数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高三上陕西商洛·月考)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,a,=7且S4=2S,+8. (I)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; 2设b,=+2,求数列b,的前n项和工. anantl 例2.(25-26高三上江苏镇江·月考)己知an}与{bn}为公差相同的等差数列，且a,+bn=4n,a,=b2. (1)求{an}与{bn}的通项公式： (2)设Sn为数列 1 的前n项和，求S22s· 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高二上~陕西宝鸡月考)记正项数列{a,的前项和为S,已知4=2，S,=+3训 2 (1)求数列an}的通项公式： (2)若数列 1 的前项的和T,求To及T表达式 an(a,-1) 例4.(25-26高二上四川达州月考)己知数列{an},若a,=2,且an1=3an+2 (I)证明数列an+1是等比数列，并求出{an}的通项公式： ②)若b,=na,+1 3” 且数列 1的前项的和为，求S, bb2) 2 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(2025-河北模拟预测)已知数列a,的首项a=2,且2a,-a,1=0. 2” (1)证明：数列 2” 是等差数列. ②令=-a,求数列b,}的前项和S. n+1 变式2.(2025·甘肃模拟预测)已知数列an}的前项和为Sn,a=3,2Sn=an+1-3. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=l0ga,+l0ga2+…+log;a,求数列 b 的前项和Tn 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(25-26高三上河南月考)已知数列{an}的前n项和S。=n2+2n (I)求{an}的通项公式： 1 (2)若首项为3的数列bn}满足b+1-bn=an1,求数列 b. 的前项和T 变式4.(25-26高三上广西桂林·月考)已知Sn是等差数列{an}的前项和，且a,+a,=44,S4=48. (1)求数列{an}的通项公式： ②若6=发，记数列么，的前项和为，证明，<君 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高三上吉林四平.月考)在数列{an}中，a,=1,na1=(n+1a,+1. (I)求{a}的通项公式： (②若6=号，求数列b,}的前项和S, 例2.(25-26高二上·浙江宁波月考)已知等差数列{an}的前项和为Sn,且满足a2+a=5,S,=15. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{(3n-1)2,}的前项和T. 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.2s26高二上陕西西交月考)已知数列a,的前顶和为S,且S-0,eN),数列么满是： b=a,b2=3,bn+bn+2=2bn1n∈N） (I)求数列{an}、{bn}的通项公式： (2)求数列{anb}的前n项和Tn 例4.(25-26高二上浏南邵阳月考)已知数列{a}的前项和为Sn,a=1,S1=2Sn+21 (1)证明数列 S, 2” 是等差数列，并求数列{an}的通项公式： (2)求数列{Sn}的前n项和； ⊙设&一子，若对红意正整锁，不等式A<心+8相成立，求实数m们取值范周 27 6 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(25-26高二上湖南月考)己知{an}是递增的等差数列，且a,=5,aa,=a (I)求{an}的通项公式； ②若么，=品，求数列，的前顾和工 变式2.(25-26高二上福建宁德月考)记数列an}的前n项和为Sn,已知an>0,4Sn=(an+1)2 (1)求{an}的通项公式： (2)若b,=an3,数列bn}的前n项和为Tn,求Tn; _9a,数列{c,}中的最大项是第k项，求正整数k的值 3)c.=T-1 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(2025广东江门-模拟预测)已知数列a,的前吸和为S,4=-川S.=2m0 (1)证明： 是等比数列 (2)求数列{Sn}的前项和。 (3)若≤an,求1的取值范围. 变式4.(25-26高三上安徽月考)已知正项数列{an}满足：a1=6,(2n+1)a1-2(2n+3)a日=(2n+5)aa1… (1)求证：数列 an 为等比数列： 2n+1 (2)求数列{an}的前项和Sn. 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(25-26高二上·云南玉溪·月考)若数列{an}的首项为1，且2an1-an=2 (1)求证：{an-2}是等比数列： (2)若bn=2n+1-an,求数列bn}的前n项和Sn 例2.(25-26高二上浙江宁波月考)已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为Sn,且满足2Sn=a+a,· (I)证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； 1,n为奇数 (2)若bn={anan+2 求数列{b,}的前2n项和T2n 3,n为偶数 9 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(2025·内蒙古赤峰模拟预测)记Sn为等差数列{an}的前n项和，己知a。=9,S,=51 (I)求{an}的通项公式； (2)求数列 nj 的前项和 例4.(25-26高二上·福建龙岩月考)己知数列an},41=1,a2=2,前项和为Sn, 1 (I)若{an}是等差数列，求数列 的前项和工n: aran) n,n为奇数 (2)若an= 2,n为偶数neN),求S: o数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高三上陕西商洛月考)已知等差数列a,的前n项和为S,4=7且S,=2S,+8 ()求数列，的通项公式及前n项和S,: n=- 1+2” (2)设 a,a1，求数列b,}的前n项和7. 【答案】0)2，=2n+1S=nm+2) (2)T= g+2-2. a+2d=7 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,由a,=7及S4=2S2+8,得4a+6d=2(2a+d)+8, 解得d=2,a=3,所以数列a,的通项公式为0，=4+m-d=2m+1, 前n项和S,=a十a）=n+2. 2 1 +2”=611 (2)由(1)得 g2*0a++2-22m12本+2 所以五-热+t%0g}r写3123242t2 11 21-2=n一+21-2 232n+31-26n+9 例2.(25-26高三上江苏镇江月考)已知a与6，为公差相同的等差数列，且4，+6=4n,4=b 山)求a与b,的通项公式： 1 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 1 (2)设S,为数列a,b的前n项和，求Ss· 【答案】00，=21+16，=2n-1 2025 (2)4051 【详解】(1)设4=x,则 =4-xb2=xa2=8-x 由题意可得%-a=8-2x=6-么=2x-4 解得=3 则@的首项为3，公差为2，(b,的首项为1，公差为2， 故0，=3+2n-l=2m+1,么，=1+2n-1=2n-1 (2)由)得，b,=(2n+(2m-,neN 款站7s2可 1 -g…+a1]0ad 1)_2025 例3.(25-26高二上陕西宝鸡月考)记正项数列a,的前n项和为S,已知4=2.S,-”+3 2 ()求数列a 的通项公式： 1 (2)若数列a,a,-1的前n项的和工，求T。及T,表达式 【答案】()，=n+l,n∈N 2)7=” 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【详解】1)因为 2,所以当≥2时3 _n2+n-2 2, 两式作差得a,=8S1”8.-2=nH, 2 2 ,符合上式，故.=n+l,neN 又4=2 1 111 (2)由(1)得，a(an-lnn+1nn+1, 故7=1-++11 =1-1n 2+23++nn+1n+1+1: 妆五0日 例4.(25-26高二上四川达州月考》已知数列a,若4=2，且4=3a,+2 )证明数列a,+是等比数列，并求出a,的通项公式： 2)若6、g+1) 11 3”一，且数列b,b+2了的前n项的和为S。,求Sn 【答案】()证明见解析，a,=3”-1 32n+3 25-手2n+n+2 【详解】(1)因为21=3a,+2 所以4+1=3到a,+,又4=2，所以4+1=3， 所以Q,+川是以3为首项、3为公比的等比数列， 所以0，+1=3” 则03”-1 2由0可阿-，期42 3” 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 -1(11111111〉 S.= +…+ 故°n2132435.Tnn+2 +12)2 2n+3 2n+1n+242(n+1)(n+2. 变式1.(2025河北模拟预测)已知数列1a的首项4=2，且2a,-01=g- 2n 2" (I)证明：数列an」是等差数列. 2s。-0-g n+1,求数列b,}的前n项和S. 【答案】(1)证明见解析： 2m+1 -2 (2)(n+1 【详解】(1)因为2a.-a=0, 2”，a=2,所以a≠0， 2a,-am1=020u 21.1 2”,两边同时除以a,01可得：aa。2”, 22”=1 两边再同时乘以2"可得：a1a,, 2" 又a,，所以数列an是首项为1公差为1的等差数列. 2" (2)由(1)可得：an =1+n-=n,则a. n, 品2 所8=肉+68子g登+…2 ++07i+12 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2。(2025甘肃模拟预测)已知数列4的前”项和为5,4=3,2S,=0-3 ()求数列a,的通项公式： 1 (2)设b=log,a+log,42+…+log,a,求数列b的前n项和T. 【答案】（①，=3” 2n 2n+1 【详解】1D由2，=0-3，得25=a,-3 ,得 相减可得2=a:-a,故：=30 当”=1时，20=0，-3 又93 ，所以83% 解得9 因此对任意的neN°，都有a+1=3a, 故a,为等比数列，且公比为3， 故0，=3x3=30 (2),=1og,a+log,4++l0g,0.=1+2+3++n=nn+l 2. 1 *-》日。 1 2n 所以数列b的前n项和为n+: 变式3。(25-26高三上河南月考)已知数列a,的前”项和3，=心+2n 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 求a,的通项公式： 1 (2)若首项为3的数列{b.}满足b1-b,=a1’求数列b,∫的前n项和T 【答案】(00，=2n+1 3 2n+3 (2)42(n+1(n+2 【详解】(1)由题意可得3=+2n,当”=l时，4=S=3, 当n≥2时，a,=S。-S1=m2+2n-(n-1)2-2(n-1=2n+1 因为4=3满足上式，所以Q,的通项公式为”.=2n+1: (2)因为-b=a=2n+3 =3 ,且 所以当n≥2时，b,=么+b-6)+6-b,)++(6,-b=a+a+a++a,=Sn=n2+2n 当1=1时，么=3也符合上式，所以么=+2切 所以b,n×n+22nn+2, 所-0-传传-品日】 +1-11）3 +2n+22m+*2. 2n+3 变式4.(25-26高三上广西桂林月考)已知5，是等差数列a,的前”项和，且4+a,=44,S,=48 ①求数列a的通项公式 (2)若 b3,记数列b的前n项和为，证明？、习 8 6 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【答案】(02，=4n+2 (2)证明见解析 【详解】(1)设等差数列a,的首项为“，公差为d, a3+a7=2a,+8d=44 由题意得S4=4a1+6d=48，解得：a=6,d=4, 所以0，=6+(n-1×4=4n+2 2)由1)得S6m+”×4=2m2+4n=2mn+2 2 所对a报动 .Tn=b+b2+b3…+bn-+bn -gg…品日2】 北时)8. 2n+3 >032n+3 3 因为n∈N°，所以4(n+1(n+2,所以84n+1(n+28, 所以 > 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高三上吉林四平月考)在数列a,中，4=山m01=(m+)0,+1 (①)求a,的通项公式： (②若，导，求数列6的前n项和5 【答案】（①）0，=2n-1 (2)Sn=1-n+1 3· 【详解】(1)因为ma1=(n+a,+1 a4=+1=4+n0u+10+1 所以n+1nn(n+）nnn+1,即n+l=n, a+1 所以数列”}为常数列， 又 41+1 1 2,所以8-2，所以4=2n- n 2n-1 (2)由(1)得b= 3”, 1,3,5,7,,2n-3,2n-1 3+家++++ 31+、 3”, 1 1 13,5,7 两边同乘以3，得3S3+3十335++3+2h 3 3+1, 2 12,2.2..22n-1 两式相减，得5，了+多+++… 3”3*1 111 ,+2×323”3_2n-1_22n+2 1 3H33H, 3 所以S,=1-n+1 3” 例2.(25-26高二上渐江宁被月考)已知等差数列a的前”项和为，且满足4，+4=58，=15 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (I)求数列a, 的通项公式； 2求数列3-12}的前n项和又. 【答案】()2，=n 27=8+(3n-4到-2 a+d)+(a,+2d)=5 a=1 【详解】(1)由题意得]5a+10d=15 解得d=1, :a,=a+(n-l刂d=n (2)(3n-12=(3m-1x2 Tm=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1×2 2T=2×22+5×23+…+(3n-4)×2”+(3n-1)×2m 两式相减得7=4-(3m-小×2+3×22+2+2°++2】 22×1-2-） =4-(3n-1×2+3 1-2 =-8-(3n-4×2m Tn=8+(3n-4·2m 例3.(2526商二上陕西西安月考》已如数列口的前项和方，且=0，片eN,数列6满足： b=a,b=3bn+bn+2=2b1n∈N） )求数列a~b的通项公式： 2求数列a,b的前”项和。 9 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【答案】①4，=3,6=2m-1 22=n-10-3”+1 【解】数列Q的前，项和为8：阳EN,三- 3 3 当n22时，a.=5,--20,-0, 31 则a,=3a,1’而当n=1时，4=S=242,所以a=1≠0， 所以0，是首项为1，公比为3的等比数列，则4，=3： 数列b,中，m∈N,6+b:=2h,则数列b,是等差数列， 而4=4=16-3 所以公差=6-6=2，则么=2n-1, 所以数列a~b的通项公式分别是：4，=3”，么.=2m-1 (2)由(1)可得，b,=(2n-1-3” 则2=l+3x3'+5x32++2n-1×3 则有37=1x3+3×3+5×3++(2n-3到×3+2n-1x3” 两式相减得：-27，=1+2×3+2×32++2×3-(2n-1×3”=1+2 31-31-2m--3=-2-2n-0-3, 1-3 从而得7=n-)-3”+1 所以数列a6,的前”项和。=--3”+1 例4.(25-26高二上湖南邵阳月考)已知数列a的前”项和为S,4,5=25,+2 (①)证明数列2”了是等差数列，并求数列a,}的通项公式： ②求数列S的前n项和： ⊙