6.1 向量的实际背景与概念、几何表示、相等向量与共线向量 预习案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦向量的实际背景与概念、几何表示、相等向量与共线向量，通过预习问题引导学生结合生活实例（如位移、速度）对比向量与数量的本质区别，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续几何表示等核心知识。 资料以问题驱动预习，设置概念辨析、典例变式及真题检测，帮助学生用数学眼光观察现实世界（联系生活实例），用数学思维辨析易混概念（如共线向量与直线共线的区别），用数学语言规范表达，助力自主学习，提升数学抽象与逻辑推理素养。

6.1 向量的实际背景与概念、几何表示、相等向量与共线向量预习案 一、预习问题 1、向量与数量的本质区别是什么？请各举 2 个生活实例说明。 答案：本质区别是向量既有大小又有方向，数量只有大小没有方向。向量实例：位移（“从教室到食堂向西走 50 米”）、力（“用 8N 的力水平推箱子”）；数量实例：体温（36.5℃）、教室面积（50㎡）。易错点：“路程” 是数量，“位移” 是向量。 2、用有向线段表示向量时，有向线段的三个要素是什么？改变其中任意一个要素，所表示的向量会发生变化吗？ 答案：三要素是起点、方向、长度。改变任意一个要素，向量都会变化：改变起点，向量的位置变；改变方向，向量的方向属性变；改变长度，向量的模变。 3、零向量和单位向量的定义是什么？它们有哪些易混淆的特殊性？ 答案：①零向量：长度为 0 的向量，记作，特殊性是方向任意（不是 “没有方向”）、模为 0；②单位向量：长度为 1 个单位的向量，特殊性是模都为 1，但方向不一定相同。易错点：单位向量仅模相等，方向可不同；零向量方向 “任意” 而非 “不确定”。 4、判定两个向量为相等向量的充要条件是什么？起点不同的向量有可能是相等向量吗？ 答案：充要条件是模相等且方向相同。起点不同的向量可以是相等向量，因为相等向量与起点位置无关（如平行四边形中，对边对应的向量虽起点不同，但模和方向相同，是相等向量）。 5、 共线向量（平行向量）的定义是什么？“向量共线” 与 “直线共线” 有什么本质区别？ 答案：共线向量是方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线。本质区别： 直线共线是位置关系（两条直线重合），向量共线是方向关系（方向相同 / 相反，可在平行直线上）。 二、知识填空 1、既有______又有______的量叫做向量；只有______没有______的量叫做数量，向量______（填 “能” 或 “不能”）比较大小。 答案：大小；方向；大小；方向；不能 3、向量的几何表示常用______，其三个要素是 、 、 ；向量的模（长度）记作______，模是______（填 “数量” 或 “向量”）。 答案：有向线段；起点；方向；长度；； 4、数量长度为______的向量叫做零向量，记作______，其方向是______；长度等于______个单位的向量叫做单位向量，所有单位向量的______都相等。 答案：0；；任意的；1；模 5、若，则与的______相等且______相同，相等向量与______（填 “起点” 或 “终点”）无关。 答案：模；方向；起点 6、方向______或______的非零向量叫做共线向量（也叫平行向量），规定______与任意向量共线；若与共线，记作______。 答案：相同；相反；零向量（）； 三、概念辨析（多项选择题） 1、下列关于向量与数量的说法，正确的是（ ） A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 位移、速度是向量，时间、质量是数量 C.向量的模是数量，能比较大小 D. 向量可以用有向线段表示，数量不能用图形表示 答案：BC 解析：A 错误，向量不能比较大小；D 错误，数量可在数轴上用点表示；B、C 符合向量与数量的定义。 2、关于零向量和单位向量，正确的是（ ） A. ， B. 零向量的方向任意，单位向量的方向固定 C. 零向量与任意单位向量共线 D. 平面内的单位向量只有 1 个 答案：AC 解析：B 错误，单位向量方向不固定；D 错误，平面内有无数个单位向量（方向不同）；A、C 符合零向量与单位向量的性质。 3、下列条件中，能判定的是（ ） A.  B. 且 C. 与方向相同且 D. 与是同一个有向线段表示的向量 答案：CD 解析：A 仅模相等，B 方向可能相反；C 是相等向量的充要条件，D 中同一有向线段的模和方向都相同，故。 4、关于共线向量的说法，错误的是（ ） A. 非零共线向量的方向一定相同 B. 零向量与任意向量共线 C. 共线向量一定在同一条直线上 D. 若与共线，与共线，则与共线 答案：ACD 解析：A 错误，方向可相反；C 错误，可在平行直线上；D 错误，若，则与不一定共线；B 是教材规定的性质。 四、典例练习 （一）教材例 1 变式： 已知某景区的平面示意图比例尺为（即图上 1cm 对应实际距离 20000cm=200m）。从游客中心 M 到景点 N 的图上有向线段长度为 3.0cm，从游客中心 M 到卫生间 P 的图上有向线段长度为 4.5cm。 （1）用向量表示从 M 到 N、从 M 到 P 的位移； （2）求 M 到 N、M 到 P 的实际距离。 解：（1）表示从 M 到 N 的位移，表示从 M 到 P 的位移； （2）M 到 N 的实际距离为3.0×200 = 600m；M 到 P 的实际距离为4.5×200 = 900m。 （二）教材例 2 变式： 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心（正六边形各边长度相等，中心 O 到任意顶点的线段长度相等）， （1）写出与共线的向量；（2）写出与相等的向量。 解：（1）与共线的向量：、（答案不唯一，方向相同或相反的非零向量均可）； （2）与相等的向量：、（答案不唯一，模相等且方向相同的向量均可）。 五、预习检测 （一）单项选择题 1、（2025 北京海淀高一月考）下列各量中，属于向量的是（ ） A. 教室的层高 B. 跑步的速度 C. 课本的页数 D. 铅笔的长度 答案：B 解析：速度既有大小又有方向，是向量；A、C、D 只有大小，是数量。 2、（2025 广东深圳高一期中）关于零向量，下列说法错误的是（ ）A. 零向量的模为 0 B. 零向量与任意向量共线C. 零向量没有方向 D. 零向量与自身相等 答案：C 解析：零向量的方向是 “任意”，不是 “没有方向”。 3、 （2025 江苏苏州高一月考）若是单位向量，与方向相同且，则（ ） A.   B.   C.   D. 无法确定， 答案：C 解析：与模相等且方向相同，故。 4、（2025 山东青岛高一期中）下列向量中，与相等的是（ ） A.   B. 与模相等的向量 C. 与方向相同的向量 D. （与模相等且方向相同） 答案：D 解析：相等向量需模相等且方向相同，只有 D 满足。 5、（2025 浙江杭州高一月考）若与共线，是非零向量，则的方向是（ ） A. 与方向相同 B. 与方向相反 C. 任意方向 D. 与方向相同或相反（非零）或任意方向（） 答案：D 解析：非零时，方向与相同或相反；时，方向任意。 （二）多项选择题 6、（2025 上海浦东高一月考）下列说法正确的是（ ） A. 单位向量的模都相等 B. 相等向量一定是共线向量 C. 共线向量一定是相等向量 D. 零向量的模为 0 答案：ABD 解析：C 错误，共线向量仅方向相同 / 相反，模不一定相等。 7、（2025 湖北武汉高一期中）关于向量的几何表示，正确的是（ ） A. 有向线段的长度表示向量的模 B. 有向线段与向量是一一对应的 C. 同一向量可以用不同起点的有向线段表示 D. 有向线段的方向表示向量的方向 答案：ACD 解析：B 错误，同一向量可以用多个有向线段表示（起点不同）。 8、（2025 四川成都高一月考）下列说法错误的是（ ） A. 若，则  B. 若，则与在同一直线上 C.零向量与任意向量相等 D. 单位向量都是相等向量 答案：BCD 解析：若向量相等，则其模一定相等，A 对；B 向量共线可在平行直线上；C 零向量仅与自身相等；D 单位向量方向可不同。 （三）填空题 9、（2025 重庆渝中高一月考）若，则与的关系是______，与的方向关系是______。 答案：相等；相同 解析：相等向量的模相等且方向相同。 10、（2025 陕西西安高一期中）已知 O 是正方形 ABCD 的中心，与共线的向量有______（写出 2 个即可）。 答案：、（答案不唯一） 解析：正方形中，与方向相反，与方向相同，均共线。 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 向量的实际背景与概念、几何表示、相等向量与共线向量预习案 一、预习问题 1、向量与数量的本质区别是什么？请各举 2 个生活实例说明。 2、用有向线段表示向量时，有向线段的三个要素是什么？改变其中任意一个要素，所表示的向量会发生变化吗？ 3、零向量和单位向量的定义是什么？它们有哪些易混淆的特殊性？ 4、判定两个向量为相等向量的充要条件是什么？起点不同的向量有可能是相等向量吗？ 5、 共线向量（平行向量）的定义是什么？“向量共线” 与 “直线共线” 有什么本质区 别？ 二、知识填空 1、既有______又有______的量叫做向量；只有______没有______的量叫做数量，向量______（填 “能” 或 “不能”）比较大小。 3、向量的几何表示常用______，其三个要素是 、 、 ；向量的模（长度）记作______，模是______（填 “数量” 或 “向量”）。 4、数量长度为______的向量叫做零向量，记作______，其方向是______；长度等于______个单位的向量叫做单位向量，所有单位向量的______都相等。 5、若，则与的______相等且______相同，相等向量与______（填 “起点” 或 “终点”）无关。 6、方向______或______的非零向量叫做共线向量（也叫平行向量），规定______与任意向量共线；若与共线，记作______。 三、概念辨析（多项选择题） 1、下列关于向量与数量的说法，正确的是（ ） A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 位移、速度是向量，时间、质量是数量 C.向量的模是数量，能比较大小 D. 向量可以用有向线段表示，数量不能用图形表示 2、关于零向量和单位向量，正确的是（ ） A. ， B. 零向量的方向任意，单位向量的方向固定 C. 零向量与任意单位向量共线 D. 平面内的单位向量只有 1 个 3、下列条件中，能判定的是（ ） A.  B. 且 C. 与方向相同且 D. 与是同一个有向线段表示的向量 4、关于共线向量的说法，错误的是（ ） A. 非零共线向量的方向一定相同 B. 零向量与任意向量共线 C. 共线向量一定在同一条直线上 D. 若与共线，与共线，则与共线 四、典例练习 （一）教材例 1 变式： 已知某景区的平面示意图比例尺为（即图上 1cm 对应实际距离 20000cm=200m）。从游客中心 M 到景点 N 的图上有向线段长度为 3.0cm，从游客中心 M 到卫生间 P 的图上有向线段长度为 4.5cm。 （1）用向量表示从 M 到 N、从 M 到 P 的位移； （2）求 M 到 N、M 到 P 的实际距离。 （二）教材例 2 变式： 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心（正六边形各边长度相等，中心 O 到任意顶点的线段长度相等）， （1）写出与共线的向量；（2）写出与相等的向量。 五、预习检测 （一）单项选择题 1、（2025 北京海淀高一月考）下列各量中，属于向量的是（ ） A. 教室的层高 B. 跑步的速度 C. 课本的页数 D. 铅笔的长度 2、（2025 广东深圳高一期中）关于零向量，下列说法错误的是（ ）A. 零向量的模为 0 B. 零向量与任意向量共线C. 零向量没有方向 D. 零向量与自身相等 3、 （2025 江苏苏州高一月考）若是单位向量，与方向相同且，则（ ） A.   B.   C.   D. 无法确定， 4、（2025 山东青岛高一期中）下列向量中，与相等的是（ ） A.   B. 与模相等的向量 C. 与方向相同的向量 D. （与模相等且方向相同） 5、（2025 浙江杭州高一月考）若与共线，是非零向量，则的方向是（ ） A. 与方向相同 B. 与方向相反 C. 任意方向 D. 与方向相同或相反（非零）或任意方向（） （二）多项选择题 6、（2025 上海浦东高一月考）下列说法正确的是（ ） A. 单位向量的模都相等 B. 相等向量一定是共线向量 C. 共线向量一定是相等向量 D. 零向量的模为 0 7、（2025 湖北武汉高一期中）关于向量的几何表示，正确的是（ ） A. 有向线段的长度表示向量的模 B. 有向线段与向量是一一对应的 C. 同一向量可以用不同起点的有向线段表示 D. 有向线段的方向表示向量的方向 8、（2025 四川成都高一月考）下列说法错误的是（ ） A. 若，则  B. 若，则与在同一直线上 C.零向量与任意向量相等 D. 单位向量都是相等向量 （三）填空题 9、（2025 重庆渝中高一月考）若，则与的关系是______，与的方向关系是______。 10、（2025 陕西西安高一期中）已知 O 是正方形 ABCD 的中心，与共线的向量有______（写出 2 个即可）。 学科网（北京）股份有限公司 $