴的交点为(1，0)，所以f′(1)＝1，切线的斜率为1， 所以切线方程为y＝x－1. 答案　y＝x－1 题型一　利用导数公式求函数的导数 　求下列函数的导数． (1)y＝x7；(2)y＝ eq \f(1,x2)；(3)y＝ eq \r(3,x)； (4)y＝2sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2)；(5)y＝x2－x. [解析]　(1)y′＝7x7-1＝7x6. (2)因为y＝x-2，所以y′＝－2x-2-1＝－2x-3. (3)因为，所以. (4)因为y＝2sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2)＝sin x， 所以y′＝cos x. (5)因为y＝x2－x＝x， 所以y′＝(x)′＝ eq \f(1,x ln \f(1,2)). 用导数公式求函数导数的方法 (1)对于简单的函数，直接套用公式； (2)对于较为复杂，不能直接套用公式的函数，可先把题中函数解析式恒等变形为基本初等函数，再求导． [提醒]　求导前要注意判断自变量是什么，例如f(x)＝cos π的导数f′(x)＝0.　 [触类旁通] 1．(1)函数f(x)＝ eq \r(5,x3)，则f′(x)＝____________，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝_____________． (2)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝_____________． 解析　(1)因为f(x)＝ eq \r(5,x3)＝x eq \s\up6(\f(3,5))， 所以f′(x)＝ eq \f(3,5)x－ eq \f(2,5). f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32))) eq \s\up12(－\f(2,5))＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2)＝ eq \f(12,5). (2)∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝ eq \f(1,x ln 3)， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－ eq \f(1,x ln 3). 答案　(1) eq \f(3,5)x－ eq \f(2,5)　 eq \f(12,5) (2)3x2－ eq \f(1,x ln 3) 题型二　导数公式的简单应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． [解析]　因为y′＝ eq \f(1,x)，所以当x＝e时，y′＝ eq \f(1,e)， 即切线斜率为 eq \f(1,e)， 所以切线方程为y－1＝ eq \f(1,e)(x－e)， 即x－ey＝0. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，求曲线过O(0，0)的切线． 解析　因为O(0，0)不在曲线上， 所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k＝ eq \f(1,a)，又因为k＝ eq \f(b－0,a－0)，且b＝ln a， 所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．(变条件、变结论)若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解析　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0，0)，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝ eq \f(1,a)， 又因为m＝ eq \f(b－0,a－0)，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1， m＝ eq \f(1,e)，即m的取值范围为(－∞，0]∪ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))). 已知一点求切线方程 [触类旁通] 2．(1)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程为____________． (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为__________． 解析　(1)因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝ eq \f(4－1,2＋1)＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝ eq \f(1,2)， 所以切点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))). 所以所求的切线方程为y－ eq \f(1,4)＝x－ eq \f(1,2)， 即4x－4y－1＝0. (2)设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝ eq \f(1,x). 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以y′|x＝x0＝ eq \f(1,x0)＝1，即x0＝1， 所以切点为(1，0). 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 答案　(1)4x－4y－1＝0　(2)－1 题型三　与切线有关的综合问题 　求证：在曲线y＝ eq \f(1,x)上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． [证明]　设P(x0，y0)为y＝ eq \f(1,x)上任意一点， 则y0＝ eq \f(1,x0)(x0≠0).又y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－ eq \f(1,x2)， 所以双曲线在P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))处的切线斜率k＝－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) ，所以切线方程为y－y0＝－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) (x－x0). 令x＝0，则y＝ eq \f(2,x0)；令y＝0，则x＝2x0. 所以切线与x轴，y轴的交点分别为(2x0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,x0))).因此，所求三角形的面积为S＝ eq \f(1,2)|2x0|· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))＝2(常数). 所以在双曲线y＝ eq \f(1,x)上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． [素养聚焦]　本例通过导数知识的综合应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 要求面积，须求出切线与x轴、y轴的交点坐标，因此解决问题的切入点是切点P(x0，y0)的设定，然后利用参数x0表达出切线方程及三角形面积，消去参数x0，说明面积与参数x0无关.　 [触类旁通] 3．(1)已知曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相切，则C的半径为(　　) A． eq \r(2) B．1 C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(1,2) (2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为 eq \f(1,6)，则a＝______________． 解析　(1)由y＝ln x得y′＝ eq \f(1,x)，故切线斜率k＝y′|x＝1＝1，所以切线方程为y＝x－1，又直线y＝x－1与圆x2＋y2＝r2相切，所以圆C的半径r＝ eq \f(|－1|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \f(\r(2),2). (2)由y＝x3可得y′＝3x2， 所以曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为k＝3a2， 切线方程为y－a3＝3a2(x－a)， 切线与x轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，0)). 所以三角形的面积为 eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))·|a3|＝ eq \f(1,6)， 解得a＝±1. 答案　(1)C　(2)±1 知识落实 技法强化 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程． (1)牢记和运用好导数公式．能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导． $