第十二讲 二次函数课件 2026年中考数学考点研究基础复习

该初中数学课件聚焦二次函数中考核心考点，覆盖概念、图象性质、平移、与方程不等式关系及实际应用，对接中考说明分析考点权重，归纳顶点式转化、最值求解、利润问题等常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”模式，精选2024-2025年包头、威海等中考真题，通过例1一题多设问示范顶点式转化与性质综合应用，培养学生抽象能力和模型意识。提供“满分技法”如对称轴求法，助力学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

第十二讲 二次函数 第1课时 二次函数的图象与性质 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.二次函数的概念及其表达式 (1)二次函数的概念:形如_(a,b,c是常数,a≠0)的函数. (2)二次函数的表达式: ①一般式:_. ②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是_. ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c(a≠0) (h,k) 1.(1)下列函数表达式中,一定为二次函数的是( ) A.y=2x-5 B.y=ax2+bx+c C.h= D.y=x2+ (2)已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式 是( ) A.y=-3(x+1)2-2 B.y=3(x+1)2-2 C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2 (3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是_. 对点练习 C C 2 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 (1)当a>0时: ①开口方向:向上. ②顶点坐标:. ③对称轴:直线_. ④增减性:当x<-时,y随x的增大而_; 当x>-时,y随x的增大而_. ⑤最值:当x=-时,y最小值=_. 知识要点 x=- 减小 增大 (2)当a<0时: ①开口方向:向下. ②顶点坐标:. ③对称轴:直线_. ④增减性:当x<-时,y随x的增大而_; 当x>-时,y随x的增大而_. ⑤最值:当x=-时,y最大值=_. x=- 增大 减小 2.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为x=,且经过 点(-1,0).下列结论: ①3a+b=0;②若点(,y1),(3,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2;③10b-3c=0;④若y≤c, 则0≤x≤3.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 对点练习 C (2)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 D 3.二次函数图象的平移 知识要点 平移前的 解析式 移动方向 (m,n>0) 平移后的 解析式 规律 y=a(x- h)2 +k 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x_右减 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k 向上平移n个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整 体上加_ 向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n 左加 下减 3.(1)将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的 抛物线必定经过( ) A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3) (2)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛 物线的解析式为_. 对点练习 B y=2x2+4x 4.二次函数与 方程、不等式 的关系 知识要点 4.(1)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,由图象可知不等 式ax2+bx+c<0的解集是( ) A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1 D.x<-1或x>5 对点练习 D (2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+ c+m=0(m>0)有两个整数根,其中一个根是3,则另一个根是( ) A.-5 B.-3 C.-1 D.3 A 典型例题 研析 考点1二次函数的图象和性质 【一题多设问】 例1 已知抛物线y=-x2+x+3. (1)化为顶点式:将y=-x2+x+3化为顶点式. 【解析】y=-x2+x+3=-(x2-4x)+3 =-(x2-4x+4-4)+3=-(x-2)2+4. (2)二次函数的性质:抛物线y=-x2+x+3的开口方向为_,对称轴为 _;顶点坐标为_.当x=_时,y有最_值为 _;若y随x的增大而增大,则x的取值范围是_. 向下 直线x=2 (2,4) 2 大 4 x<2 (3)求抛物线与坐标轴围成的几何图形的面积: 设抛物线y=-x2+x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点为D.求四边形ABDC的面积. 【解析】令y=0,则-x2+x+3=0,解得x1=-2,x2=6, ∴y=-x2+x+3与x轴的交点为A(-2,0),B(6,0).令x=0,则y=3. ∴y=-x2+x+3与y轴的交点为C(0,3).由y=-x2+x+3=-(x-2)2+4可知顶点为D(2,4). 如图,过点D作DE⊥x轴于点E. 则S四边形ABDC=S AOC+S四边形OCDE+S DEB= 2 3+ (3+4) 2+ 4 4=18. (4)求平移变换后的二次函数解析式: 将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位,求所得新的抛物线的解析式. 【解析】由y=-x2+x+3=-(x-2)2+4, 将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位,则y=-(x-2+1)2+4-3=-(x-1)2+1=-x2+x+. ∴所得新的抛物线的解析式为y=-x2+x+. (5)比较函数值的大小:若抛物线y=-x2+x+3上有A(-1,y1),B(3,y2),C(4,y3)三点,试比较y1,y2,y3的大小. 【解析】抛物线对称轴为直线x=2. ∵A(-1,y1),∴A点关于x=2的对称点A'(5,y1), ∵a=-<0,∴在x=2的右边y随x的增大而减小, ∵A'(5,y1),B(3,y2),C(4,y3),5>4>3,∴y1<y3<y2. (6)求某段自变量取值范围内的最值:对于抛物线y=-x2+x+3,当0≤x≤8时,求y的最大值和最小值. 【解析】∵抛物线y=-x2+x+3的开口向下,且对称轴为直线x=2, ∴当x<2时,y随x的增大而增大. 当x>2时,y随x的增大而减小. 结合问题(3)中的函数图象,得当x=2时,y取最大值为4,当x=8时,y取最小值,最小值为y=- 82+8+3=-5. (7)求不等式的解集:请直接写出-x2+x+3<0的解集_. (8)由二次函数与x轴的交点个数求参数的取值范围: 若抛物线y=-x2+x+3解析式改为y=(m-)x2+x+3,且抛物线y=(m-)x2+x+3与x轴 有交点,则m的取值范围是_. 变式1 若抛物线y=-x2+x+3解析式改为“若函数y=(m-)x2+x+3与x轴有交点”, 则m的取值范围是_. x<-2或x>6 m≤且m≠ m≤ 满分技法 1.将二次函数一般式化为顶点式的一般步骤 (1)一提:将二次项系数化为1,方法是含未知数的项提取二次项的系数. (2)二配:将含有x的项配成完全平方式,即加一次项系数一半的平方. (3)三化:化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式. 2.求抛物线的对称轴的两种方法 (1)直接运用公式x=-求解. (2)利用x=(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解. 特别提醒:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c的关系是互逆的.即由字母的符号能确定图象的特征,反之,由图象特征也能确定字母的符号. 3.求顶点坐标的三种方法 (1)直接运用顶点坐标公式(-,)求解. (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为(h,k). (3)将对称轴x=x0代入函数解析式求得对应的y0. 4.利用二次函数图象解一元二次不等式的方法 (1)准确画出函数图象,求出抛物线与x轴的交点坐标. (2)观察图象在x轴上方部分对应的x的取值范围即为不等式ax2+bx+c>0的解集;图象在x轴下方部分对应的x的取值范围即为不等式ax2+bx+c<0的解集. 特别提醒:若函数没有明确函数类型,注意要分类讨论. 考点2二次函数图象与系数的关系 例2 (2025 泸州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与y轴的 交点位于x轴下方,且x=-1时,y>0,下列结论正确的是( ) A.2a=b B.b2-4ac<0 C.a-2b+4c<0 D.8a+c>0 D 变式2-1 (2025 安徽中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, 则( ) A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 C 变式2-2 (2025 遂宁中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0) 的对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0),与y轴交点坐标是 (0,m)且2<m<3.有下列结论:①abc<0;②9a-3b+c>0;③<y最大值<;④关于x的一元 二次方程ax2+(b-1)x+c-2=0必有两个不相等实根.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 考点3确定二次函数解析式 例3 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).求该二次函数的解析式. 【解析】把点A(3,1),点B(0,4)代入y=-x2+bx+c中得 解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+4. 变式3 (2025 广东中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原 点,则该二次函数的表达式可以是_.(写出一个即可) y=-x2+x+2(答案不唯一) 中考真题 体验 1.(2024 包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点 式为( ) A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 2.(2025 威海中考)已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上, 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 A C 3.(2025 达州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),下 列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 4.(2025 凉山州中考)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,其对称轴为x= 2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是( ) A.bc>0 B.4a+b=0 C.若+bx1=+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4 D.若(-1,y1),(3,y2)两点都在y=ax2+bx+c的图象上,则y2<y1 D 5.(多选题)(2023 湘潭中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 (3,0),则下列结论中正确的是( ) A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac<0 D.9a+3b+c=0 6.(2024 苏州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,m),B(1,-m), C(2,n), D(3,-m),其中m,n为常数,则的值为_. BD - 7.(2025 连云港中考)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围; (2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值; (3)求证:该二次函数的图象不经过原点. 【解析】(1)∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中,1>0, ∴二次函数的图象开口向上, ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,∴函数的最小值小于2a2, 则=2a2-4a+2, 即2a2-4a+2<2a2,解得a>; (2)∵二次函数的图象与x轴有交点, ∴ =4(a+1)2-4 1 (3a2-2a+3) =-8a2+16a-8=-8(a-1)2≥0, ∴8(a-1)2≤0, 又∵8(a-1)2≥0, ∴8(a-1)2=0,解得a=1; (3)∵当x=0时,y=3a2-2a+3=3(a-)2+>0, ∴二次函数的图象不经过原点. 本课结束 第2课时 二次函数的实际应用 典型例题 研析 中考真题 体验 典型例题 研析 考点1 应用二次函数解决抛物线形实际问题 类型1 隧道和拱桥问题 例1 (2025 新疆中考)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式; (2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米,高3.5米的两辆车并排行驶,能否安全通过?请说明理由. 【解析】(1)由题意得,顶点为(,8),即(6,8), 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0),代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0, 解得a=-,∴抛物线解析式为y=-(x-6)2+8(0≤x≤12); (2)能安全通过.理由如下:如图, 由题意得:xA=-3=2,将x=2代入y=-(x-6)2+8, 则y=- (2-6)2+8=, ∵-3.5=>0.5,∴能安全通过. 类型2 运动轨迹问题 例2 (2025 山西中考)综合与实践 问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点的距离为160 cm. 数学建模:如图,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系. (1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数解析式. 问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变. (2)如图1,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长. (3)实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm,才能安全通过.如图2,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90 ,AB=57 cm,BC=40 cm,CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内). 【解析】(1)由题意得,抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60, ∴顶点坐标为(80,60), 设抛物线的函数解析式为y=a(x-80)2+60, ∵图象过原点, ∴a(0-80)2+60=0,解得a=-, ∴y=-(x-80)2+60; (2)∵抛物线的形状不变,点P的坐标为(0,75), 故第二次的函数图象可以看作是由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的, ∴新的抛物线的解析式为y=-(x-80)2+60+75=-(x-80)2+135, 当y=0时,-(x-80)2+135=0, 解得x1=200,x2=-40(舍去), 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm; (3)设该平台的高度为k cm,由题意,设新的函数解析式为y=-(x-80)2+60+k, 由题可知A(80,57),B(80,0),C(120,0),D(120,48), 设线段AD的解析式为y=mx+n,根据题意得 ,解得, ∴线段AD的解析式为y=-x+75(80≤x≤120), 设线段AD上的点与新的抛物线上的点的竖直距离为h, 则h=-(x-80)2+60+k-(-x+75)=-x2+x+k-75, ∵-<0,对称轴为直线x=92,80≤x≤120, 又∵120-92>92-80, ∴当x=120时,h有最小值,且最小值为3, ∴- 1202+ 120+k-75=3, 解得k=6,故该平台的高度为6 cm. 名师点金 此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点,抛出点为抛物线中的c值,落地点为抛物线与x轴的交点,落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值. (1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上; (2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方; (3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y值小; (4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低. 考点2 利润最大化问题 类型1 顶点处取最值 例3 (2025 内江中考)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元. (2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个? (3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值. 【解析】(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元, 由题意得,解得, 答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元. (2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个, 由题意得,40(400-m)+20m≤12 000, 解得m≥200, ∴m的最小值为200, 答:至少需要购进B款纪念品200个. (3)由题意得,W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20 000-5a2+200a =-5(a-70)2+4 500, ∵-5<0,60≤a≤100, ∴当a-70=0,即a=70时,W的最大值为4 500. 类型2 不在顶点处取最值 例4 (2024 滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示: 电影票售价x(元/张) 40 50 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式; (2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式; (3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大?最大利润是多少? 【解析】(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b, 由题中表格可得,, 解得, 即y与x之间的函数关系式是 y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数); (2)由题意可得, w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000, 即w与x之间的函数关系式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80); (3)由(2)知:w=-4x2+324x-2 000= -4(x-)2+4 561, ∵30≤x≤80,且x是整数, ∴当x=40或41时,w取得最大值,此时w=4 560, 答:该影院将电影票售价x定为40元或41元时,每天获利最大,最大利润是4 560元. 类型3 在自变量不同取值范围内求最值 例5 (2023 南充中考)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2. (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示) (3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由. 【利润=(售价-成本) 产销数量-专利费】 【解析】(1)根据题意,得w1=(8-m)x-30(0≤x≤500). w2=(20-12)x-(80+0.01x2) =-0.01x2+8x-80(0≤x≤300). (2)∵8-m>0,∴w1随x的增大而增大,又0≤x≤500, ∴当x=500时,w1有最大值, 即w1最大=(-500m+3 970)元. ∵w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1 520. 又∵-0.01<0,对称轴x=400, ∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大, ∴当x=300时,w2最大=-0.01 (300-400)2+1 520=1 420(元). (3)①若w1最大=w2最大, 即-500m+3 970=1 420,解得m=5.1; ②若w1最大>w2最大, 即-500m+3 970>1 420,解得m<5.1; ③若w1最大<w2最大, 即-500m+3 970<1 420,解得m>5.1. 又4≤m≤6,综上可得,为获得最大日利润: 当m=5.1时,选择A,B产品产销均可; 当4≤m<5.1时,选择A种产品产销; 当5.1<m≤6时,选择B种产品产销. 答:当m=5.1时,工厂选择A或B产品产销日利润一样大;当4≤m<5.1时,工厂选择A产品产销日利润最大;当5.1<m≤6时,工厂选择B产品产销日利润最大. 名师点金 求二次函数的最值的两种方法 (1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标,即y=ax2+bx+c的最大值为(a<0)或最小值为(a>0); (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内,则函数在顶点处取得最大值或最小值;若顶点不在已知给定的自变量取值范围内,则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小,从而确定最值. 考点3几何图形面积问题 例6 (2024 湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形试验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围); (2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由; (3)当x的值是多少时,矩形试验田的面积S最大?最大面积是多少? 【解析】(1)∵2x+y=80, ∴y=-2x+80, ∵S=xy, ∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x; (2)能.∵y≤42, ∴-2x+80≤42, ∴x≥19, ∴19≤x<40, 当S=750时,-2x2+80x=750, x2-40x+375=0, (x-25)(x-15)=0, ∴x=25, ∴当x=25 m时,矩形试验田的面积S能达到750 m2; (3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)= -2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800, ∴当x=20时,S有最大值,最大值是800 m2. 变式6-1 (教材九上P52第6题)一块三角形材料如图所示,∠A=30 ,∠C =90 ,AB=12.用这块材料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CDEF的面积最大,点E应选在何处? 【解析】∵四边形CDEF是矩形, ∴∠AFE=90 ,∵∠A=30 ,∴EF=AE, 在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=12,∴BC=AB=6, 根据勾股定理得:AC==6, ∴CF=AC-AF=6-AE, ∴S矩形CDEF=CF EF=AE(6-AE)=-(AE-6)2+9, ∴当AE=6时,矩形CDEF的面积最大,即当点E为AB的中点时,矩形CDEF的面积最大. 变式6-2 在 ABCD中,已知∠A=60 ,BC=8,AB=6.P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于点E,连接CE,CP. (1)若AP=3时,试求出 PEC的PE边上的高; (2)当AP的长为多少时, CPE的面积最大,并求出面积的最大值. 【解析】(1)过点C作CH⊥AD于点H, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD=6,BC=AD=8,AB∥CD, ∴∠CDH=∠A=60 , ∵CH⊥AD,∴∠DCH=30 , ∴DH=CD=3,CH=DH=3, ∴S ABCD=8 3=24, ∵AP=3=PB, ∴S PBC=S ABCD=6, ∵∠A=60 ,PE⊥AB,∴∠AEP=30 , ∴AE=2AP=6,PE=3, ∴S APE= 3 3=, ∵DE=AD-AE=2, ∴S CDE= DE CH= 2 3=3, ∴S PEC=24-6-3=, ∴PE边上的高为:=7; (2)延长PE交CD的延长线于F, 设AP=x, CPE的面积为y, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=DC=6,AD=BC=8, ∵Rt APE,∠A=60 , ∴∠PEA=30 , ∴AE=2x,PE=x, ∵AB∥CD,PF⊥AB,∴PF⊥CD, 在Rt DEF中,∠DEF=∠PEA=30 ,DE=AD-AE=8-2x,∴DF=DE=4-x, ∴S CPE=PE CF, 即y= x (10-x)=-x2+5x, 配方得:y=-(x-5)2+(0≤x≤4), 当x=4时,y有最大值为12, 即AP的长为4时, CPE的面积最大,最大面积是12. 名师点金 在几何图形中建立函数关系的三种常用方法 (1)面积法:利用几何图形面积公式建立函数关系; (2)和差法:利用图形面积的和或差求图形的面积,从而建立函数关系; (3)勾股法:利用勾股定理建立函数关系. 特别提醒:注意自变量的取值范围,对于分段函数,要注意分类讨论思想的应用. 中考真题 体验 1.(2025 山东中考)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/ 天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000) 内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次 函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是( ) A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小 B.当x=2 000时,y有最大值 C.当y≥0.6时,x≥1 000 D.当y=0.4时,x=600 B 2.(2024 甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的 一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单 位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆 箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可 判定货车_完全停到车棚内(填“能”或“不能”). 能 3.(2025 南充中考)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题. 材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同 材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆; 租用B型客车,租车费用打八折 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车; 学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【解析】(1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人, 根据题意得:=, 解得x=60, 经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意, ∴x-15=60-15=45. 答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人; (2)设租用A型客车m辆, 则租用B型客车(10-m)辆, 根据题意得:60m+45(10-m)≥530, 解得m≥, 设本次研学活动学校的租车总费用为w元,则w=(3 200-50m)m+3 000 0.8(10-m)=-50m2+800m+24 000, ∵抛物线的对称轴为直线m=-=8, ∴m≤8时,w随着m的增大而增大, ∵m取正整数,且m≥, ∴当m=6时,w取得最小值,最小值为-50 62+800 6+24 000=27 000(元). 答:本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元. 本课结束 $