2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“平均变化率与瞬时变化率”，以高台跳水运动员高度变化等实例导入，通过问题引导从具体情境抽象出平均变化率公式，再结合几何意义（两点连线斜率）和物理意义（平均速度），构建从具体到抽象的知识脉络，为后续导数学习搭建支架。 其亮点在于采用“一题多变”变式训练和表格数据观察法，如通过缩短时间间隔估计瞬时速度，培养学生数学抽象（概念定义）、数学运算（变化率计算）和直观想象（数据趋势观察）等核心素养。学生能在实例分析中深化理解，教师可借助结构化的课前、课堂、课后案提升教学效率。

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 平均变化率 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 f(x1)变为 Δx Δy [x1，x2] 快慢 f(x2) 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 瞬时变化率 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 某一点处变化的快慢 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.了解函数的平均变化率与在某一点的瞬时变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率的关系．(难点) 2．会求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率．(重点) 1.通过函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率和瞬时变化率，提升直观想象等核心素养． [提示]　 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(h(2)－h(1),2－1)＝－8.2(m/s). 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度 eq \o(v,\s\up6(－))是多少？ [提示]　 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(h(0.5)－h(0),0.5－0)＝4.05(m/s). 　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度 eq \o(v,\s\up6(－))是多少？ ◎结论形成 函数的平均变化率 　对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从_________ _______，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝___________．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作______，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作______．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 eq \f(Δy,Δx)＝__________．用它来刻画函数值在区间__________上变化的______． eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1) [拓展] (1)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)所在直线的斜率． (2)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(s(t2)－s(t1),t2－t1). 　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． [提示]　 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(8－3(1＋Δt)2－8＋3×12,Δt)＝－6－3Δt. 　当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ [提示]　当Δt趋近于0时， eq \f(Δs,Δt)趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ◎结论形成 瞬时变化率 　对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝__________． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在___________________． eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) [拓展]　 对瞬时变化率的几点说明 (1)在 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)中，Δx可正，可负，但不可为0，但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数. (2)在 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)中，当Δx趋向于0时， eq \f(Δy,Δx)也趋于一个定值，与Δx无关． (3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． (4)函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　) (2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　) (3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))(x1≠x2)所在直线的斜率．(　　) (4)瞬时变化率刻画的是函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　) A．2.1　　　　　　　 B．0.21 C．1.21 D．12.1 解析　Δx＝1.1－1＝0.1， Δy＝1.12－1－(12－1)＝0.21. 所以函数的平均变化率为 eq \f(f(1.1)－f(1),1.1－1)＝ eq \f(0.21,0.1)＝2.1.故选A. 答案　A 3．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．如果第x小时时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4小时时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 解析　因为Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝(4＋Δx)2－7(4＋Δx)＋15－(42－7×4＋15)＝8Δx＋Δx2－7Δx＝Δx2＋Δx， 因为 eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋1.当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx)趋于1. 因此，第4小时时，原油温度的瞬时变化率为1. 答案　B 4．(2025·重庆永川北山中学期末)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为__________． 解析　Δs＝5×32＋3m－(5×22＋2m)＝25＋m，Δt＝3－2＝1， ∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s， ∴ eq \f(Δs,Δt)＝25＋m＝26，解得m＝1. 答案　1 题型一　函数的平均变化率 eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝ eq \f(2＋\f(1,2)－(1＋1),1)＝ eq \f(1,2)； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f(5)－f(3),5－3)＝ eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝ eq \f(14,15). 因为 eq \f(1,2)＜ eq \f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． [母题变式] 1．(变条件、变结论)计算函数f(x)＝x2在区间[1，1＋Δx](Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为 (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 解析　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， 所以 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f((Δx)2＋2Δx,Δx)＝Δx＋2. (1)当Δx＝2时， eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝4； (2)当Δx＝1时， eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝3； (3)当Δx＝0.1时， eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝2.1； (4)当Δx＝0.01时， eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2＝2.01. 2．(变条件、变结论)若函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围． 解析　因为函数f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(2＋Δx)－f(2),Δx) ＝ eq \f(－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2),Δx) ＝ eq \f(－4Δx＋Δx－(Δx)2,Δx)＝－3－Δx， 所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0， 所以Δx的取值范围是(0，＋∞). [素养聚焦]　在求平均变化率的过程中，体现了数学运算等核心素养． 求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)最后求平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1).　 [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝x2－1，则自变量x由1变到1.1时，f(x)的平均变化率为(　　) A．0.21 B．－0.21 C．2.1 D．－2.1 解析　平均变化率 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.1)－f(1),1.1－1)＝ eq \f(1.12－12,0.1)＝2.1.故选C. 答案　C 题型二　物体的平均速度 　已知某质点按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动，求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度． [解析]　(1)由题意可知Δt＝3， Δs＝s(3)－s(0)＝24， 所以平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(24,3)＝8(m/s). (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(12,1)＝12(m/s). 关于物体的平均速度 (1)如果已知物体运动的轨迹方程，则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度． (2)如果物体的运动轨迹未知，只知道在某些时刻的位移，则可以“以直代曲”，将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题．　 [触类旁通] 2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 解析　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f([(2＋Δt)2＋1]－(22＋1),Δt)＝ eq \f(4Δt＋(Δt)2,Δt) ＝4＋Δt. 又 eq \o(v,\s\up6(－))≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1. 又Δt>0，所以Δt的取值范围为(0，1]. 题型三　估计瞬时变化率 　高台跳水是世界锦标赛比赛项目之一，运动员在腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，试确定t＝2 s时，运动员的瞬时速度． [解析]　先求运动员在2 s到2.1 s(即t∈[2，2.1])的平均速度为 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(ΔH,Δt)＝ eq \f(H(t1)－H(t0),t1－t0)＝ eq \f(H(2.1)－H(2),2.1－2) ＝ eq \f(2.041－3.4,0.1)＝－13.59(m/s). 将时间间隔每次缩短为前面的 eq \f(1,10)，计算相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 2 2.01 0.01 －0.131 49 －13.149 2 2.001 0.001 －0.013 104 9 －13.104 9 2 2.000 1 0.000 1 －0.001 310 049 －13.100 49 2 2.000 01 0.000 01 －0.000 131 000 49 －13.100 049 2 … … … … 可以看出，当时间趋于t＝2 s时，平均速度趋于－13.1 m/s，因此可以认为t＝2 s时，运动员的瞬时速度为－13.1 m/s. 求瞬时变化率时，要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．　 [触类旁通] 3．假设t s后运动员相对于水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋4.9t＋10，且运动员在区间[0，t0]上的平均速度为0，试确定t0，并估计此时刻的瞬时速度． 解析　由已知得 eq \o(v,\s\up6(－))＝ eq \f(H(t0)－H(0),t0－0) ＝eq \o\al(2,0) eq \f(－4.9t＋4.9t0＋10－10,t0) ＝－4.9t0＋4.9＝0. 所以t0＝1. 可以计算出相应的平均速度得到下表： t0/s t1/s 时间的改 变量(Δt)/s 高度的改变量 (ΔH)/m 平均速度 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔH,Δt)))/(m/s) 1 1.1 0.1 －0.539 －5.39 1 1.01 0.01 －0.049 49 －4.949 1 1.001 0.001 －0.004 904 9 －4.904 9 1 1.000 1 0.000 1 －0.000 490 049 －4.900 49 1 … … … … 可以看出，当时间t1趋于t0＝1 s时，平均速度趋于－4.9 m/s，因此可估计运动员在t0＝1 s时的瞬时速度为－4.9 m/s. [缜密思维提能区] 规范答题 求函数的平均变化率 [典例]　(13分)已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝ eq \f(4,3)πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L，半径r的平均变化率哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ [审题指导]　(1)直接求r(V)即可． (2)依据平均变化率的定义分别求解再进行比较． [规范解答]　 (1)因为V＝ eq \f(4,3)πr3， 所以r3＝ eq \f(3V,4π)，r＝ eq \r(3,\f(3V,4π))， 所以r(V)＝ eq \r(3,\f(3V,4π)) ①.(3分) (2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为 eq \f(r(1)－r(0),1－0)＝ eq \f(\r(3,\f(3×1,4π))－0,1)≈0.62(dm/L)，(6分) 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为 eq \f(r(2)－r(1),2－1)＝ eq \r(3,\f(3×2,4π))－ eq \r(3,\f(3×1,4π)) ≈0.16(dm/L)②.(10分) 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．(13分) 知识落实 技法强化 (1)平均变化率及其几何意义，物理意义． (2)瞬时变化率． (1)数形结合． (2)平均变化率与瞬时变化率的关系，瞬时变化率中Δx≠0只与x0有关． $