1.3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦等比数列第二课时，核心内容包括等比中项概念、等比数列性质及应用。课前通过自主学习案引导学生研究数列增减性，结合导学问题探究项数和与积的关系，衔接前课时的概念与通项公式，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以素养为导向，通过等比中项判断、酒精浓度计算等实例，培养数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。采用一题多解、灵活设项等教学方法，课堂小结强化知识落实与技法提升，助力学生提升运算与应用能力，为教师提供结构化教学资源，有效提升教学效率。

第一章　数列 §3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的性质及其应用 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 等比数列的增减性 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 等比数列项的性质 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 apaq 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 q |q| qm q1q2 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学3 等比中项 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 G 等比数列 等比中项 前一项 后一项 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项．(易错点) 2．掌握等比数列的常用性质并能解决有关问题．(重点) 3．能运用等比数列的知识解决一些实际问题．(难点) 1.通过等比中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列性质的探究与应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等比数列的实际应用，培养数学建模等核心素养． 　研究数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)))的增减性，并求项的最大值． [提示]　设an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)，由指数函数的单调性知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)))是递减数列，故项的最大值为a1＝ eq \f(1,2). ◎结论形成 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1))时，等比数列{an}为递增数列； (2)当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1))时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q＝1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 　已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n-1，… (1)计算a1a4＝______________；a2a3＝_____________．并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们的项数之间有什么关系？ [提示]　a1a4＝8，a2a3＝8，所以a1a4＝a2a3；项数之和对应相等，即1＋4＝2＋3. (2)若项数满足4＋5＝2＋7，那么a4a5＝a2a7吗？ [提示]　相等，a4＝23＝8，a5＝24＝16，a2＝2， a7＝26＝64，所以a4a5＝128＝a2a7. (3)若m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)，那么aman＝apal吗？ [提示]　相等，aman＝2m-1×2n-1＝2m＋n-2， apal＝2p-1×2l-1＝2p＋l-2.因为m＋n＝p＋l， 所以m＋n－2＝p＋l－2，所以aman＝apal. 　对任意的等比数列{an}，若aman＝apal(m，n，p，l∈N＋)，则m＋n＝p＋l吗？ [提示]　不一定相等，当数列{an}为常数列时，m＋n与p＋l不一定相等． ◎结论形成 1．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝______． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝______． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. a eq \o\al(2,k) 2．由等比数列衍生的新数列 (1)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任意不为零的常数)是公比为___的等比数列． ②{|an|}是公比为_____的等比数列． ③{a eq \o\al(m,n)}(m为常数，m∈N＋)是公比为___的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{anbn}是公比为________的等比数列． 　若三个数a，b，c成等比数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　 eq \f(b,a)＝ eq \f(c,b)，即b2＝ac. 　等比数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　a eq \o\al(2,n)＝an－1·an＋1. ◎结论形成 1．等比中项的概念 如果在a与b之间插入一个数___，使得a，G，b成____________，那么根据等比数列的定义， eq \f(G,a)＝ eq \f(b,G)，G2＝ab，G＝______．我们称G为a，b的_________． 2．结论 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的_________与_________的等比中项． ± eq \r(ab) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等比中项，且其等比中项有两个．(　　) (2)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.(　　) (3)等比数列去掉前面若干项后，余下的项仍构成等比数列．(　　) (4)在等比数列{an}中，若m＋n＝p，则aman＝ap.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选题)在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　 B．－27　　　 C．81　　 D．－81 解析　因为q2＝ eq \f(a3＋a4,a2＋a1)＝9，所以q＝±3， 因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27，故选AB. 答案　AB 3．在等比数列{an}中，a1＝ eq \f(1,2)，q＝2，则a3和a7的等比中项是(　　) A．8 B．±8 C． eq \f(1,8) D．± eq \f(1,8) 解析　a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝32，故a3和a7的等比中项是± eq \r(2×32)＝±8. 答案　B 4．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为__________． 解析　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a eq \o\al(2,4)＋2a4a6＋a eq \o\al(2,6)＝(a4＋a6)2＝102＝100. 答案　100 题型一　等比数列性质的综合应用 eq \a\vs4\al(一题多解) 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 eq \r(2)　　　　　　　 B．7 C．6 D．±5 eq \r(2) (2)(2025·江西省六校联考)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 (3)(多选题)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2·a16＝16， eq \f(a6＋a7,a3＋a4)＝ eq \f(1,8)，记等比数列{an}的前n项的积为Tn，则当Tn取得最大值时，n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 [解析]　(1)法一　由等比中项的性质知a1a2a3＝a eq \o\al(3,2)＝5，a7a8a9＝a eq \o\al(3,8)＝10，所以a2a8＝50 eq \s\up6(\f(1,3))，所以a4a5a6＝a eq \o\al(3,5)＝( eq \r(a2a8))3＝(50 eq \s\up6(\f(1,6)))3＝5 eq \r(2). 法二　由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝± eq \r(5×10)＝±5 eq \r(2).又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5 eq \r(2). (2)法一　由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n-6＝a eq \o\al(2,1)q2n-2＝22n，所以(a1qn-1)2＝(2n)2. 又an＞0，所以a1qn-1＝2n. 故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(a eq \o\al(n,1)q2+4+…+2n-2)＝log2[a eq \o\al(n,1)qn(n-1)]＝log2(a1qn-1)n＝log2(2n)n＝n2. 法二　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合． 法三　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n. 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. (3)因为a2·a16＝16，由等比数列的性质可得， a eq \o\al(2,9)＝a2·a16＝16， 因为an＞0，所以a9＝4， 因为 eq \f(a6＋a7,a3＋a4)＝ eq \f(1,8)，即 eq \f(a3q3＋a4q3,a3＋a4)＝ eq \f(1,8)， 所以q＝ eq \f(1,2)， 所以a10＝a9q＝4× eq \f(1,2)＝2，a11＝a10q＝1， 因为0＜q＝ eq \f(1,2)＜1，an＞0， 所以等比数列{an}为递减数列， 当n≥12时，0＜an＜1， 所以当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值． 答案　(1)A　(2)C　(3)CD 1．在等比数列的有关运算中，涉及次数较高的指数运算时，一般是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q直接利用等比数列的性质求解，往往可简化求解过程． 2．在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a1a7＝9，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2a6)) eq \s\up12(2)－a4＝(　　) A．6 B．12 C．56 D．78 (2)等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝___________． 解析　(1)在各项均为正数的等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，由等比数列的性质可得a eq \o\al(2,4)＝a1a7＝9，解得a4＝3. 所以a2a6＝a1a7＝9， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2a6)) eq \s\up12(2)－a4＝92－3＝78. 故选D. (2)设等比数列{an}的公比为q， 则由题意T13＝4T9， 可得a1a2…a13＝4a1a2…a9， 所以a10a11a12a13＝4. 由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12， 所以a8·a15＝±2. 又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0， 所以a8·a15＝2. 答案　(1)D　(2)2 题型二　灵活设项求解等比数列 eq \a\vs4\al(一题多变) 　有四个数，其中前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数． [解析]　设这四个数为 eq \f(a,q)，a，aq，b， 由题意 eq \f(a,q)·a·aq＝a3＝216，解得a＝6， 则这四个数为 eq \f(6,q)，6，6q，b， 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12q＝6＋b，,\f(6,q)＋6＋6q＋b＝21，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(2,3)，,b＝2，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)，,b＝0.)) 故这四个数分别为9，6，4，2或12，6，3，0. [母题变式] (变条件)若将本例的条件改为“前三个数成等比数列，它们的积为－8，后三个数成等差数列，它们的积为－80”，其他条件不变，试求这四个数． 解析　由题意设此四个数分别为 eq \f(b,q)，b，bq，a， 则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)．)) 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－ eq \f(4,5)，－2，－5，－8. [素养聚焦]　本题主要考查等比数列及其性质，突出考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 在等比数列中，灵活设项是非常重要的．一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或 eq \f(a,q)，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为 eq \f(a,q3)， eq \f(a,q)，aq，aq3(公比为q2).　 [触类旁通] 2．(2025·山西太原高二月考)已知一个等比数列的前4项之积为 eq \f(1,16)，第2项与第3项的和为 eq \r(2)，则这个等比数列的公比q＝___________． 解析　设该等比数列的前4项依次为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，)) 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2(q＋q2)2＝2，)) 所以 eq \f(a2q3,a2(q＋q2)2)＝± eq \f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2 eq \r(2)或q＝－5±2 eq \r(6). 答案　3±2 eq \r(2)或－5±2 eq \r(6) 题型三　等比数列的实际应用 　[教材例4拓展]从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后，又用水添满摇匀……如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? [解析]　由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－ eq \f(1,a)，第n＋1次操作后溶液的浓度为an＋1＝an eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))， 所以{an}是首项为a1＝1－ eq \f(1,a)， 公比为q＝1－ eq \f(1,a)的等比数列， 所以an＝a1qn-1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n)， 即第n次操作后溶液的浓度是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n). 当a＝2时，由an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)＜ eq \f(1,10)，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%. 与等比数列有关的实际应用解题方法 (1)建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型； (2)求解：利用等比数列知识求出该问题的解； (3)还原：将所求结果还原到实际问题中． [注意]　建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数．　 [触类旁通] 3．(1)朱载堉(1536—1611)，明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为f2，第八个音的频率为f8，则 eq \f(f8,f2)等于(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3,2) C． eq \r(4,2) D． eq \r(6,2) (2)某传媒公司决定逐年加大直播的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________________________年其投入资金开始超过7 000万元． (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 解析　(1)依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，且a13＝2a1，所以q＝2 eq \s\up6(\f(1,12))，所以 eq \f(f8,f2)＝q6＝(2 eq \s\up6(\f(1,12)))6＝ eq \r(2).故选A. (2)设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列， 所以an＝2 000×1.12n， 由an＝2 000×1.12n＞7 000， 可得n＞log1.12 eq \f(7,2)＝ eq \f(lg 7－lg 2,lg 1.12)≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元． 答案　(1)A　(2)12 [缜密思维提能区] 易错案例 等比数列性质的综合应用 [典例]　(13分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋2n+1(n∈N＋). (1)令bn＝ eq \f(an,2n)＋1，求证：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求满足an≥240的最小正整数n. [审题指导]　(1)利用已知条件合理构造数列{bn}，进而证明为等比数列． (2)由(1)的结论，求an. (3)由(2)的结论，解不等式即可． [规范解答]　(1) 证明　因为an＋1＝4an＋2n+1， 所以 eq \f(an＋1,2n+1)＝2× eq \f(an,2n)＋1①， 所以 eq \f(an＋1,2n+1)＋1＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋1))，(3分) 即bn＋1＝2bn，又b1＝ eq \f(2,2)＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项， 2为公比的等比数列②.(6分) (2)由(1)可得bn＝2n， 所以an＝4n－2n.(8分) (3)由4n－2n≥240，即4n－2n－240≥0， 解得2n≥16(2n≤－15舍去)，(11分) 解得n≥4③， 所以满足an≥240的最小正整数n为4.(13分) 知识落实 技法强化 (1)等比数列的性质． (2)等差数列、等比数列的综合应用和实际应用． (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量． (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列，与首末项等距离的两项的积相等，等比中项的性质． $