1.1.2 数列的函数特性-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦数列的函数特性，系统讲解数列的图象表示（坐标点集）、增减性判断及应用，通过类比函数表示法与单调性的问题链导入，搭建从函数到数列的学习支架，引导学生自主探究知识脉络。 其亮点在于以核心素养为导向，通过绘制数列图象培养直观想象，用定义法、作差法等多种方法判断增减性提升逻辑推理，结合一题多解、变式训练深化理解。课堂小结表格化梳理知识与技法，助力学生构建体系，教师可直接用于教学，有效提升教学效率。

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.2　数列的函数特性 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学 数列的函数特性 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 图象(平面直角坐标系内的一串点) (n，an)，n＝1，2，3，… 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 an＋1>an an＋1<an 都相等 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解数列的函数特性．(重点) 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性．(难点) 1.通过学习数列的函数特性，培养直观想象等核心素养． 2．通过判断数列的增减性，提升逻辑推理等核心素养． [提示]　(1)通项公式法：an＝2n. 　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ [提示]　数列还可以用图象、列表来表示． 　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图象法： 　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ [提示]　问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1>an. ◎结论形成 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用_____________________________________来表示数列，图象中每个点的坐标为___________________________这个图象也称为数列的图象． 2．数列的增减性 递增 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即______________，那么这个数列叫作递增数列 递减 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即_____________，那么这个数列叫作递减数列． 常数列 如果数列{an}的各项_________，那么这个数列叫作常数列 [拓展] 周期数列的概念 观察摆动数列－1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…，我们可以发现，数列的项－1，1重复出现，用公式表示为an＝an＋2.若记f(n)＝an，则可以表示为f(n)＝f(n＋2)，即数列中的项循环出现，我们称此类数列为周期数列．周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N＋，k∈N＋，k≥2)，如数列1，2，3，1，2，3，1，2，3，…是周期为3的周期数列，满足an＋3＝an(n∈N＋). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.(　　) (2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列．(　　) (3)0，1，0，1，…是常数列．(　　) (4)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)))是递增数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2025·重庆永川北山中学月考)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1， eq \f(1,2)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)，… B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，… C.－1，－ eq \f(1,2)，－ eq \f(1,4)，－ eq \f(1,8)，… D．1， eq \r(2)， eq \r(3)，…， eq \r(21) 解析　观察可知A中数列是递减数列，B中数列是摆动数列，D中数列是有穷数列，均不符合题意．故选C. 答案　C 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析　an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列． 答案　A 4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋24n，则数列{an}各项中的最大项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　因为an＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72， 所以当n＝6时，an取得最大值为a6，故选C. 答案　C 题型一　图象法判断数列的增减性 　[教材例4迁移]已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(2,2n－9)，画出它的图象，并判断增减性． [解析]　图象如图所示，当1≤n≤4，n∈N＋时，数列{an}是递减的；当n≥5，n∈N＋时，数列{an}也是递减的． 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性．　 [触类旁通] 1．根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－ eq \f(n,4)；(2)bn＝ eq \f(2n,3)；(3)cn＝ eq \f((－1)n,n). 解析　(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列． (2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列． (3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 题型二　定义法判断数列的增减性 eq \a\vs4\al(一题多解) 　[教材例3拓展](1)(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为(　　) A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1 C．an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n) D．an＝1＋log2n (2)已知数列{an}的通项公式是an＝ eq \f(2n,n＋1)，判断该数列的单调性． [解析]　(1)A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列； B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－ eq \f(3,2)，所以为递减数列； C是n的指数函数，且底数为 eq \f(1,2)，是递减数列； D是n的对数函数，且底数为2，是递增数列． (2)法一(作差法) 因为an＋1－an＝ eq \f(2(n＋1),n＋2)－ eq \f(2n,n＋1) ＝ eq \f(2(n＋1)2－2n(n＋2),(n＋2)(n＋1))＝ eq \f(2,(n＋2)(n＋1))＞0， 所以an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立， 所以数列{an}是递增数列． 法二(作商法) 因为an＝ eq \f(2n,n＋1)＞0， 所以 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(\f(2(n＋1),n＋2),\f(2n,n＋1))＝ eq \f((n＋1)2,n(n＋2))＝ eq \f(n2＋2n＋1,n2＋2n)＞1， 所以an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立． 故数列{an}是递增数列． 法三(函数性质法) an＝ eq \f(2n,n＋1)＝ eq \f(2(n＋1)－2,n＋1)＝2－ eq \f(2,n＋1). 由于函数y＝2－ eq \f(2,x＋1)在[1，＋∞)上单调递增， 因此数列{an}是递增数列． [答案]　(1)AD　(2)略 [素养聚焦]　在判断数列增减性的过程中，提升了逻辑推理等核心素养． 1．作差比较法．根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； 2．作商比较法．根据 eq \f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； 3．利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调．　 [触类旁通] 2．(1)(多选题)下列是递增数列的是(　　) A．{1＋3n} B．{3n－2n+2} C．{2n－n} D．{(－3)n} (2)已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \r(n)－ eq \r(n＋1)，求证：数列{an}为递增数列． 解析　(1)令an＝1＋3n，则an＋1－an＝1＋3(n＋1)－(1＋3n)＝3＞0，故{1＋3n}是递增数列，符合题意； 令an＝3n－2n+2，则a1＝－5，a2＝－7，不符合题意； 令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n+1－(n＋1)－2n＋n＝2n－1>0， 故{2n－n}是递增数列，符合题意； 令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不符合题意． 故选AC. (2)证明　法一　an＋1－an＝( eq \r(n＋1)－ eq \r(n＋2))－( eq \r(n)－ eq \r(n＋1))＝2 eq \r(n＋1)－( eq \r(n＋2)＋ eq \r(n)). 因为(2 eq \r(n＋1))2－( eq \r(n＋2)＋ eq \r(n))2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2 eq \r(n(n＋2)) ) ＝2(n＋1)－2 eq \r(n(n＋2)) ＝2( eq \r((n＋1)2)－ eq \r(n(n＋2)) ) ＝2( eq \r(n2＋2n＋1)－ eq \r(n2＋2n) )>0， 即an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 法二　 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(\r(n＋1)－\r(n＋2),\r(n)－\r(n＋1)) ＝ eq \f(\r(n)＋\r(n＋1),\r(n＋1)＋\r(n＋2))<1. 因为an<0，所以an＋1>an. 所以数列{an}是递增数列． 答案　(1)AC　(2)略 题型三　数列增减性的应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)(2025·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((3－a)x－6，x≤10，,ax-9，x＞10.))若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3)　　　　　　　 B．(1，2] C．(2，3) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,11)，3)) (2)已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(9n(n＋1),10n)(n∈N＋).试问数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，请说明理由． [解析]　(1)由题意知an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((3－a)n－6，n≤10，,an-9，n＞10，)) 因为数列{an}是递增数列， 所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3； 当n＞10时，a＞1. 又a10＜a11，所以(3－a)×10－6＜a11-9， 即a2＋10a－24＞0，即(a＋12)(a－2)＞0， 所以a＜－12或a＞2. 综上可得，a的取值范围为(2，3). (2)因为an＋1－an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1)·(n＋2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n)·(n＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((n＋2)－\f(10,9)(n＋1))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n＋1)· eq \f(8－n,9)， 所以当n≤7时，an＋1－an>0，an＋1>an； 当n＝8时，an＋1－an＝0，an＋1＝an； 当n≥9时，an＋1－an<0，an＋1<an. 所以存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9. [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] (变条件)本例(2)通项an变为an＝ eq \f(3n,2n＋1)，其他不变，如何解？ 解析　 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(\f(3n+1,2n＋3),\f(3n,2n＋1))＝ eq \f(3(2n＋1),2n＋3). 因为n∈N＋，所以6n＋3＞2n＋3，所以 eq \f(an＋1,an)＞1， 又an＞0，所以an＋1＞an. 所以数列{an}是递增数列， 即数列{an}中没有最大项． 数列增减性的应用 (1)求数列的最大项．首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项． (2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．　 [触类旁通] 3．(1)已知an＝ eq \f(n－\r(2 018),n－\r(2 019))(n∈N＋)，则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是(　　) A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45 (2)(多选题)数列{an}的通项公式an＝n＋ eq \f(a,n)，则(　　) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a不是数列{an}的项 D．当a<2时，{an}为递减数列 解析　(1)an＝ eq \f(n－\r(2 018),n－\r(2 019))＝1＋ eq \f(\r(2 019)－\r(2 018),n－\r(2 019))， 因为442＝1 936，452＝2 025，所以n≤44时，数列{an}单调递减，且0＜an＜1；n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1. 所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44，a45. (2)当a＝2时，an＝n＋ eq \f(2,n)，由f(x)＝x＋ eq \f(2,x)的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确； 当a＝－1时，an＝n－ eq \f(1,n)，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确； 令an＝n＋ eq \f(a,n)＝a，得n2－na＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确； 若{an}是递减数列，则an＋1<an，即n＋1＋ eq \f(a,n＋1)<n＋ eq \f(a,n)，得a>n2＋n，又n2＋n≥2，所以a>2，D错误．故选ABC. 答案　(1)D　(2)ABC 知识落实 技法强化 (1)数列的函数特征． (2)数列的增减性及应用． (1)判断数列的单调性：定义法、数形结合法． (2)数列与函数既有联系又有区别． $