62.ax = loga x型图象交点个数判定（a大于1情况）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 专题62.型图象交点个数判定（情况）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】方程的图象交点意义 · 定义表述：方程（）的实数解个数，等价于函数与函数图象的交点个数；两个函数的图象特征差异是判定交点个数的核心依据。 · 数学符号/表达式：设（），（），则方程的解的个数 函数与图象的交点个数。 · 关键特征：时，是上的增函数且过原点，斜率为；是上的增函数且过定点，图象在第一象限，增长速度远慢于。 · 跨章节关联：需结合导数求切线斜率、函数单调性与最值分析，是一次函数与对数函数的图象与性质的综合应用。 2. 【概念2】临界切线条件 · 定义表述：当直线（）与对数函数（）的图象相切时，对应的值为临界值，此时方程有且仅有一个实数解，该临界值是判定交点个数的分界点。 · 数学符号/表达式：设切点为，则满足，解得临界值（为自然对数底数）。 · 关键特征：临界值，当时无交点，当时一个交点，当时两个交点。 · 跨章节关联：与导数的几何意义（切线斜率）、方程联立求解紧密相关。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 交点个数的分界依据 时，方程的交点个数由与临界值的大小关系决定 误认为越大交点个数越多，忽略对数函数增长缓慢的特性 分析的交点个数时，错误认为有两个交点，实际无交点 切线斜率的计算逻辑 函数的导数为，切点处的切线斜率等于直线的斜率 求导时遗漏对数函数的导数公式系数，错误写成 求在处的切线斜率时，错误得出斜率为，实际为 定义域的限制作用 方程的解必满足，分析时只需考虑 忽略的限制，在全体实数域内分析两个函数的交点 分析时，错误讨论的情况，得出有负根的结论 三、题型分类与例题精析 题型1：判定具体值对应的交点个数 题型特征：已知的具体数值，判定方程的实数解个数（即两函数图象的交点个数）。 解题步骤： 1. 计算临界值。 2. 比较已知值与临界值的大小关系。 3. 根据结论判定交点个数：时个；时个；时个。 例题1 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，当时，函数与的图象无交点，因此方程无实数解。 答案：个 举一反三1-1 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，当时，两函数图象有个交点，因此方程有个实数解。 答案：个 举一反三1-2 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，恰好为临界值。 2. 根据结论，当时，直线与对数函数的图象相切，有个交点。 3. 因此方程有个实数解。 答案：个 举一反三1-3 判定方程的实数解个数。 解析： 1. 已知，临界值。 2. 比较大小：。 3. 根据结论，两函数图象无交点，方程无实数解。 答案：个 题型2：已知交点个数，求参数的取值范围 题型特征：已知方程（）的实数解个数，反求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 明确交点个数对应的与临界值的关系：个；个；个。 2. 结合已知交点个数，直接写出的取值范围。 3. 验证边界值是否符合题意。 例题2 已知方程（）无实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程无实数解等价于两函数图象无交点，对应条件为。 2. 已知，因此取值范围为。 3. 验证：当时方程有个解，符合边界不包含的要求。 答案： 举一反三2-1 已知方程（）有两个不同的实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程有两个不同实数解等价于两函数图象有个交点，对应条件为。 2. 因此实数的取值范围为。 答案： 举一反三2-2 已知方程（）有且仅有一个实数解，求实数的值。 解析： 1. 方程有且仅有一个实数解等价于两函数图象相切，对应条件为。 2. 因此实数的值为。 答案： 举一反三2-3 已知方程（）至少有一个实数解，求实数的取值范围。 解析： 1. 方程至少有一个实数解等价于交点个数为或，对应条件为。 2. 因此实数的取值范围为。 答案： 题型3：结合函数单调性与导数，证明交点个数结论 题型特征：利用导数分析函数单调性与最值，证明时方程的交点个数结论。 解题步骤： 1. 构造辅助函数（，），将交点个数转化为的零点个数。 2. 求导，分析的单调性与极值点。 3. 计算极小值（为极值点），根据极小值的正负判定零点个数。 例题3 设，（），证明：当时，无零点。 解析： 1. 求导：，令，解得。 2. 分析单调性：当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此在处取得极小值（也是最小值）。 3. 计算极小值： 当时，，代入得； 当时，的最小值，因此无零点。 答案：证明见解析 举一反三3-1 证明：当时，函数有且仅有一个零点。 解析： 1. 由例题3可知，在处取得最小值。 2. 当时，，，代入得？ 修正：代入计算得。 3. 因此的最小值为，当且仅当时，即有且仅有一个零点。 答案：证明见解析 举一反三3-2 证明：当时，函数有两个不同的零点。 解析： 1. 在处取得最小值，当时，。 2. 分析端点趋势：当时，，，因此；当时，，且增长更快，因此。 3. 根据零点存在定理，在和上各有一个零点，即有两个不同的零点。 答案：证明见解析 举一反三3-3 求函数（）的最小值，并判定其零点个数。 解析： 1. 求导：，令，解得。 2. 计算最小值：，因为，所以。 3. 最小值大于，因此无零点。 答案：最小值为，零点个数为个 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 方程的实数解个数为（） A. B. C. D. 无数个 解析： ，对应交点个数为个。 答案： 2. 多选题 已知，方程有实数解的条件可能是（） A. B. C. D. 解析： 方程有实数解的条件是，选项中和符合。 答案： 3. 填空题 已知方程（）有且仅有一个实数解，则______ 解析： 有且仅有一个实数解的条件是。 答案： 4. 解答题 (1) 判定方程的实数解个数（已知） 解析： ，对应交点个数为个。 答案：个 (2) 已知方程（）无实数解，求的取值范围 解析： 无实数解的条件是。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 设，若函数与的图象相切，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 两函数图象相切的临界值为。 答案： 2. 多选题 关于函数（，），下列说法正确的有（） A. 在定义域内有唯一的极值点 B. 的极小值点为 C. 当时，的最小值大于 D. 当时，有两个零点 解析： 求导后可知有唯一极值点，且为极小值点；结合临界值结论，C、D正确。 答案： 3. 填空题 函数的零点个数为______ 解析： ，对应零点个数为个。 答案： 4. 解答题 (1) 已知方程（）有两个不同的实数解，求的取值范围 解析： 有两个不同实数解的条件是。 答案： (2) 求函数在切点处的切线方程（已知切线斜率为） 解析： 设切点为，，解得，；切线方程为。 答案： （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知，且方程有两个不同的实数解（），则下列关系成立的是（） A. B. C. D. 无确定关系 解析： 是的极小值点，两个零点分别在极小值点两侧，因此。 答案： 2. 多选题 已知，则关于函数和的说法正确的有（） A. 两函数图象相切于点 B. 切线方程为 C. 的增长速度始终快于 D. 方程有唯一解 解析： 代入临界值计算可知切点为，切线方程为，方程有唯一解；时增长速度快于。 答案： 3. 填空题 若方程（）的实数解个数为，则函数的最小值为______ 解析： 实数解个数为时，的最小值为。 答案： 4. 解答题 (1) 证明：当时，函数在上有两个不同的零点 解析： ①求导得，极值点；②在递减，递增，最小值；③时，时；④由零点存在定理得证。 答案：证明见解析 (2) 已知，函数，，若对任意，都有，求的取值范围 解析： 对任意，等价于恒成立，即的最小值大于，对应条件为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 专题62.型图象交点个数判定（情况）【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】方程的图象交点意义 · 定义表述：方程（）的实数解个数，等价于函数与函数图象的交点个数；两个函数的图象特征差异是判定交点个数的核心依据。 · 数学符号/表达式：设（），（），则方程的解的个数 函数与图象的交点个数。 · 关键特征：时，是上的增函数且过原点，斜率为；是上的增函数且过定点，图象在第一象限，增长速度远慢于。 · 跨章节关联：需结合导数求切线斜率、函数单调性与最值分析，是一次函数与对数函数的图象与性质的综合应用。 2. 【概念2】临界切线条件 · 定义表述：当直线（）与对数函数（）的图象相切时，对应的值为临界值，此时方程有且仅有一个实数解，该临界值是判定交点个数的分界点。 · 数学符号/表达式：设切点为，则满足，解得临界值（为自然对数底数）。 · 关键特征：临界值，当时无交点，当时一个交点，当时两个交点。 · 跨章节关联：与导数的几何意义（切线斜率）、方程联立求解紧密相关。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 交点个数的分界依据 时，方程的交点个数由与临界值的大小关系决定 误认为越大交点个数越多，忽略对数函数增长缓慢的特性 分析的交点个数时，错误认为有两个交点，实际无交点 切线斜率的计算逻辑 函数的导数为，切点处的切线斜率等于直线的斜率 求导时遗漏对数函数的导数公式系数，错误写成 求在处的切线斜率时，错误得出斜率为，实际为 定义域的限制作用 方程的解必满足，分析时只需考虑 忽略的限制，在全体实数域内分析两个函数的交点 分析时，错误讨论的情况，得出有负根的结论 三、题型分类与例题精析 题型1：判定具体值对应的交点个数 题型特征：已知的具体数值，判定方程的实数解个数（即两函数图象的交点个数）。 解题步骤： 1. 计算临界值。 2. 比较已知值与临界值的大小关系。 3. 根据结论判定交点个数：时个；时个；时个。 例题1 判定方程的实数解个数。 举一反三1-1 判定方程的实数解个数。 举一反三1-2 判定方程的实数解个数。 举一反三1-3 判定方程的实数解个数。 题型2：已知交点个数，求参数的取值范围 题型特征：已知方程（）的实数解个数，反求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 明确交点个数对应的与临界值的关系：个；个；个。 2. 结合已知交点个数，直接写出的取值范围。 3. 验证边界值是否符合题意。 例题2 已知方程（）无实数解，求实数的取值范围。 举一反三2-1 已知方程（）有两个不同的实数解，求实数的取值范围。 举一反三2-2 已知方程（）有且仅有一个实数解，求实数的值。 举一反三2-3 已知方程（）至少有一个实数解，求实数的取值范围。 题型3：结合函数单调性与导数，证明交点个数结论 题型特征：利用导数分析函数单调性与最值，证明时方程的交点个数结论。 解题步骤： 1. 构造辅助函数（，），将交点个数转化为的零点个数。 2. 求导，分析的单调性与极值点。 3. 计算极小值（为极值点），根据极小值的正负判定零点个数。 例题3 设，（），证明：当时，无零点。 举一反三3-1 证明：当时，函数有且仅有一个零点。 举一反三3-2 证明：当时，函数有两个不同的零点。 举一反三3-3 求函数（）的最小值，并判定其零点个数。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 方程的实数解个数为（） A. B. C. D. 无数个 2. 多选题 已知，方程有实数解的条件可能是（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知方程（）有且仅有一个实数解，则______ 4. 解答题 (1) 判定方程的实数解个数（已知） (2) 已知方程（）无实数解，求的取值范围 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 设，若函数与的图象相切，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数（，），下列说法正确的有（） A. 在定义域内有唯一的极值点 B. 的极小值点为 C. 当时，的最小值大于 D. 当时，有两个零点 3. 填空题 函数的零点个数为______ 4. 解答题 (1) 已知方程（）有两个不同的实数解，求的取值范围 (2) 求函数在切点处的切线方程（已知切线斜率为） （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 已知，且方程有两个不同的实数解（），则下列关系成立的是（） A. B. C. D. 无确定关系 2. 多选题 已知，则关于函数和的说法正确的有（） A. 两函数图象相切于点 B. 切线方程为 C. 的增长速度始终快于 D. 方程有唯一解 3. 填空题 若方程（）的实数解个数为，则函数的最小值为______ 4. 解答题 (1) 证明：当时，函数在上有两个不同的零点 (2) 已知，函数，，若对任意，都有，求的取值范围 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $