专题07 圆（期末复习课件）九年级数学上学期北师大版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，聚焦“圆”专题，以考情分析为引导，构建必备知识体系，通过重难点题型突破和分层验收练习，为学生提供从概念到应用的完整学习支架。 资料注重核心素养培养，通过筒车盛水桶等生活实例激发观察兴趣，以垂径定理“知二推三”等逻辑推导培养推理思维，结合规范解题过程强化数学表达。设置易错提醒和典例变式，帮助学生突破难点，分层练习适配不同水平，既助力学生系统复习，也为教师教学提供清晰框架。

专题07 圆 九年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 圆周角定理及其推论的应用 牢记并区分圆心角、圆周角的定义，准确把握点与圆、直线与圆的位置关系判定标准，通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置。 核心热点，常结合圆内接四边形、直径的性质设计角度计算问题，题型覆盖选择、填空、解答题。 垂径定理的应用 精准理解垂径定理的核心内涵，熟练掌握垂径定理相关的辅助线构造方法，并能准确推导与计算。 高频考查弦长、弦心距、半径的计算，通常需要构造“半径-弦心距-半弦”的直角三角形，结合勾股定理求解，是填空题和基础解答题的常见考点。 切线的判定与性质 熟练掌握切线的判定与性质应用，能根据切线判定定理证明直线为圆的切线，能利用切线性质推导线段垂直、角相等关系，解决相关计算问题；同时掌握切线长定理。 解答题核心考点，常以“证明某直线是圆的切线”“已知切线求线段长度或角度”的形式出现，解题关键在于准确构造辅助线，灵活运用切线的判定定理和性质定理。 弧长与扇形面积的计算 能准确进行弧长、扇形面积及组合图形面积的计算，掌握割补法、等积变换等技巧，能将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差进行求解；能结合实际情境建立圆的模型，解决弧长、面积相关的实际问题。 高频考点，既包括直接代入公式的简单计算，也包括结合垂径定理、圆周角定理的综合计算，还会涉及阴影部分面积的求解。 圆与三角形的综合应用 全面梳理圆与三角形综合的核心知识点，包括：三角形的外接圆与内切圆的定义、性质；外心与内心的判定与性质；圆周角定理及其推论在三角形中的应用；三角形形状与外接圆位置的关系。 压轴题，包括三角形外接圆、内切圆的性质应用，以及圆与三角形全等、相似的综合证明与计算，此类题目综合性强，能全面考查学生的知识整合能力和逻辑推理能力。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 圆及与的相关的概念 知识点01 描述性定义： 在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。 1.圆的定义 2.基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 集合性定义： 圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 ⑦等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。 也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 圆及与的相关的概念 知识点01 ⑧确定一个圆的两要素（圆心、半径） ⑨圆的任一半径长度都相等，圆的任一直径长度都相等， 且直径长度=2倍的半径长度 ⑩圆的周长与面积公式：C =2r ，S = ①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。 通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合）， 不仅指弧长相等，弧度也相等。 易错提醒 圆及与的相关的概念 知识点01 3.弦与直径、弧与半圆 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作 ”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示） 或 叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 圆及与的相关的概念 知识点01 4.同心圆和等圆 同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示： 等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。 图2 O 图3 O R=3cm O R=3cm 同圆或等圆的半径相等。 易错提醒 如图3.等圆与位置无关 圆的对称性 知识点02 2.弧、弦、圆心角 （1）圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角． 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 1°的弧： 将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧． 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 垂径定理及推论和重要公式 知识点03 （1）垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦、 且平分弦所对的两条弧。  （2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）； ②CD垂直弦AB； ③CD平分AB； ④=； ⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB， ∴= = （3）重要公式： 设半径为r，，=d， 根据勾股定理：＝＋ 圆中常用的辅助线： 连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 圆周角定理及推论 知识点04 （1）圆周角定理:同弧或等弧所对的圆心角等于它所对圆周角的的2倍 （2）圆周角定理推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 （3）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下， 圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 （4）圆周角定理推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90° （5）圆周角定理推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 确定圆的条件 知识点05 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 三角形的外接圆的作法   如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆． 因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． （1）三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心． （2）三角形外心性质:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 12 确定圆的条件 知识点05 5.点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 4. 圆的确定 （1）经过一个已知点A可画无数个圆。 （2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 （3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 （4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 13 直线与圆的位置关系 知识点06 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 1.直线和圆位置关系 相交 O （a） l 相切 O （b） l 相离 O （c） l 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 2.切线的判定和性质 （1）切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 （2）推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点， 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3.切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 直线与圆的位置关系 知识点06 相切 O l d d=r 直线与圆的位置关系 知识点06 4.弦切角定理及其逆定理 弦切角定理(需证明) 弦切角的定义 顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数．   如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角． 证明过程略. 弦切角定理逆定理(需证明) 弦切角定理逆定理 如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线.   证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°. 所以PA是圆O的切线. 切线长定理 知识点07 圆内接正多边形 知识点08 1.圆内接正多边形: 把圆分成n(n≥3)等份 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形， 对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心； 当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 O O O O 圆内接正多边形 知识点08 （4）边数相同的正多边形相似。 它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比， 面积的比等 于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 3.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 弧长及扇形面积 知识点09 1.弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l= 2.与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为： S扇形＝＝lR. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 圆周角定理及其推论的应用 题型一 【典例1-1】（25-26九年级上•全国•期末）如图，A，B，C是上的三点， ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴ ， A 【典例1-2】（24-25九年级上•河南周口•期末）如图，若是的直径，是 的弦， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 解：∵是的直径， ∴ ． ∵ 与所对的弧都是 ， ∴ ． ∴ ． 圆周角定理及其推论的应用 题型一 A 【典例1-3】（24-25九年级上•河北张家口•期末）如图，是半圆的直径， ，则的度数为 ． 解：∵是半圆的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 圆周角定理及其推论的应用 题型一 【典例1-4】（24-25九年级上•全国•期末）如图，圆A与坐标系交于 ，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 解：连接， ∵ ， ∴是圆的直径． ∵ ， ∴ ， 根据勾股定理，在 中， ． 圆周角定理及其推论的应用 题型一 【变式1-1】（24-25九年级上•云南红河•期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，若 ，则的度数是（ ） A． B． C． D． 解：∵ 与 所对的弧为同一弧， ∴ ， 圆周角定理及其推论的应用 题型一 D 【变式1-2】（24-25九年级上•广东肇庆•期末）如图， 中，弦相交于点P， ，则 （ ） A． B． C． 40 D． 75 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 圆周角定理及其推论的应用 题型一 B 【变式1-3】（24-25九年级上•安徽淮北•期末）如图， 内接于 ，点B是 的中点，是的直径．若 ， 5，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 圆周角定理及其推论的应用 题型一 解：连接 ， ∵点B是 的中点，∴， ∵是 的直径， ∴ ， ∴，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，∴ ， 解得： （负值舍去）， C 【变式1-4】（24-25九年级上•江苏宿迁•期末）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 圆周角定理及其推论的应用 题型一 解：∵ ，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交 于点C， ∵O为 中点，M为中点， ∴为的中位线，∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时， 的值最大， 在中， ，根据勾股定理得： ，∴，∴ ． 垂径定理的应用 题型二 【典例2-1】（24-25九年级上•内蒙古兴安盟•期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点 P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 AB长为 8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（ ） A． 3m B．2 m C．4 m D．2.5m 解：过点作半径于，如图， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， D ∟ B 垂径定理的应用 题型二 【典例2-2】（24-25九年级上•黑龙江牡丹江•期末）已知的半径为 13，弦平行于弦之间的距离是 ． 解：如图，当的圆心O位于之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接． ∵，∴， ∵ ， ∴， 在 中， 由勾股定理得， 在 中， 由勾股定理得 ， ∴ ， ∴和之间的距离为17； 17或 7 如图所示， 当 的圆心O不在两平行弦之间（即弦在圆心O的同侧）时， 同理可得： ， ∴ ， ∴和之间的距离为7； 综上所述， 和之间的距离为7或17． 垂径定理的应用 题型二 【典例2-3】（24-25九年级上•河南驻马店•期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径 的值． ∟ （1）证明：如图：作于E，由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在 和 中，由勾股定理，得： ， ， 即 ， 解得： 大圆的半径为 ． 垂径定理的应用 题型二 【典例2-4】（24-25九年级上•江西上饶•期末）加图， 内接于，，连接．(1)求证：；(2)若 ，求的长． ∟ （1）证明： ∵ 内接于 ，， ∴ ， ∴平分 ， ∵过圆心， ∴； （2）解：如图，延长交于，连接， 由上得，平分 ， ∵过圆心， ∴ ， ∵， ∴由勾股定理得， ， ∴ ， ∴由勾股定理得， ． 垂径定理的应用 题型二 【变式2-1】（23-24九年级上•内蒙古乌海•期末）如图，为圆O的弦，圆O的半径为5，于点D，交圆O于点C，且 ，则的长是 . 解：如图，连接， ∵圆O的半径为5， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 8 垂径定理的应用 题型二 【变式2-2】（25-26九年级上•全国•期末）如图， 的半径为10，弦的长为12，，交 于点D，交 于点C，则 ． 解：∵ 的半径为10， ∴ ， ∵ ， ∴， 在 中，由勾股定理得： 8 垂径定理的应用 题型二 【变式2-3】（24-25九年级上•河北保定•期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是 上一点，经过圆心O，且 弦，垂足为M．已知 ． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（ 的直径）． （1）解： 经过圆心O，且 弦， ； （2）解：连接，∵， ∴ ， 设的半径为 m， 则， 在中， ∵， ∴ ， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为 ． 垂径定理的应用 题型二 【变式2-4】（24-25九年级上•广东潮州•期末）如图1，是 的直径，点D为下方 上一点，点F为弦的中点，连接且延长交 于点C，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点 求证： ； 若 ，求 的半径． （1）证明： 点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2）① 证明： 点F为弦的中点， ，， 又是的直径， ， ， 由 得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分 ， 垂径定理的应用 题型二 【变式2-4】（24-25九年级上•广东潮州•期末）如图1，是 的直径，点D为下方 上一点，点F为弦的中点，连接且延长交 于点C，连接． 若 ，求 的半径． ②解：连接，则 ，如图所示， ， 由①得， 设 的半径为r，则， 整理得 ， 解得 (不符合题意，舍去) ， 的半径为 切线的判定与性质 题型三 【典例3-1】（24-25九年级上•安徽合肥•期末）如图，是 的两条切线，切点分别为．连接𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝐴𝐵,𝐶𝑂，与交于点，若 ，则的长为（ ） A．2 B．4 C． D． 解：∵是 的两条切线， ∴， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ． ∵， ， ∴， ∴． C 切线的判定与性质 题型三 【典例3-2】（24-25九年级上•广东•期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若 的周长是20，则的长是 ． 解：∵切 于点A，B， 切 于点E， ， 的周长是20， ， 10 切线的判定与性质 题型三 【典例3-3】（24-25九年级上•广东广州•期末）已知线段与相切，切点分别为， ． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与 相切． (3)若 ，求的半径． （1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接，∴， ∵线段与 相切，切点分别为， ∴ ， ∵ ，∴四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形， ∴，∴， ∴是的直径，即点在上，∴， 在 和中， ， ∴ ， ∴ ，即， ∵是的半径， ∴与 相切于点，则即为所作； 切线的判定与性质 题型三 【典例3-3】（24-25九年级上•广东广州•期末）已知线段与相切，切点分别为， ． (2)求证：与 相切．(3)若 ，求的半径． （3）解：设 的半径为， 过点作于点，则 ， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵都是的切线， ∴， ∴， （2）证明：由（1）知： 即，且点在 上， ∴与相切； 在中， ， ∴ ， 解得： ， ∴ 的半径为2 ． 切线的判定与性质 题型三 【变式3-1】（24-25九年级上•四川泸州•期末）如图，在中，，与 三边分别相切于点，且 ，则 的面积是（ ） A． B． C． D． 解：连接， 与 三边分别相切于点， 且 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∴ ， C 切线的判定与性质 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上•重庆江北•期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1 ， 与的三边分别相切于点则 叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图 2， 与四边形的边分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做 的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边 与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 切线的判定与性质 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上•重庆江北•期末）如图 2， 与四边形的边分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做 的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边 与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． （1）解： 与四边形的边， 分别相切于点G，F，E，H， 猜想， 证明： 和相切， ， 同理：， ， 即： （2）已知：四边形的四边 都于相切于G，F，E，H， 求证：， 切线的判定与性质 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上•全国•期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为 ． (1)将正方形绕点O顺时针旋转 ，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图， 与正方形四边都相切，直线切 于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证： 平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作 交 于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 切线的判定与性质 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上•全国•期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为 ． (1)将正方形绕点O顺时针旋转 ，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； （1）解：连接，∵A点的坐标为 ，∴ ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将正方形绕点O顺时针旋转 ，得到正方形， ∴ ， ∴ ， 在和 中， ∴ ， ∴ ，∴， 在 中， ， ∴ 又∴， ∵，∴ ； 切线的判定与性质 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上•全国•期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为 ． (2)如图， 与正方形四边都相切，直线切 于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证： 平分． （2）证明：设 与边相切于点，连接 ，如图， 则 , ∵是 的切线，∴， 在和中， ∴ ， ∴ , ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 即 ，∴ ， ∴ ∴ 平分 ． 同理可证： ， ∴ ， 切线的判定与性质 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上•全国•期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为 ． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作 交 于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． （3）解：的值是定值为 ， 在上取点V，使， 即， ∵，∴ ， ∵ ， ∴， 即； 又∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴； 又 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【典例4-1】（24-25九年级上•河南驻马店•期末）已知扇形的面积为 ，扇形的弧长是 ，则该扇形半径为（ ） A．6 B．4 C．2 D． 解:设扇形的半径为，扇形的面积公式： ， 解得： ． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【典例4-2】（24-25九年级上•江苏盐城•期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 解： ∴山水画所在纸面的面积： ． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【典例4-3】（25-26九年级上•浙江温州•期末）如图，在中， ，半径 ，则所对的 长为 cm． 解：在中， ， 则 ， 因此所对的 长为： ， 弧长与扇形面积的计算 题型四 【典例4-4】（24-25九年级上•江苏苏州•期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接， ． (1)证明：为 的切线； (2)若 ．①求的长；②求阴影部分的面积． （1）证明： 点是的中点，点是的中点， 为的切线； 弧长与扇形面积的计算 题型四 【典例4-4】（24-25九年级上•江苏苏州•期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接， ． (1)证明：为 的切线； (2)若 ．①求的长；②求阴影部分的面积． （2）解：①设的半径为， ， 由（1）知 ； ②由①知， ， 阴影部分的面积 的面积 扇形的面积 ． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-1】（24-25九年级上•山西长治•期末）如图，在中， ，将绕点A逆时针旋转 后得到 ，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 解： ， ， 将绕点A逆时针旋转 后得到， ， ． C 55 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上•全国•期末）如图，在中， 平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是 ， ，求阴影部分的面积． （结果保留 和根号） （1）证明：如图，连接， ∵平分 ，∴ ， ∵，∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ，即， ∴， 又∵是圆的半径，∴是圆的切线． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上•全国•期末）如图，在中， 平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是 ， ，求阴影部分的面积． （结果保留 和根号） （2）解：如图，连接，其中交于点， ∵ ，∴ ， ∵圆的半径是 ，∴， ∴ 是等边三角形，∴ ， ∵平分，∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为 ． 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-3】（25-26九年级上•全国•期末）如图， 中， 平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是 的切线； (2)若 ，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． （1）证明：连接， ∵，直径 ∴点D在 上， ∵，∴ ， ∵平分 ，∴ ， ∴ ，∴， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∵是半径，∴是 的切线； 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-3】（25-26九年级上•全国•期末）如图， 中， 平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是 的切线； (2)若 ，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． （2）解：在中，由勾股定理， 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，， 在中， ， ∴； 弧长与扇形面积的计算 题型四 【变式4-3】（25-26九年级上•全国•期末）如图， 中， 平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是 的切线； (2)若 ，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． （3）解：如图，∵，∴ ， ∵，∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴阴影部分面积为： ． 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-1】（25-26九年级上•浙江温州•期末）如图，在 中，弦与弦交于点且．已知 ，若，则的长为（ ） A．3 B． C．4 D． 解： 弦与弦交于点，， A 或 ， 当时， ， 当 时， ， ， 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-2】（24-25九年级上•全国•期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（ ） A．2 B． C． D． 解：∵ 是等边三角形，， ∴ ， ∴ ， 设，则， 在中， ， ∴ ， 则 ， 则 ，解得： ． B 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-3】（24-25九年级上•河北唐山•期末）已知直角三角形模具的两条直角边为 和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 解： ∵ 直角三角形模具的两条直角边为 和 ， ∴直角三角形模具的斜边长为 ， ∵用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， ∴圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， ∴ 这个圆形纸片的最小直径为 ； 13 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-4】（24-25九年级上•河北沧州•期末）如图，在中， ，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 解：作于D，如图， ∵，∴ ， ∴， ∵垂直平分，∴ 的外心O在上， 连接，设 的外接圆的半径为r， 则 在中， ，解得： ， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为 的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． D ∟ O 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-5】（25-26九年级上•广东惠州•期末）如图，在 的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图： ①将绕点C逆时针旋转 ，得到 ，画出 ； ②画出三角形 的外接圆 ； (2)求 的面积． 解：（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转 得到 ， 连接，得到 , 如图所示： 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-5】（25-26九年级上•广东惠州•期末）如图，在 的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图： ①将绕点C逆时针旋转 ，得到 ，画出 ； ②画出三角形 的外接圆 ； (2)求 的面积． ②分别取边垂直平分线上的格点， 作边的垂直平分线相交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 得到的外接圆，如图所示 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-5】（25-26九年级上•广东惠州•期末）如图，在 的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图： ①将绕点C逆时针旋转 ，得到 ，画出 ； ②画出三角形 的外接圆 ； (2)求 的面积． （2）连接 ， ∴ 的面积为 ． 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-6】（23-24九年级上•四川成都•期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得 ．连接．点E，F分别在线段和上，且满足，连接交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (1)求与之间的数量关系； (2)当 时，求的长度； (3)如图2，过点M作 交于N，求 的最大值． 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-6】（23-24九年级上•四川成都•期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得 ．连接．点E，F分别在线段和上，且满足，连接交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (1)求与之间的数量关系； （1） 四边形是菱形， ； 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-6】（23-24九年级上•四川成都•期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得 ．连接．点E，F分别在线段和上，且满足，连接交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (2)当 时，求的长度； （2）作，交的延长线于点， 作于点， ； 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-6】（23-24九年级上•四川成都•期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得 ．连接．点E，F分别在线段和上，且满足，连接交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (3)如图2，过点M作 交于N，求 的最大值． （3）如图2，以为边在下方作等边三角形， 由上知： ， ， 点在等边三角形的外接圆上 运动， 连接 交于 ，则 ， 点在以为圆心， 3为半径的圆上运动， 圆与三角形的综合应用 题型五 【典例5-6】（23-24九年级上•四川成都•期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得 ．连接．点E，F分别在线段和上，且满足，连接交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (3)如图2，过点M作 交于N，求 的最大值． 当与 相切时， 最大， 最大， 延长，交于点 设，则 ． 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-1】（23-24九年级上•海南海口•期末）如图， 内接于，，直径交于点，若 ，则 °． 解：连接，如图， 为直径， ． 75 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-2】（24-25九年级上•江苏南京•期末）如图，在中，边上的高为12 ，且是锐角,是边上的动点，连接，作 ，与边交于点，则经过点， 的的半径最小值为 ． 解：如图，作的外接圆，连接， 过作于点，设 ， 过作于点， 过作于点， 则 ， ，即 ， 即 ， 解得， 的半径最小值为 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上•河北沧州•期末）如图所示，已知 中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于． 求证：． 证明：如图，连接，连接交于， 为外心， ， 为重心． ． 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•云南昭通•期末）如图1，AB是的直径， AM和BN是它的两条切线，点E是 右侧半圆上不同于A,B的一个动点，过点E作的切线DC与AM,BN分别相交于D,C两点，连接DO,CO． (1)若 ，求DC的长； (2)求证：； (3)如图2，连接AE,BE，BE与相交于点F，延长CO交于点G，过点G作于点H．则以下关于线段BH,AH,AE的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•云南昭通•期末）如图1，AB是的直径， AM和BN是它的两条切线，点E是 右侧半圆上不同于A,B的一个动点，过点E作的切线DC与AM,BN分别相交于D,C两点，连接DO,CO． (1)若 ，求DC的长； （1）解： 是直径，是切线， ∴， ， 由切线长定理可知， ； 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•云南昭通•期末）如图1，AB是的直径， AM和BN是它的两条切线，点E是 右侧半圆上不同于A,B的一个动点，过点E作的切线DC与AM,BN分别相交于D,C两点，连接DO,CO． (2)求证：； （2）证明： 是直径，是切线， ， 由 （1）知 , 由切线长定理 ， 即 ； 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•云南昭通•期末） (3)如图2，连接AE,BE，BE与相交于点F，延长CO交于点G，过点G作于点H．则以下关于线段BH,AH,AE的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得， 连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， 在四边形中 ， 又 ， 在 和中， 在和中， ， ． 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-5】（24-25九年级上•福建泉州•期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证： ； (2)若， ①求证：； ②连接，若， 求证：． （1）证明：∵， ∴ ， ∴ ； （2）证明：①∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ，即， 由（1）可知： ，即， ∴，∴； 圆与三角形的综合应用 题型五 【变式5-5】（24-25九年级上•福建泉州•期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (2)若， ②连接，若，求证：． ②由可知： 点D、C、B三点在以点A为圆心， 半径为的圆上，如图， ∴ ， 由①可知：， ∴ ， ∵，∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 设，则有， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即， ∴ ． ∴ ，∴， 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1.（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 A 2．（25-26九年级上·全国·期末）已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm ，圆心角为 216°，则此圆锥的母线长为（ ）cm A．4 B．5 C．6 D．7 解：设圆锥的母线长为 Rcm， 解得：R=5 ． 其中n=216°，l=6πcm B ∴ 期末基础通关练 3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位）， △ABC的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出 △ABC的外接圆的圆心 P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将△ABC 绕点A 逆时针旋转90° 得到 △ADE ，画出△ADE ． （1）解:作线段AB的垂直平分线MN,交BC垂直平分线GH于P点，P为圆心位置 M N G H P （2）如图所示， △ADE为所求三角形． D E 期末重难突破练 4.(25-26 九年级上·全国·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC 的平分线. (1)尺规作图:作，圆心O在线段AB上，且经过A，D两点(不写作法，保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下，若OB=OA，AC=10，求的半径. （1）解：如图， 即为所求 （2）解：连接OD ， ∵AD是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵0A=OD, ∴.∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴.OD//AC， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，的半径为6. 期末重难突破练 5.(24-25 九年级上·安徽芜湖·期末)如图 1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即 当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)T(90°)=________，T(120°)=________，T(A)的取值范围是_________: (2)如图 2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长.(精确到0.1，参考数据: T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60) （1）解：如图1， 由∠A=90°，AB=AC， 得BC=AB ∴T (90°)= = 期末重难突破练 5.(24-25 九年级上·安徽芜湖·期末)如图 1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即 当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)T(90°)=________，T(120°)=________，T(A)的取值范围是 ； （1）解：如图2， ∵∠BAC=120°,AB=AC， ∴作AD⊥BC于D，则∠BAD = ∠BAC=60°，BD=CD，∴∠B=30°，则AB=2AD， ∴ ∴BC=2BD=AB, ∴T(120°)= = ∵AB-AC<BC<AB+AC=2AB， ∴0< <2 ∴0 <T(A) <2. 0 <T(A) <2. 期末重难突破练 5.(24-25 九年级上·安徽芜湖·期末)如图 1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即 当∠A=60°时，如T(60°)=1. (2)如图 2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长.(精确到0.1，参考数据: T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60) (2)解:∵圆锥的底面直径PQ=14， ∴.圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π， 设扇形的圆心角为n°， 则 =14π，解得：n=140， ∵T(70°)≈1.15, ∴蚂蚁爬行的最短路径长为： 18x1.15≈20.7. 期末综合拓展练 6.(24-25 九年级上·江苏扬州·期末)在△ABC中，点D在边AB上，若CD²=AD•BD，则称点D是点C的“关联点” (1)如图(1)，在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.试说明:点D是点C的“关联点”. (2)如图 (2)，已知点 D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使点D为点C的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明) (3)在(2)的前提下，在图(2)中继续用无刻度的直尺和圆规在边AB上方作一个△ABP，使其同时满足下列条件: ①点D为点P的“关联点”;② PA=PB(保留作图痕迹，并作必要的文字说明). 期末综合拓展练 1.(24-25 九年级上·江苏扬州·期末)在△ABC中，点D在边AB上，若CD²=AD•BD，则称点D是点C的“关联点” (1)如图(1)，在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.试说明:点D是点C的“关联点”. (1)证明:∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°， ∴.∠A=∠BCD， ∵∠CDA=∠CDB=90°， ∴△ACD ∽△CBD， ∴CD²=AD·DB，点D是点C的“关联点”. 期末综合拓展练 6.(24-25 九年级上·江苏扬州·期末)在△ABC中，点D在边AB上，若CD²=AD•BD，则称点D是点C的“关联点” (2)如图 (2)，已知点 D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使点D为点C的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明) （2）解：如图， △ABC即为所求， 作法: ①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O; ②以O为圆心，OA为半径作圆； ③过D作DC⊥AB交于点C 证:∵点C在以AB为直径的圆上运动， ∴∠ACB=90°，∴DC²=DA·DB， 由(1)可得，此时点D为点C的“关联点”. 期末综合拓展练 6.(24-25 九年级上·江苏扬州·期末)在△ABC中，点D在边AB上，若CD²=AD•BD，则称点D是点C的“关联点” (3)在(2)的前提下，在图(2)中继续用无刻度的直尺和圆规在边AB上方作一个△ABP，使其同时满足下列条件: ①点D为点P的“关联点”;② PA=PB(保留作图痕迹，并作必要的文字说明). （3）解：如图，作法提示: ①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O; ②以O为圆心，OA为半径作圆; ③过D作DC⊥AB交于点C; ④以D为圆心，DC为半径画圆， 则点P在D上且在直线 DC右侧. 证:∵C在以AB为直径的圆上运动，∴∠ACB=90°， 根据第一问很容易得出：DC²=DA·DB， ∵DC=DP ∴DP²=DA·DB. 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $