1.1.1 数列的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、函数特性及通项公式，通过课前案自主学习梳理数列定义、项与分类等基础概念，课堂案互动探究深化数列与函数关系，构建“课前-课堂-课后”递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光与逻辑推理，以导学问题引导学生从实例中抽象数列概念，通过互动探究培养推理能力，课后评价巩固数学语言表达。例如教材梳理明确数列与正整数集函数关系，助力学生系统掌握，教师可依托三案提升教学效率，学生能在探究中发展数学思维与应用意识。

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 数列及其相关概念 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 一定次序 每一个数 第1项a1 第n项an 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 {an} 有限 无限 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 数列与函数的关系、数列的通项公式 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 正整数集N＋(或其子集) an＝f(n) 解析式 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　数列 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.通过实例理解数列及其相关概念，了解数列是一种特殊的函数．(难点) 2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点) 3．掌握数列通项公式的简单应用．(重点、难点) 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1， eq \f(1,2)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)， eq \f(1,6). (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,8)， eq \f(1,16)， eq \f(1,32)，…. 　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [提示]　按照一定的顺序排列． ◎结论形成 1．数列及其相关概念 数列 按__________排列的一列数叫作数列 项 数列中的__________叫作这个数列的项 首项 数列的_____________叫作数列的首项 通项 数列中的__________叫作数列的通项 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为__________． 3．数列按项的个数分类 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值能构成数列吗？ [提示]　能构成数列，分别是数列16，23，30，37，…；3，6，9，12，…. 　观察数列1， eq \f(1,2)， eq \f(1,3)， eq \f(1,4)， eq \f(1,5)，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ [提示]　该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝ eq \f(1,n)可表示这个数列． ◎结论形成 1．数列与函数的关系 数列可以看作定义域为______________________________的函数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的________． [导学点睛]　(1)数列的通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． (2)根据通项公式可以判断某个数是否为该数列中的项或求某个数是数列的第几项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n+2，还可以写成 an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1，n＝2k－1，,1，n＝2k，))k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式为(　　) A．an＝2n－1　　　　 B．an＝2n-1 C．an＝2n D．an＝2n＋1 解析　从第二项开始，每一项是前一项的2倍， 故a1＝1，a2＝21，a3＝22，a4＝23，a5＝24，…， 易得an＝2n-1. 答案　B 3．已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(2,n2＋n)，那么 eq \f(1,10)是{an}的(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　设 eq \f(1,10)是数列{an}的第n项，则 eq \f(1,10)＝ eq \f(2,n2＋n)，解得n＝4或n＝－5. ∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4. 答案　A 4．数列 eq \f(1,2)，－ eq \f(1,3)， eq \f(1,4)，－ eq \f(1,5)，…的一个通项公式为___________． 解析　由数列的前4项知第n项的绝对值等于 eq \f(1,n＋1)，且奇数项为正数，偶数项为负数，故此数列的一个通项公式为an＝ eq \f((－1)n+1,n＋1). 答案　an＝ eq \f((－1)n+1,n＋1) 题型一　数列的概念及分类 eq \a\vs4\al(自练悟通) [基础题组] 1．(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 解析　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． 答案　ABD 2．(多选题)下列关于数列的说法正确的是(　　) A．按一定次序排列的一列数叫做数列 B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式 C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D．同一个数列的任意两项均不可能相同 解析　根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫做数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如an＝|2－n|，也可写成an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－n，n≤2,n－2，n＞3，))可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如常数列，所以D项错误． 答案　ABC 3．下列数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①2 014，2 016，2 018，2 020，2 022，2 024，2 026； ②0， eq \f(1,2)， eq \f(2,3)，…， eq \f(n－1,n)； ③1， eq \f(1,2)， eq \f(1,4)，…， eq \f(1,2n-1)，…； ④－ eq \f(1,1×2)， eq \f(1,2×3)，－ eq \f(1,3×4)， eq \f(1,4×5)，…； ⑤1，0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…； 解析　①②是有穷数列；③④⑤是无穷数列． 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…， an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． (2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． (3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键．　 题型二　根据数列的前几项求通项公式 　[教材例2拓展](1)(多选题)已知n∈N＋，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　) A．an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数))　　 B．an＝ eq \f(1＋(－1)n,2) C．an＝ eq \f(1＋cos nπ,2) D．an＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(nπ,2))) (2)写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数． ①－1， eq \f(1,2)，－ eq \f(1,3)， eq \f(1,4)； ② eq \r(3)，3, eq \r(15)， eq \r(21)； ③0.9，0.99，0.999，0.999 9； ④3，5，3，5. [解析]　(1)A中，an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件． B中，an＝ eq \f(1＋(－1)n,2)，满足条件． C中，an＝ eq \f(1＋cos nπ,2)，满足条件． D中，an＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(nπ,2)))，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC. (2)①任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数， 正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n· eq \f(1,n). ②数列可化为 eq \r(3)， eq \r(9)， eq \r(15)， eq \r(21)，即 eq \r(3×1)， eq \r(3×3)， eq \r(3×5)， eq \r(3×7)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝ eq \r(3(2n－1))＝ eq \r(6n－3). ③原数列可变形为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故数列的一个通项公式为an＝1－ eq \f(1,10n). ④数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3，n为奇数，,5，n为偶数．))此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为 eq \f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. [答案]　(1)ABC　(2)略 根据前几项求通项公式的方法及关注点 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法； (2)关注点：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n+1处理．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·烟台高二质检)已知数列{an}的前几项为－1，4，－7，10，…，则该数列的通项公式可能为(　　) A．an＝(－1)n-1(3n－2) B．an＝(－1)n-1(3n＋1) C．an＝(－1)n(3n－2) D．an＝(－1)n(3n＋1) (2)根据下面前几项的值，写出数列的一个通项公式． ①3，5，7，9，11，13，… ② eq \f(2,3)， eq \f(4,15)， eq \f(6,35)， eq \f(8,63)， eq \f(10,99)，… ③1，3，3，5，5，7，7，9，9，… ④2，－6，12，－20，30，－42，… 解析　(1)根据题意知，数列{an}的前四项为－1，4，－7，10， 即(－1)1(3×1－2)，(－1)2(3×2－2)， (－1)3(3×3－2)，(－1)4(3×4－2)， 故数列的通项公式可以为an＝(－1)n·(3n－2).故选C. (2)①从3开始的奇数列，an＝2n＋1； ②分子为偶数，分母为相邻两奇数的积， an＝ eq \f(2n,(2n－1)(2n＋1))； ③将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…， 所以an＝n＋ eq \f(1＋(－1)n,2)； ④将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，－6×7，…， 所以an＝(－1)n+1n(n＋1). 答案　(1)C　(2)略 题型三　数列通项公式的简单应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　[教材例1提升](1)数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则3－2 eq \r(2)是此数列的第____________________项． (2)已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(4,n2＋3n). ①写出数列的第4项和第6项； ②试问 eq \f(1,10)是该数列的项吗？若是，是第几项；若不是，请说明理由． [解析]　(1)an＝ eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n)) ＝ eq \f(\r(n＋1)－\r(n),(\r(n＋1)＋\r(n))(\r(n＋1)－\r(n))) ＝ eq \r(n＋1)－ eq \r(n). 因为3－2 eq \r(2)＝ eq \r(8＋1)－ eq \r(8)， 所以3－2 eq \r(2)是该数列的第8项． (2)①因为an＝ eq \f(4,n2＋3n)， 所以a4＝ eq \f(4,42＋3×4)＝ eq \f(1,7)， a6＝ eq \f(4,62＋3×6)＝ eq \f(2,27). ②令 eq \f(4,n2＋3n)＝ eq \f(1,10)，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋， 故将n＝－8舍去，所以n＝5， 即 eq \f(1,10)是该数列的第5项． [答案]　(1)8　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)若将本例(1)中的an变为an＝2n＋1，则257是这个数列的第____________项． 解析　令2n＋1＝257，解得n＝8. 答案　8 2．(变条件)若将本例(2)②中的“ eq \f(1,10)”变为“ eq \f(16,27)”，其他条件不变，结果如何？ 解析　令 eq \f(4,n2＋3n)＝ eq \f(16,27)，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝ eq \f(3,2)或n＝－ eq \f(9,2)，注意到n∈N＋， 所以 eq \f(16,27)不是此数列中的项． [素养聚焦]　通过数列通项公式的简单应用，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.　 [触类旁通] 2．(1)(2025·佛山高二联考)在数列{an}中，若an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2n－1，n为奇数，,2n-1，n为偶数，))则a5＋a6＝(　　) A．17　　　　　　　 B．23 C．25 D．41 (2)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. ①写出数列的第4项和第6项； ②－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ ③数列{an}中有多少个负数项？ 解析　(1)a5＝2×5－1＝9，a6＝26-1＝32，故a5＋a6＝41.故选D. (2)①a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. ②令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ eq \f(7,3)(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝ eq \f(34,3)或n＝－2. 因为 eq \f(34,3)∉N＋，－2∉N＋，所以68不是该数列的项． ③an＝n(3n－28)，令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． 答案　(1)D　(2)略 [缜密思维提能区] 易错案例 对数列概念的理解不清致误 [典例]　写出由集合{x|x∈N＋，且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次). [错解]　集合中的元素用列举法表示为{1，2，3，4}， 所以所求数列为1，2，3，4. [正解]　集合可表示为{1，2，3，4}．由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1，2，3，4；1，3，2，4；1，2，4，3；1，3，4，2；1，4，2，3；1，4，3，2. [纠错心得]　数列不同于集合，它具有有序性．相同的一组数按照不同的次序排列后，得到的是不同的数列． 知识落实 技法强化 (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系． (1)归纳法求数列的通项公式时答案不唯一； (2)对于正负相间的数列求an时，用(－1)n进行调节，注意分子、分母间的联系． $