第三章 函数的概念与性质 单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下表给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(1)=(　　) x -1 0 1 4 7 8 y 0 π 1 -3 1 A.π B.4 C.8 D.0 2.设函数f(x)=则f(f(3))=(　　) A. B.3 C. D. 3.已知某幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(　　) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 4.若函数f(x)=,则函数y=f(4x-3)的定义域是 (　　) A.(-∞,+∞) B. C. D. 5.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 6.已知函数y=f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减.若f(3)=0,则<0的解集为(　　) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 7.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m的值(　　) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 8.若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(　　) A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数 B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数 C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数 D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)为奇函数 D.f(x)为增函数 10.已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0,且f(x)单调递增,则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)在区间[-2,-1]上单调递增 B.当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0 C.f(x)在区间[-2,-1]上单调递减 D.|f(x)|在区间[-2,-1]上单调递减 11.已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,当a<b<c时,有f(a)=f(b)=f(c),则 (　　) A.a的取值范围为(-1,0) B.b+c为定值 C.a+b+c为定值 D.bc的取值范围为(0,1) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,则x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　　.若f(2)=-3,则m的值为　　　　　(第一空3分,第二空2分).  13.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=　　　　　.  14.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)上单调递减,设f(-)=m,f(a2+2a+)=n,则m,n的大小关系是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)= (1)求f,f,f(-1)的值; (2)画出这个函数的图象; (3)求f(x)的最大值. 16.(15分)已知函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],求该函数的式. 17.(15分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1. (1)确定函数f(x)的式; (2)用定义证明函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减. 18.(17分)若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f=f(x)-f(y). (1)求f(1); (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2. 19.(17分)某公司生产的A种产品,它的成本是2元/件,售价是3元/件,月销售量为10万件.为了获得更好的效益.公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每月投入的广告费为x(单位:万元)时,产品的月销售量将是原来的t倍,且t是关于x的二次函数,它们的关系如下表: x/万元 0 1 2 … t 1 1.5 1.8 … (1)求t关于x的函数式. (2)如果把利润看作是销售总额减去生产成本和广告费,试写出月利润S(单位:万元)关于月广告费x(单位:万元)的函数式. (3)如果投入的月广告费x在区间[1,2]上,问广告费为多少万元时,公司可获得最大月利润?并求出最大月利润为多少万元. 第3章 函数的概念与性质 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.D 因为3>1,所以f(3)=. 又因为<1,所以f+1=. 于是f(f(3))=f. 3.C 设该幂函数为y=xα,则2α=,解得α=-2,所以y=x-2. 因为y=x-2为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,所以y=x-2在区间(-∞,0)上单调递增.故选C. 4.C 因为f(x)=,所以其定义域为[0,+∞).令4x-3≥0,解得x≥,所以函数y=f(4x-3)的定义域是. 5.B 函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1). 将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B. 6.C ∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x),故<0可化为<0. 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(3)=0,结合图象(图略)知, 当x>3时,f(x)<0;当-3<x<0时,f(x)>0. 故<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 7.B 因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关.故选B. 8.B ∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=0,可得f(0)=0, ∴令x2=-x1,得f(x1)+f(-x1)=f(0)=0, 即f(-x1)=-f(x1), ∴f(x)为奇函数. 令x2>x1,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1), ∴f(x)在R上是减函数. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.ACD 10.BC 因为f(x)为定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,f(x)<0,f(x)单调递增,由偶函数图象的对称性知,f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,且当x∈[-2,-1]时,f(x)<0.所以当x∈[-2,-1]时,|f(x)|单调递增.故选BC. 11.ABD 根据题意,作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由题意及图可知-1<a<0,0<b<1,1<c<2. 由二次函数图象的对称性可知b+c=2, 则bc=b(2-b)=-(b-1)2+1. 又0<b<1,所以0<bc<1.故选ABD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.-x2+mx　 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+m(-x)=x2-mx. 又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x)=-x2+mx. 因为f(2)=-3,f(x)为奇函数, 所以f(-2)=3,又f(-2)=(-2)2-2m=4-2m,所以4-2m=3,解得m=. 13.-6 f(x)=|2x+a|= ∵函数f(x)的单调递增区间是[3,+∞), ∴-=3,即a=-6. 14.m≥n 因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且a2+2a+=(a+1)2+, 所以f(a2+2a+)≤f(). 又因为f(x)为偶函数,所以f(-)=f(),即m≥n. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1)f=(-2)×+8=5,f+5=,f(-1)=-3+5=2. (2)作出函数f(x)的图象,如图所示(实线部分). (3)由函数f(x)的图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值,且最大值为6. 16.(15分) 由题意,可得f(-x)=f(x),且f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0. ∴a=0或b=-2. 当a=0时,f(x)=bx2. ∵f(x)的值域为(-∞,4], 而y=bx2的值域不可能为(-∞,4],∴a≠0. 当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2]. ∴2a2=4.∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4. 17.(15分) (1)因为f(x)=是定义在R上的奇函数,所以一定有f(0)=0,得b=0,又f(1)=1,得a=2,所以f(x)=. (2)设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=. 因为x1-x2<0,(+1)(+1)>0, 若x1,x2∈[0,1],且x1<x2,则x1x2<1,1-x1x2>0,此时f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在区间[0,1]上单调递增; 若x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则x1x2>1,1-x1x2<0,此时f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减. 18.(17分) (1)令x=y=1,∵f=f(x)-f(y), ∴f(1)=f(1)-f(1),得f(1)=0. (2)由题意,得f(x+3)-f<2f(6), ∴在区间(0,+∞)内,有f[(x+3)·x]-f(6)<f(6),∴f<f(6). ∵f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, ∴解得0<x<. 19.(17分) (1)设二次函数的式为t=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求函数的式为t=-0.1x2+0.6x+1(x≥0). (2)根据题意得S=10t·(3-2)-x, ∴S=-x2+5x+10(x≥0). (3)S=-x2+5x+10=-. ∵1≤x≤2,S随x的增大而增大, ∴当x=2时,S取得最大值为16. 故当月广告费为2万元时,公司可获得最大月利润,且最大月利润为16万元. 学科网（北京）股份有限公司 $