2.2.1 导数的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念及其几何意义”，通过具体函数实例（如\(f(x)=3x^2 + 2\)）的平均变化率引入，逐步过渡到瞬时变化率，抽象出导数定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接平均与瞬时变化率的知识脉络。 其亮点在于分层设计（课前自主学习、课堂互动探究、课后学业评价），强化数学抽象（导数概念形成）和数学运算（规范“一差二比三极限”求导步骤），结合瞬时速度、降雨量等实例培养应用意识。规律方法总结清晰，教师使用可提升教学效率，学生能深化理解并应用导数解决实际问题。

第二章　导数及其应用 §2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学 导数的概念 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 f(x0) f(x1) 0 一个固定的值 x0的瞬时变化率 x0处的导数 f′(x0) 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.了解函数导数的概念，会求函数在某点处的导数．(重点) 2．理解导数在实际问题中的意义并能简单应用．(难点) 1.通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求函数在某点处的导数及结合具体问题解释导数的实际意义，提升数学运算等核心素养． 　已知函数f(x)＝3x2＋2. (1)求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率； (2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？ [提示]　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3(Δx)2，所以f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝12＋3Δx. (2)当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于常数12. eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) ◎结论形成 导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从_______变到_______，函数值y关于x的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝_______________＝_____________．当x1趋于x0，即Δx趋于___时，如果平均变化率趋于_________________，那么这个值就是函数y＝f(x)在点____________________．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点_________________，通常用符号_____________表示，记作f′(x0) ＝___________________＝__________________． eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) eq \o(lim,\s\do14(x1→x0)) eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0) [拓展]　 1．理解函数在某点处的导数 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)物体自由落体的运动函数为s(t)＝ eq \f(1,2)gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝9.8 m/s，那么下列说法中不正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确． 答案　ABD 3．已知函数f(x)＝A(A为常数)，则f′(2)＝____________． 解析　因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0， 所以 eq \f(Δy,Δx)＝0. 当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于0，所以f′(2)＝0. 答案　0 4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是_______． 解析　 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6， 所以当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于6，即s′(1)＝6， 故物体在第t＝1时的瞬时速度为6. 答案　6 题型一　函数在某点处的导数 　(1)已知函数y＝f(x)＝ax＋4，若当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于2，则实数a的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C．3 D．－3 (2)求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数． [解析]　(1)若当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于2， 所以f′(x)＝a，所以a＝2. (2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3， eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3,Δx)＝5＋3Δx＋(Δx)2， 当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于5，所以f′(1)＝5. [答案]　(1)A　(2)略 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)求平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). (3)取极限，得导数f′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).即Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于一个常数．简记为一差、二比、三极限.　 [触类旁通] 1．(1)(2025·佛山高二检测)设f(x)＝x3－8x，则f′(2)＝(　　) A．－4 B．－8 C．4 D．8 (2)设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝___________． 解析　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝(2＋Δx)3－8(2＋Δx)－(8－16) ＝4Δx＋16(Δx)2＋(Δx)3， 所以 eq \f(Δy,Δx)＝4＋16Δx＋(Δx)2， 当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于4. 故f′(2)＝4.选C. (2)因为Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝a(－1＋Δx)3＋2－[a(－1)3＋2] ＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx， eq \f(Δy,Δx)＝a(Δx)2－3aΔx＋3a， 所以当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于3a，所以3a＝3， 即a＝1. 答案　(1)C　(2)1 题型二　物体在某点处的瞬时速度 eq \a\vs4\al(一题多变) 　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝1－t＋t2表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [解析]　因为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt) ＝ eq \f(1－(1＋Δt)＋(1＋Δt)2－(1－1＋12),Δt)＝1＋Δt， 所以当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于1. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为1 m/s. [母题变式] 1．(变结论)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解析　求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度， 因为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(0＋Δt)－s(0),Δt) ＝ eq \f(1－(0＋Δt)＋(0＋Δt)2－(1－0＋02),Δt)＝－1＋Δt， 所以当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于－1. 即物体的初速度为－1 m/s. 2．(变结论)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解析　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt)＝2t0－1＋Δt. 当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于2t0－1. 所以由2t0－1＝9，得t0＝5. 则物体在t0＝5 s时的瞬时速度为9 m/s. 求物体瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t). (2)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (3)求在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度 eq \f(Δs,Δt). (4)求在t＝t0时的瞬时速度v＝ eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt).　 [触类旁通] 2．(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－ eq \f(1,2)gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________． (2)某物体的运动方程为s(t)＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度为________． 解析　(1)∵s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－ eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2－eq \o\al(2,0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt)) ＝v0Δt－gt0Δt－ eq \f(1,2)g(Δt)2， ∴ eq \f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt)＝v0－gt0－ eq \f(1,2)gΔt， 所以当Δt趋于0时， eq \f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt)趋于v0－gt0， 即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. (2)∵当t＝1时，s(1＋Δt)－s(1) ＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴ eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝ eq \f(2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt,Δt) ＝2(Δt)2＋6Δt＋6， 所以当Δt趋于0时， eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)趋于6， 即物体在t＝1时的瞬时速度为6. 答案　(1)v0－gt0　(2)6 题型三　解释导数的实际意义 　[教材例2、例3拓展]下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据： 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24 显然，降雨量y(单位：mm)是时间t(单位：min)的函数，用y＝f(t)表示． (1)分别计算当t从0 min变到10 min，从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t)＝ eq \r(10t)，求f′(40)并解释它的实际意义． [解析]　(1)当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0 mm变到10 mm，此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 eq \f(y(10)－y(0),10－0)＝ eq \f(10－0,10－0)＝1(mm/min). 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分钟降雨量为1 mm. 当t从50 min变到60 min时，降雨量y从22 mm变到24 mm， 此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 eq \f(y(60)－y(50),60－50)＝ eq \f(24－22,60－50)＝0.2(mm/min). 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分钟降雨量为0.2 mm. 1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大． (2)因为 eq \f(f(40＋Δt)－f(40),Δt)＝ eq \f(\r(10(40＋Δt))－\r(10×40),Δt) ＝ eq \f(10(40＋Δt)－400,Δt(\r(10（40＋Δt))＋20）)＝ eq \f(10,\r(400＋10Δt)＋20)， 所以当Δt趋于0时， eq \f(10,\r(400＋10Δt)＋20)趋于 eq \f(1,4)， 即f′(40)＝0.25(mm/min)， f′(40)表示当t＝40 min时，瞬时降雨强度为0.25 mm/min. 函数在某点处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率，而瞬时变化率刻画的是函数在这一点处变化的快慢．导数可以描述事物的瞬时变化率，它在现实生活中有广泛的应用，如用导数来解决膨胀率、效率、GDP的增长率、瞬时速度等．　 [触类旁通] 3．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并解释它的实际意义． 解析　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2) eq \f(Δh,Δt)＝ eq \f(h(1)－h(0),1－0)＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s. (3)因为 eq \f(Δh,Δt)＝ eq \f(h(1＋Δt)－h(1),Δt)＝5(Δt)2＋45Δt＋120， 所以当Δt趋于0时， eq \f(Δh,Δt)趋于120. 即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加． 知识落实 技法强化 (1)导数的概念及应用． (2)导数在实际问题中的意义． 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式． $