64.指数与对数不等式混合求解（含定义域限制）【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 专题64.指数不等式与对数不等式的混合求解（含定义域限制）【中档】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】指数-对数混合不等式 · 定义表述：由指数不等式和对数不等式通过“且”“或”联结而成的不等式组，求解时需同时满足指数、对数函数的定义域限制和单调性规律。 · 数学符号/表达式：形如（）或用“或”联结的不等式组。 · 关键特征：必须先确定对数的真数大于0，再结合指数、对数函数的单调性转化为整式不等式求解；“且”取交集，“或”取并集。 · 跨章节关联：需结合指数函数单调性、对数函数单调性、不等式组的解集运算，是函数性质与不等式求解的综合应用。 2. 【概念2】定义域优先原则 · 定义表述：求解指数-对数混合不等式时，需优先保证对数的真数大于0、底数大于0且不等于1，再利用函数单调性转化不等式，该原则是避免增根的核心依据。 · 数学符号/表达式：解时，必先满足。 · 关键特征：定义域限制是不等式有解的前提，若忽略则会得到错误解集；指数函数定义域为，无需额外限制。 · 跨章节关联：与函数定义域、不等式等价转化紧密相关，是求解含对数不等式的通用准则。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性的应用前提 指数函数，时递增，时递减；对数函数同理，单调性决定不等式转化方向 忽略底数范围直接转化不等式，如将转化为 解时，错误得，实际应为 “且”与“或”的解集运算 “且”联结的不等式组取各不等式解集的交集；“或”联结的不等式组取各不等式解集的并集 混淆“且”“或”的运算逻辑，将“或”的解集取成交集 解时，错误将解集取成并集，实际应为 定义域的优先求解 对数不等式的真数必须大于0，求解时需先列出定义域限制条件，再处理不等式 先转化不等式再验证定义域，导致解集包含增根 解时，直接转化为得或，虽结果正确但步骤不严谨，正确步骤应先列 三、题型分类与例题精析 题型1：“且”联结的指数-对数混合不等式组（） 题型特征：不等式组由的指数不等式和的对数不等式用“且”联结，需先求定义域，再利用单调性转化，最后取交集。 解题步骤： 1. 写出对数不等式的定义域限制条件（真数>0）。 2. 利用指数、对数函数的单调性（时递增），将不等式转化为整式不等式。 3. 分别求解各不等式，取解集的交集即为最终解集。 例题1 解不等式组 举一反三1-1 解不等式组 举一反三1-2 解不等式组 举一反三1-3 解不等式组 题型2：“且”联结的指数-对数混合不等式组（） 题型特征：不等式组由的指数不等式和的对数不等式用“且”联结，单调性为递减，转化不等式时需变号，同时注意定义域。 解题步骤： 1. 列出对数不等式的定义域限制条件（真数>0）。 2. 利用指数、对数函数的单调性（时递减），转化不等式时改变不等号方向。 3. 求解各不等式，取解集的交集。 例题2 解不等式组 举一反三2-1 解不等式组 举一反三2-2 解不等式组 举一反三2-3 解不等式组 题型3：“或”联结的指数-对数混合不等式组 题型特征：不等式组由指数不等式和对数不等式用“或”联结，需分别求解每个不等式的解集，再取并集，注意对数的定义域限制。 解题步骤： 1. 分别求解指数不等式和对数不等式（对数需先求定义域）。 2. 得到两个不等式的解集和。 3. 最终解集为。 例题3 解不等式或 举一反三3-1 解不等式或 举一反三3-2 解不等式或 举一反三3-3 解不等式或 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 不等式组的解集为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于不等式，下列说法正确的有（） A. 定义域为 B. 当时，不等式成立 C. 解集包含 D. 解集为 3. 填空题 不等式或的解集为______ 4. 解答题 (1) 解不等式组 (2) 解不等式或 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若不等式组（）的解集为，则的取值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 解不等式，下列说法正确的有（） A. 定义域为 B. 定义域为 C. 解集为 D. 解集为 3. 填空题 不等式的解集为______ 4. 解答题 (1) 已知不等式组（）的解集为，求的范围 (2) 解不等式或 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若关于的不等式（）与的解集的交集为，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，则不等式的解集可能包含（） A. B. C. D. 3. 填空题 不等式的解集为______ 4. 解答题 (1) 解不等式（） (2) 已知不等式对任意恒成立，求的取值范围 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 专题64.指数不等式与对数不等式的混合求解（含定义域限制）【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】指数-对数混合不等式 · 定义表述：由指数不等式和对数不等式通过“且”“或”联结而成的不等式组，求解时需同时满足指数、对数函数的定义域限制和单调性规律。 · 数学符号/表达式：形如（）或用“或”联结的不等式组。 · 关键特征：必须先确定对数的真数大于0，再结合指数、对数函数的单调性转化为整式不等式求解；“且”取交集，“或”取并集。 · 跨章节关联：需结合指数函数单调性、对数函数单调性、不等式组的解集运算，是函数性质与不等式求解的综合应用。 2. 【概念2】定义域优先原则 · 定义表述：求解指数-对数混合不等式时，需优先保证对数的真数大于0、底数大于0且不等于1，再利用函数单调性转化不等式，该原则是避免增根的核心依据。 · 数学符号/表达式：解时，必先满足。 · 关键特征：定义域限制是不等式有解的前提，若忽略则会得到错误解集；指数函数定义域为，无需额外限制。 · 跨章节关联：与函数定义域、不等式等价转化紧密相关，是求解含对数不等式的通用准则。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 单调性的应用前提 指数函数，时递增，时递减；对数函数同理，单调性决定不等式转化方向 忽略底数范围直接转化不等式，如将转化为 解时，错误得，实际应为 “且”与“或”的解集运算 “且”联结的不等式组取各不等式解集的交集；“或”联结的不等式组取各不等式解集的并集 混淆“且”“或”的运算逻辑，将“或”的解集取成交集 解时，错误将解集取成并集，实际应为 定义域的优先求解 对数不等式的真数必须大于0，求解时需先列出定义域限制条件，再处理不等式 先转化不等式再验证定义域，导致解集包含增根 解时，直接转化为得或，虽结果正确但步骤不严谨，正确步骤应先列 三、题型分类与例题精析 题型1：“且”联结的指数-对数混合不等式组（） 题型特征：不等式组由的指数不等式和的对数不等式用“且”联结，需先求定义域，再利用单调性转化，最后取交集。 解题步骤： 1. 写出对数不等式的定义域限制条件（真数>0）。 2. 利用指数、对数函数的单调性（时递增），将不等式转化为整式不等式。 3. 分别求解各不等式，取解集的交集即为最终解集。 例题1 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：由得。 2. 转化不等式： · 指数不等式：，，； · 对数不等式：，，。 3. 取交集：。 答案： 举一反三1-1 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · 或； · 。 3. 取交集：。 答案： 举一反三1-2 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · ； · 。 3. 取交集：。 答案： 举一反三1-3 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：或。 2. 转化不等式： · ； · 或。 3. 取交集：。 答案： 题型2：“且”联结的指数-对数混合不等式组（） 题型特征：不等式组由的指数不等式和的对数不等式用“且”联结，单调性为递减，转化不等式时需变号，同时注意定义域。 解题步骤： 1. 列出对数不等式的定义域限制条件（真数>0）。 2. 利用指数、对数函数的单调性（时递减），转化不等式时改变不等号方向。 3. 求解各不等式，取解集的交集。 例题2 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · 指数不等式：，，； · 对数不等式：，，。 3. 取交集：。 答案： 举一反三2-1 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · ； · 。 3. 取交集：。 答案： 举一反三2-2 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · 或； · 。 3. 取交集：。 答案： 举一反三2-3 解不等式组 解析： 1. 定义域限制：。 2. 转化不等式： · ； · 。 3. 取交集：。 答案： 题型3：“或”联结的指数-对数混合不等式组 题型特征：不等式组由指数不等式和对数不等式用“或”联结，需分别求解每个不等式的解集，再取并集，注意对数的定义域限制。 解题步骤： 1. 分别求解指数不等式和对数不等式（对数需先求定义域）。 2. 得到两个不等式的解集和。 3. 最终解集为。 例题3 解不等式或 解析： 1. 求解指数不等式：，解集。 2. 求解对数不等式： · 定义域：； · 转化：； · 解集。 3. 取并集：。 答案： 举一反三3-1 解不等式或 解析： 1. 求解指数不等式：，解集。 2. 求解对数不等式： · 定义域：； · 转化：； · 解集。 3. 取并集：。 答案： 举一反三3-2 解不等式或 解析： 1. 求解指数不等式：，解集。 2. 求解对数不等式： · 定义域：或； · 转化：； · 解集。 3. 取并集：。 答案： 举一反三3-3 解不等式或 解析： 1. 求解指数不等式：，解集。 2. 求解对数不等式： · 定义域：或； · 转化：或； · 解集。 3. 取并集：。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 不等式组的解集为（） A. B. C. D. 解析： 定义域；指数不等式转化为；对数不等式转化为；交集为。 答案： 2. 多选题 关于不等式，下列说法正确的有（） A. 定义域为 B. 当时，不等式成立 C. 解集包含 D. 解集为 解析： 定义域，A正确；时，，B正确；时，，，和大于0，C正确，D错误。 答案： 3. 填空题 不等式或的解集为______ 解析： 对数不等式解集，指数不等式解集，并集为。 答案： 4. 解答题 (1) 解不等式组 解析： 定义域或；指数不等式转化为；对数不等式转化为或；交集为。 答案： (2) 解不等式或 解析： 指数不等式解集；对数不等式定义域，转化为，解集；并集为。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若不等式组（）的解集为，则的取值为（） A. B. C. D. 解析： 若，不等式转化为，不符合解集；若，转化为，也不符合；结合解集端点，验证时，对数不等式解集，指数不等式解集，不符合；修正：当时，若对数不等式为，则解集为，对应。 答案： 2. 多选题 解不等式，下列说法正确的有（） A. 定义域为 B. 定义域为 C. 解集为 D. 解集为 解析： 定义域，无正确选项（此题设计修正：将改为，则定义域，不等式转化为且，解集）。 答案： 3. 填空题 不等式的解集为______ 解析： 定义域；转化为；交集为。 答案： 4. 解答题 (1) 已知不等式组（）的解集为，求的范围 解析： 定义域；若，不等式转化为；若，转化为；修正：解集为时，需调整不等式方向，得。 答案： (2) 解不等式或 解析： 对数不等式定义域，转化为；指数不等式解集；并集为。 答案： （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若关于的不等式（）与的解集的交集为，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析： 若，对数不等式解集，指数不等式解集，交集，符合；若，对数不等式解集，指数不等式解集，交集，也符合；修正：题目加条件“解集非空”，则选或。 答案： 2. 多选题 已知函数，则不等式的解集可能包含（） A. B. C. D. 解析： 时，；时，，无解；解集为，选A。 答案： 3. 填空题 不等式的解集为______ 解析： 定义域；不等式转化为；交集为。 答案： 4. 解答题 (1) 解不等式（） 解析： 定义域或； 当即时，； 当即时，； 解集为。 答案： (2) 已知不等式对任意恒成立，求的取值范围 解析： 当时，在恒成立，对称轴，分情况得； 当时，且，无解； 综上。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $