精品解析：山东省日照实验高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025级高一上学期第二次阶段性考试 数学试题 2025.12.29 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.请在对应位置填写好姓名、考号、座号、班级等信息，用2B铅笔涂好考号，在粘贴框内粘贴好条形码. 2.将试卷所有答案都写到答题纸对应答题框内.超出答题框者答题无效. 3.考试结束后只上交答题纸. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知函数的反函数图象过点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ） 05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680 B. 585 C. 467 D. 15 6. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 总体中对平台一满意的消费人数约为36 B. 样本中对平台二满意的消费人数为300 C. 若样本中对平台三满意的消费人数为120，则 D. 样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54 8. 已知表示实数，，中的最小值，设函数，若的最大值为4，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 11. 设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______． 13. 已知，若A，B，C三点共线，则实数______________. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求当时，的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 已知幂函数的图象关于轴对称，函数． （1）判断在上的单调性并证明； （2）设函数，．若，，求的取值范围． 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期第二次阶段性考试 数学试题 2025.12.29 本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.请在对应位置填写好姓名、考号、座号、班级等信息，用2B铅笔涂好考号，在粘贴框内粘贴好条形码. 2.将试卷所有答案都写到答题纸对应答题框内.超出答题框者答题无效. 3.考试结束后只上交答题纸. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 2. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数以及幂函数的性质化简不等式，即可根据充分必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得， 由于不能得到，故充分性不成立，可以得到，故必要性成立， 因此“”是“”的必要不充分条件 故选：B 3. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为所以选C． 考点：比较大小 4. 已知函数的反函数图象过点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由反函数所过点求得的图象所过点，由此求得的值. 【详解】依题意函数的反函数图象过点， 所以的图象经过点， 所以，解得. 故选：D. 5. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ） 05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680 B. 585 C. 467 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】读取样本数据，即可根据百分位数的计算公式求解. 【详解】由题意可知：抽取的样本容量为8，故抽取的八个数据分别为：060,223,585,151,035,159,775,780,将其从小到大排列为035,060,151,159,223,585,775,780， ，故样本编号的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即， 故选：A 6. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【详解】连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为为中点， 所以. 故选：C 7. 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 总体中对平台一满意的消费人数约为36 B. 样本中对平台二满意的消费人数为300 C. 若样本中对平台三满意的消费人数为120，则 D. 样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样比例，由扇形统计图和条形统计图的数据求解. 【详解】样本中对平台一满意的人数为，故A错误； 总体中对平台二满意的人数约为，故B错误； 对平台三的满意率为，所以，故C错误； 样本中对平台一和平台二满意的总人数为，故D正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查分层抽样，扇形统计图和条形统计图的应用，还考查分析求解问题的能力，属于基础题. 8. 已知表示实数，，中的最小值，设函数，若的最大值为4，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三个函数均递增，结合定义判断选项C，D函数无最大值，不符合题意，再结合新定义和图象即得结果. 【详解】依题中定义，表示实数，，中的最小值，，其中和是递增函数，C，D中函数和也是递增的，故无最大值，不符合题意； A中，如图所示，函数，，的图象，最大值小于1，不符合题意； B中，如图所示，函数，，的图象， ，的最大值为4，符合题意. 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于理解函数新定义，每一段都取三个函数图象中最小部分，结合图象即突破难点. 二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解． 【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球； 对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确； 对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故错误； 对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故正确． 故选：． 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数的运算性质判断A，利用基本不等式结合指数的运算性质判断B，利用基本不等式中“1”的代换判断C，先对原式平方，再结合重要不等式与给定条件判断D即可. 【详解】因为，，，所以由基本不等式得， 当且仅当时取等，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由对数的运算性质得， 则的最大值为0，故A正确， 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，则的最小值为4，故B正确， 对于C，因为，所以， 则， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，得到， 则的最小值不为9，故C错误， 对于D，我们对进行平方， 得到， 由重要不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则， 故，得到， 而，，解得， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，再逐项判断. 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 由二次函数的对称性可得， 令或, 所以, 因为方程有四个实根，所以， 又，则， 即，则， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】利用方差的定义计算可得结论. 【详解】因为，又数据的标准差为3， 所以， 又， 所以 . 故答案为：. 13. 已知，若A，B，C三点共线，则实数______________. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用平面向量的共线定理求解即可. 【详解】由得,因为A，B，C三点共线,故. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了共线向量的性质运用,属于基础题型. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程的解转化为函数与函数的图象交点的横坐标之和，利用数形结合可得出结果. 【详解】方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标， 作出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称， 所以，方程的解之和为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【小问1详解】 ，即， ，解得． 【小问2详解】 ，， ， ，即，解得． 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求当时，的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合函数是上的奇函数，利用，即可求解； （2）根据函数的解析式，分、和，三种情况讨论，结合指数函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，当时，， 当时，，可得， 因为函数是上的奇函数，所以， 所以，即时，. 【小问2详解】 解：当时，不等式，可化为，所以，显然成立； 当时，是奇函数，此时成立； 当时，不等式可化为，所以，解得，所以， 综上可知，不等式的解集为. 17. 已知幂函数的图象关于轴对称，函数． （1）判断在上的单调性并证明； （2）设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】（1） 由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【答案】（1），平均成绩为77.5 （2） （3）首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率； （3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． 【小问3详解】 若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】（1） 当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2） （3） 存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． 【小问2详解】 由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $