1.2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦等差数列性质及应用，涵盖等差中项、函数视角下的增减性与图象等核心知识点。课前通过问题链引导学生自主梳理等差数列与一次函数的联系，搭建“概念理解—性质推导—应用拓展”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合函数思想提升数学抽象素养，通过对比表格明晰等差数列与一次函数区别联系，一题多变（如对称设项法解等差数问题）培养逻辑推理，实际应用案例（公司利润递减模型）强化数学运算。助力学生构建知识网络，教师可依托分层资源实施差异化教学。

第一章　数列 §2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第2课时　等差数列的性质及其应用 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 从函数角度研究等差数列 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 等间隔的点 斜率 d>0 递增数列 d＜0 递减数列 d＝0 常数列 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 等差中项 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 等差 前一项 后一项 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学3 等差数列项的运算性质 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 am＋an＝ap＋aq 2at 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项．(重点) 2．会从函数的角度研究等差数列的增减性并能运用等差数列的性质解决问题．(重点、难点) 1.借助等差中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等差数列性质的探究性应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 　给出等差数列{an}：1，5，9，13，…，其通项公式是什么？从函数的角度看，an是关于n的什么函数？其图象有什么特点？该数列的增减性如何？ [提示]　通项公式为an＝4n－3，an是关于n的一次函数，其图象是直线y＝4x－3上的一群孤立的点，显然是递增函数． 　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，那么这个等差数列的图象与一次函数y＝dx＋(a1－d)(其中d≠0)图象之间有什么关系？公差d的几何意义是什么？ [提示]　等差数列an＝dn＋(a1－d)的图象就是一次函数y＝dx＋(a1－d)图象的一个子集，是直线y＝dx＋(a1－d)上的均匀分布的一群孤立的点．公差d的几何意义就是对应直线y＝dx＋(a1－d)的斜率． ◎结论形成 从函数的角度研究等差数列的增减性与图象 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)可知，其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_______________，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的______，即自变量每增加1，函数值增加d. 当_________时，{an}为____________，如图甲所示； 当_________时，{an}为____________，如图乙所示； 当_________时，{an}为_________，如图丙所示． [导学点睛] 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N＋) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N＋，图象是一系列孤立的点(在一条直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　b－a＝c－b，即2b＝a＋c. 　等差数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　2an＝an－1＋an＋1. ◎结论形成 等差中项 1．概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成______数列，那么A叫作a与b的等差中项，并且A＝________． 2．结论 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的_________与_________的等差中项． eq \f(a＋b,2) 　请你观察几个具体的等差数列，通过计算分析判断：与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和？当m＋n＝p＋q时，是否有am＋an＝ap＋aq？特别地，当m＋n＝2t时，am，an，at之间的关系是什么？ [提示]　等于；有am＋an＝ap＋aq，am＋an＝2at. ◎结论形成 等差数列项的运算性质 1．等差数列的项的对称性．在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 2．项的个数相同的前提下，项数和相等，对应项之和相等，即在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则_______________________，特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝_________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等差中项且唯一．(　　) (2)在等差数列的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　　　　　　　 B．16 C．20 D．24 解析　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 答案　B 3．(多选题)设数列{an}，{bn}均是公差为d(d≠0)的等差数列，则下列数列中是等差数列的是(　　) A．{man}(m为常数) B．{a eq \o\al(2,n)－b eq \o\al(2,n)} C．{an－bn} D．{anbn} 解析　等差数列{an}，{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，则man＋1－man＝m(an＋1－an)＝md(常数)，知数列{man}是等差数列；对于B，由(a eq \o\al(2,n＋1)－b eq \o\al(2,n＋1))－(a eq \o\al(2,n)－b eq \o\al(2,n))＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)·(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)为常数，知数列{a eq \o\al(2,n)－b eq \o\al(2,n)}为等差数列；对于C，由an＋1－bn＋1－(an－bn)＝(an＋1－an)－(bn＋1－bn)＝0为常数，知数列{an－bn}为等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，知数列{anbn}不是等差数列． 答案　ABC 4．(2025·安徽池州高二期中)在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q(p，q为常数)，则a2 025＝__________． 解析　根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝ eq \f(21－3,10－1)＝2，故a2 025＝a1＋(2 025－1)d＝3＋2 024×2＝4 051. 答案　4 051 题型一　等差中项及其应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)若3，x，y，z，12成等差数列，则x＋y＋z＝__________； (2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数． [解析]　(1)由等差中项的定义可知x＋z＝3＋12＝2y，即y＝ eq \f(15,2)，所以x＋y＋z＝2y＋y＝3y＝ eq \f(45,2). (2)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝±2，)) 所以所求三个数分别是1，3，5或5，3，1. [答案]　(1) eq \f(45,2)　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)将本例(2)的条件改为已知三个数成等差数列并且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d. 由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((a－d)＋a＋(a＋d)＝18，①,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝116，②)) 由①，得a＝6，代入②，得d＝±2. 因为该数列是递增的，所以d＝－2舍去． 所以这三个数为4，6，8. 2．(变条件、变结论)若将本例(2)中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 由题意可知， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((a－3d)＋(a－d)＋(a＋d)＋(a＋3d)＝26，,(a－d)(a＋d)＝40，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2)．)) 故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 1．三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时， 方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解． 方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 2．{an}为等差数列⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，且n∈N＋)可作为判断等差数列的一种方法．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·长沙高二检测){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　) A．2 B． eq \f(3,2) C．1 D． eq \f(1,2) (2)已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 解析　(1)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2， 解得d＝1. (2)设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，,(a－3d)(a＋3d)＋18＝(a－d)(a＋d)，)) 又因为是递增数列，所以d>0， 所以解得a＝± eq \f(7,2)，d＝ eq \f(3,2)， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 答案　(1)C　(2)略 题型二　等差数列性质的应用 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　角标和相等性质 　(1)(2025·湖北咸宁高二月考)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10　　　　　　 B．－10 C．15 D．－15 (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值为_______． (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解析]　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10，所以a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10，所以a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. [答案]　(1)B　(2)28　(3)略 [素养聚焦]　在等差数列性质的应用过程中，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果．　 角度2　等差数列的增减性 　[教材例4拓展](1)设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，若an＞0，则项数n的最大值是__________． (2)(2025·湖北咸宁高二月考)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式an＝____________． ①{an}是递减数列；②对任意m，n∈N＋，都有an＋m＝am＋an. [解析]　(1)因为a7＋a8＋a9＝3a8＞0，而a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a7＞0，a8＞0，a9＜0，a10＜0，故等差数列{an}单调递减，所以，对于等差数列{an}，要使an＞0的最大n值为8. (2)假设数列{an}为等差数列，设其公差为d，由条件②可得a1＋(m＋n－1)d＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d，所以a1＝d；再根据①{an}是递减数列，可知d<0，则an＝a1＋(n－1)d＝nd，且d<0.取d＝－1，此时an＝－n，满足题意． [答案]　(1)8　(2)－n(答案不唯一) 等差数列增减性的应用 根据等差数列的单调性可以得到正负转折项，可以用来求与项数相关的最值问题．　 [触类旁通] 2．(1)在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝(　　) A．4 B． eq \f(7,2) C．3 D．2 (2)若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　) A．20 B．37 C．38 D．40 解析　(1)因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3. (2)因为{an}是等差数列，a19＋a20＞0，a19a20＜0，说明a19，a20异号，所以{an}非常数等差数列而是单调数列，又a1＞0，所以a19＞0，a20＜0，由a19＋a20＞0⇒a1＋a38＞0，由a20＜0⇒2a20＜0⇒a1＋a39＜0，因此使an＞－a1成立的最大自然数n是38. 答案　(1)C　(2)C 题型三　等差数列的实际应用 　[教材例5提升]某公司2022经销一种电子产品，获利200万元，从2023年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不研发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ [解析]　记2022年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0， 即an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，也就是从2033年开始，该公司经销此产品将出现亏损． 解与等差数列有关的实际问题的策略 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．　 [触类旁通] 3．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人，官赐金，依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问各得金几何及未到三人复应得金几何．”则该问题中未到三人共得金___________斤． 解析　设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10，则a1，a2，…，a10成等差数列，且 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝4，,a7＋a8＋a9＋a10＝3，))设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝4，,4a1＋30d＝3，))解得d＝－ eq \f(7,78)， 所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝ eq \f(83,26). 答案　 eq \f(83,26) 知识落实 技法强化 (1)由等差数列构造新的等差数列． (2)等差数列中任意两项之间的关系． (3)等差数列的实际应用． (1)活用性质，数列模型． (2)切实把握性质的特点． $