第1章 集合与逻辑 期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学《集合与逻辑》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了集合（概念、表示法、关系与运算）和逻辑（命题、充要条件、反证法）的知识体系，用对比表格呈现常用数集记法、集合运算性质等要点，清晰展现重难点分布及内在联系，构建严谨的数学思维起点。 讲义亮点在于12类分层题型设计，从基础的集合概念理解（如判断能否组成集合）到综合的新定义题（如群论应用），结合反证法步骤解析培养逻辑推理素养，通过求参数问题（如集合包含关系求范围）提升运算能力，解析详尽且支持分层教学，助力教师精准复习与学生自主提升。

【原卷版】（沪教版） 微专题 《第1章 集合与逻辑》期末复习 高中数学《第一章集合与逻辑》，是衔接初等与高等数学的基础内容。集合部分涵盖概念、表示法（列举法、描述法）及基本关系（子集、真子集、相等）与运算（交、并、补），可精准描述数学对象的范围。逻辑部分聚焦命题、充分必要条件及简单逻辑联结词，帮助判断命题真假、厘清条件间的推导关系。本章是后续函数、不等式等知识的工具性铺垫，是构建严谨数学思维的起点。 题型1：对集合的概念的理解 题型2：常用数集及其记法 题型3：集合的确定性、互异性、无序性 题型4：集合的表示方法 题型5：集合的相等 题型6：子集与真子集 题型7：集合的基本运算 题型8：命题真假的判别 题型9：充要条件的判别 题型10：对反证法的理解 题型11：利用集合与逻辑求参数 题型12：集合与逻辑相关的新定义题 题型1：对集合的概念的理解 例1．（1）下列对象能组成集合的是（     ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 （2）下列说法中正确的是（     ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 题型2：常用数集及其记法 例2．（1）给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 题型3：集合的确定性、互异性、无序性 例3．（1）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 （2）定义集合运算：.若集合，，则 题型4：集合的表示方法 例4．（1）下列说法中正确的是（     ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 （2）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 题型5：集合的相等 例5．（1）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． （2）已知集合，，，为实数且． （1）当，时，判断集合，间的关系； （2）若，求实数和的值． 题型6：子集与真子集 例6．（1）下列集合中，可以为集合的真子集的是（     ） A． B． C． D． （2）定义集合运算：.已知集合，则集合 有 个真子集. 题型7：集合的基本运算 例7．（1）已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． （2）已知集合或． ①当时，求； ②若，求的取值范围． 题型8：命题真假的判别 例8．（1）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 （2）对任意集合A和集合B，下列两个命题（ ） ①； ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 题型9：充要条件的判别 例9．（1）在三角形中，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 （2）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 题型10：对反证法的理解 例10．（1）应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（     ） （1）结论的否定；（2）已知条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论. A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） （2）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为 . 题型11：利用集合与逻辑求参数 例11．（1）已知集合，，若，则的取值范围 是（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，集合. ①若，那么是的什么条件； ②若是的必要条件，求实数的取值范围. 题型12：集合与逻辑相关的新定义题 例12．（1）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（     ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 （2）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为.类似地，对于集合A，B，我们把集合叫做集合A的B的差集，记作.例如.，则有，据此，试回答下列问题： 已知集合 ，集合 ①当时，求A—B； ②若，求实数m的取值范围. 1、判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素；自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体； 2、数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 3、集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合；（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}；（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合； 4、集合的表示方法 列举法表示集合：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可； 描述法表示集合：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法； 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述； 5、集合的相等 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B；（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B； 6、子集与真子集 子集的判断与求解：1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集；记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的：真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集； 注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集； 7、集合的基本运算 （1）求集合的交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}； 运算性质：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． （2）求集合的并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}． 运算性质：①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． （3）求集合的补集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}． 【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法； 通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现． 8、集合新定义问题的“三定” （1）定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． （2）定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． （3）定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 9、集合与充要条件求参数问题的解题策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验； 10、反证法 所谓反证法：又称归谬法，是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题； 应用反证法的常见情形：1、结论显而易见，直接证明困难；2、需分成很多类进行讨论；3、结论一般是含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”、“不可能”、“一定”、“唯一”等字样的命题。反证法的步骤：（1）否定结论，提出假设（假设结论的反面成立）；（2）推出矛盾（从假设出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾）；（3）推翻假设，肯定结论。怎样导出矛盾呢？通常有以下几种情况：①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 1．下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（    ） A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 2．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，那么集合（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，．则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中，正确的个数为 . 7．若，则 . 8．已知集合，，且，都是集合子集，如果把叫做集合的“长度”，那么的“长度”的最小值是 . 9．高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是 . 10．已知集合与集合，那么集合 . 11．已知集合，集合，那么 . 12．有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是 (填写序号). 13．已知集合，则集合的真子集依次是 ． 14．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用： ①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论 15．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是 ． ①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素. 16．已知集合，，且，求集合． 17．已知，. （1）求实数的取值范围； （2）当时，求实数的值. 18．已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件： （3）记集合，，求证：. 19．已知集合是集合的一个含有9个元素的子集. （1）当时，设， ① 写出方程的解； ② 若方程（）至少有三组不同的解，写出的所有可能值； （2）证明：对于任意的集合，存在正整数，使得方程至少有三个不同的解. 20、已知集合，集合，且． （1）若时，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【解析版】（沪教版） 微专题 《第1章 集合与逻辑》期末复习 高中数学《第一章集合与逻辑》，是衔接初等与高等数学的基础内容。集合部分涵盖概念、表示法（列举法、描述法）及基本关系（子集、真子集、相等）与运算（交、并、补），可精准描述数学对象的范围。逻辑部分聚焦命题、充分必要条件及简单逻辑联结词，帮助判断命题真假、厘清条件间的推导关系。本章是后续函数、不等式等知识的工具性铺垫，是构建严谨数学思维的起点。 题型1：对集合的概念的理解 题型2：常用数集及其记法 题型3：集合的确定性、互异性、无序性 题型4：集合的表示方法 题型5：集合的相等 题型6：子集与真子集 题型7：集合的基本运算 题型8：命题真假的判别 题型9：充要条件的判别 题型10：对反证法的理解 题型11：利用集合与逻辑求参数 题型12：集合与逻辑相关的新定义题 题型1：对集合的概念的理解 例1．（1）下列对象能组成集合的是（     ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【提示】借助集合中元素的性质逐项判定即可得； 【答案】C； 【解析】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 【说明】本题主要考查了集合的定义与判断元素能否构成集合； （2）下列说法中正确的是（     ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【提示】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论； 【答案】C； 【解析】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C； 【说明】本题考查了判断元素能否构成集合； 题型2：常用数集及其记法 例2．（1）给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答； 【答案】B； 【解析】显然都是实数，①正确，②错误； 是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误， 所以正确的个数为2. 故选：B 【说明】本题主要考查了判断元素与集合的关系 （2）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 【提示】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可； 【答案】2； 【解析】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2； 故答案为：2； 【说明】本题考查了常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系； 题型3：集合的确定性、互异性、无序性 例3．（1）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【提示】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【答案】C； 【解析】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 【说明】本题考查了集合元素互异性的应用、列举法求集合中元素的个数； （2）定义集合运算：.若集合，，则 【提示】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案； 【答案】 【解析】， 由题意得. 故选：C 【说明】本题综合考查了集合新定义、集合元素互异性的应用 题型4：集合的表示方法 例4．（1）下列说法中正确的是（     ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【提示】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择； 【答案】B； 【解析】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 【说明】本题考查了判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合 （2）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【提示】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解； 【答案】（2）（3）； 【解析】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3）； 【说明】本题考查了判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 题型5：集合的相等 例5．（1）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【提示】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验； 【答案】，或，； 【解析】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 【说明】本题主要考查了利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 （2）已知集合，，，为实数且． （1）当，时，判断集合，间的关系； （2）若，求实数和的值． 【提示】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【答案】（1）B A；（2）或． 【解析】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 【说明】本题主要考查了根据两个集合相等求参数、判断两个集合的包含关系； 题型6：子集与真子集 例6．（1）下列集合中，可以为集合的真子集的是（     ） A． B． C． D． 【提示】直接根据真子集的概念得答案； 【答案】D； 【解析】集合的真子集为； 故选：D. 【说明】本题主要考查了求集合的子集（真子集） （2）定义集合运算：.已知集合，则集合 有 个真子集. 【提示】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可； 【答案】15； 【解析】因为， 所以，则集合有个真子集. 故答案为：15 【说明】本题考查了集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数； 题型7：集合的基本运算 例7．（1）已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 【提示】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解； 【答案】A； 【解析】因为，则， 所以. 故选：A. 【说明】本题考查了交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数； （2）已知集合或． ①当时，求； ②若，求的取值范围． 【提示】①根据集合的补集、交集运算即可； ②根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【答案】①；② 【解析】①当时，，因为或， 所以， 故； ②由①知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【说明】本题考查了交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 题型8：命题真假的判别 例8．（1）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【提示】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【答案】C； 【解析】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C； 【说明】本题主要考查了判断命题的真假； （2）对任意集合A和集合B，下列两个命题（ ） ①； ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【提示】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假； 【答案】B； 【解析】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B； 【说明】本题综合考查了判断命题的真假、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算； 题型9：充要条件的判别 例9．（1）在三角形中，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【提示】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可； 【答案】C； 【解析】因为在三角形中，，， 所以，则，所以“”是“”的充分条件； 由于，所以或，又因为三角形中，， 所以，所以. 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【说明】本题结合解三角形考查了充要条件的判别； （2）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【提示】根据集合的包含关系进行判断； 【答案】B； 【解析】因为，，所以⫋. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【说明】本题考查了判断命题的必要不充分条件； 题型10：对反证法的理解 例10．（1）应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（     ） （1）结论的否定；（2）已知条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论. A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 【提示】根据反证法的定义即可直接得出结果； 【答案】C； 【解析】由反证法的定义， 知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用， 所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等. 故选：C. 【说明】本题考查了反证法证明、反证法的概念辨析； （2）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为 . 【提示】利用反证法的定义及解题步骤分析得解； 【答案】③①②； 【解析】由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，下结论即②， 即顺序应为③①②. 故答案为③①② 【说明】本题考查了反证法证明、反证法的概念辨析；意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力； 题型11：利用集合与逻辑求参数 例11．（1）已知集合，，若，则的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】由题意可得：， 又，， ∴,∴ 故选D； 【说明】本题考查了根据交集结果求集合或参数； （2）已知集合，集合. ①若，那么是的什么条件； ②若是的必要条件，求实数的取值范围. 【提示】①利用一元二次不等式的解法，求出集合，进而得集合间的关系，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解； ②根据条件得，从而得到，即可求解. 【答案】①必要不充分条件；② 【解析】①由，得到，则， 当时，，所以，则可以推出，但推不出， 所以是的必要不充分条件. ②由①知，因为是的必要条件， 则，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【说明】本题考查了必要条件、解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件、根据集合的包含关系求参数； 题型12：集合与逻辑相关的新定义题 例12．（1）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（     ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【提示】 反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求； 【答案】D； 【解析】A：由且，使，但，不存在，使，不正确； B：由且，都有，但，不存在，使，不正确； C：由且，使，但，不存在，使，不正确； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【说明】本题综合考查了集合新定义；解答本题的关键点：对于D，对所有的， 可设，求出. （2）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为.类似地，对于集合A，B，我们把集合叫做集合A的B的差集，记作.例如.，则有，据此，试回答下列问题： 已知集合 ，集合 ①当时，求A—B； ②若，求实数m的取值范围. 【提示】①根据差集的定义直接求解即可；②利用分类讨论的思想求解即可； 【答案】①；②（—∞，2] 【解析】①∵，∴.. ②∵ 又∵ 当时， ∴ 当时， ∴ 综上所述，实数m的取值范围为 【说明】本题考查了集合新定义、根据集合的包含关系求参数 1、判断自然语言描述内容能否组成集合是高中数学中集合概念的重要部分．集合是由某种特定性质确定的对象组成的整体，这些对象称为元素；自然语言描述内容能否组成集合，关键在于描述内容是否明确、具体； 2、数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 3、集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合；（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}；（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合； 4、集合的表示方法 列举法表示集合：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来即可； 描述法表示集合：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法； 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述； 5、集合的相等 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B；（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B； 6、子集与真子集 子集的判断与求解：1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集；记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的：真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集； 注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集； 7、集合的基本运算 （1）求集合的交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}； 运算性质：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． （2）求集合的并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}． 运算性质：①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． （3）求集合的补集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}． 【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法； 通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现． 8、集合新定义问题的“三定” （1）定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． （2）定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． （3）定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 9、集合与充要条件求参数问题的解题策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验； 10、反证法 所谓反证法：又称归谬法，是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题； 应用反证法的常见情形：1、结论显而易见，直接证明困难；2、需分成很多类进行讨论；3、结论一般是含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”、“不可能”、“一定”、“唯一”等字样的命题。反证法的步骤：（1）否定结论，提出假设（假设结论的反面成立）；（2）推出矛盾（从假设出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾）；（3）推翻假设，肯定结论。怎样导出矛盾呢？通常有以下几种情况：①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 1．下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（    ） A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【解析】①能构成集合；②不能构成集合，“难题”标准不确定； ③不能构成集合，“比较接近1”的标准不明确； ④能构成集合；⑤能构成集合． 故选：A． 2．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【提示】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解析】因为，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 则 故选 4．已知集合，集合，那么集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由中不等式变形得：， 解得：，即， 由中，得， 解得：，即， ， 故选：D． 5．已知集合，．则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中，正确的个数为 . 【答案】2 【解析】为整数集，故①错；为实数，②正确；，③错；，④错； 为实数，故⑤正确. 故正确的个数为2. 故答案为：2. 7．若，则 . 【答案】2 【解析】由题意得， 当时，集合为，不满足互异性，排除， 当时，解得或， 若时，集合为，不满足互异性，排除， 若时，集合为，满足题意. 故答案为：2 8．已知集合，，且，都是集合子集，如果把叫做集合的“长度”，那么的“长度”的最小值是 . 【答案】 【提示】根据，都是集合子集，若的“长度”的最小值，则M与N应分别在区间的左右两端求解. 【解析】M的长度为 ，N的长度为 因为，都是集合子集， 当的“长度”的最小值时， 所以M与N应分别在区间的左右两端， 故的“长度”的最小值是， 故答案为： 9．高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是 . 【答案】 【解析】由题意画出ven图，如图所示： 由ven图知：参加比赛的人数为26人， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人， 故答案为：29 10．已知集合与集合，那么集合 . 【答案】或 【详解】由题,或,或, 所以或, 故答案为：或 11．已知集合，集合，那么 . 【答案】 【解析】因为集合,，集合或， 那么,． 故答案为：,． 12．有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是 (填写序号). 【答案】④ 【解析】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②集合M是实数3，4的集合，而集合N是实数对(3，4)的集合，不正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示. 故答案为：④． 13．已知集合，则集合的真子集依次是 ． 【答案】 ，， 【解析】集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 14．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用： ①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论 【答案】 【解析】应用反证法推出矛盾的推导过程中， 作为条件使用的通常有： ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等 故答案为：． 15．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是 ． ①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素. 【答案】①②④ 【提示】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案． 【解析】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立； 若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立； 若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立； M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立． 故答案为①②④ 16．已知集合，，且，求集合． 【答案】 【解析】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 17．已知，. （1）求实数的取值范围； （2）当时，求实数的值. 【答案】(1)且；(2) 【提示】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解析】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 18．已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件： （3）记集合，，求证：. 【提示】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）设，推出，即可得证. 【答案】(1)，，；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）∵，，∴，， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）对于，，为偶数. 令，解得， ∴，即. 【说明】本题考查了判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件、判断元素与集合的关系 19．已知集合是集合的一个含有9个元素的子集. （1）当时，设， ① 写出方程的解； ② 若方程（）至少有三组不同的解，写出的所有可能值； （2）证明：对于任意的集合，存在正整数，使得方程至少有三个不同的解. 【提示】（1）①根据集合中的元素以及即可求解；②一一列举即可得出的所有可能值. （2）利用反证法假设对于任意的正整数，方程至多有2组不同的解，，求和即可证明. 【答案】(1)①；②数字2，3，4，6，12均至少出现三次 (2)证明见解析 【解析】（1）①显然 ②所有数依次与2001的差值为1，4，6，10，12，15，16，18； 所有数依次与2002的差值为3，5，9，11，14，15，17； 所有数依次与2005的差值为2，6，8，11，12，14； 所有数依次与2007的差值为4，6，9，10，12； 所有数依次与2011的差值为2，5，6，8； 所有数依次与2013的差值为3，4，6； 所有数依次与2016的差值为1，3； 所有数依次与2017的差值为2； 综上：数字2，3，4，6，12均至少出现三次； （2）反证法：假设对于任意的正整数，方程至多有2组不同的解， 设， 则， 另一方面，矛盾， 即假设不成立，原命题得证！ 【说明】本题考查了反证法证明、集合新定义 20、已知集合，集合，且． （1）若时，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若，且实数的所有可能值构成的集合为，集合中恰有2个元素，求实数的取值范围． 【提示】（1）当时，求出集合A，根据题意可知，据此求解； （2）若则，则和3为方程的两个解，由韦达定理求解即可； （3）由，求出所有可能满足题意的m，由此得到集合D，再根据集合中恰有2个元素求解即可. 【答案】(1)或；(2)；(3) 【解析】（1）当时，， ， ， ， ∴，故或, 解得或. （2）若则, 和3为方程的两个解, 由韦达定理得，解得, 此时, 故. （3），所以， ①若， 当时,则，不满足，所以； 当时,则， 当时,即，此时，满足, 当时,即，此时，满足, ②若 当时，, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时,, 联立解得,此时,满足, 当时，即，由，得， 由根与系数的关系得解得. 且符合题意，此时, 综上所述，实数的所有可能值构成的集合，而，易知， 当时，，因为集合中恰有2个元素，所以，解得； 当时,，因为集合中恰有2个元素，所以，此不等式无解， 综上所述：. 【说明】本题考查根据交集结果求集合或参数、根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 第35页，共46页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $