5.1.2弧度制 学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 第2课时　弧度制 预学案 【预学目标】（明确目标：1分钟） 1. 体会引入弧度制的必要性，记住弧度制的定义. 2. 知道角度制与弧度制的换算方法，能初步进行角度和弧度的换算. 3. 记住并能初步运用弧长公式和扇形面积公式. 【预学过程】（先通读、后针对性阅读教材人教A版必修第一册P172~P175,阅读预学材料，回答问题，完成知识点填空,并强化记忆,12分钟） 预学1: 角度制与弧度制 问题1:在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的? 【解析】1度角等于周角的. 问题2:在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 【解析】确定. 抽象概括:(1)角度制和弧度制 角度制 用　 　作为单位来度量角的单位制叫作角度制  弧度制 长度等于　 　的圆弧所对的　 　叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作　 　  (2)单位圆:半径为　　 的圆叫作单位圆.  (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是　 　.  (4)一般地,正角的弧度数是一个　 　 ,负角的弧度数是一个　 　,零角的弧度数是　　 .  【答案】（1）度，半径长，圆心角，弧度；（2）1；（3）|α|=；（4）正数，负数，0. 【学霸笔记】用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两个字可以省略不写,如2 rad的单位“rad”可省略不写,只写2. 预学2:角度制与弧度制的换算 问题:角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢? 【解析】利用1弧度角的定义进行换算,即利用1°= rad和1 rad=°进行弧度与角度的换算. 抽象概括:(1)角度与弧度的互化 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系（填表） 度 0° 1° 30° 60° 弧度 【答案】 度 0° 1° 30° 　45°　  60° 　90°　  弧度 　0　  预学3:扇形的弧长公式和面积公式 S为扇形的面积,l为扇形的弧长,r是扇形的半径. （1）若圆心角n用角度制表示,则弧长公式为 ;扇形的面积公式为 . （2）若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式为 ,即弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积;扇形的面积公式为 . 【答案】（1）弧长公式为l=S=； （2）弧长公式为l=r 【预学检测】（完成预学检测5分钟,核对、更正答案、小组讨论1分钟） 一星级★（必做题,约3--5分钟） 1.下列说法正确的是(　　). A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系 B.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应 C.用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,对应的角度也不同 D.-120°的弧度数是 【答案】B 2.将-1485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　). A.--8π　　 B.-8π C.-10π　 D.-10π 【解析】∵-1485°=-5×360°+315°, 又2π=360°, ∴315°=, ∴-1485°=-5×2π+=-10π. 【答案】D 3.下列表示中不正确的是 (　　) A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z} C.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z} D.终边在直线y=x上的角的集合是{α|α=+2kπ,k∈Z} 【解析】本题考查用弧度制表示终边相同的角的集合.终边在直线y=x上的角的集合应是{α|α=+kπ,k∈Z}. 【答案】D 4.若α=2kπ-3,k∈Z,则角α的终边所在象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】本题考查判断角的象限.由-π<-3<-,得-3的终边在第三象限,故α的终边也在第三象限. 【答案】C 5.-960°=　　　　rad.  【解析】-960°=-960×=- rad. 【答案】- 二星级★★（选做题,约2--3分钟） 6.已知一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则此扇形的弧长为 . 【解析】设扇形的弧长为l,∵72°=72×= rad, ∴l=|α|r=×20=8π cm. 【答案】8π cm. 7.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的　　　 　.  【解析】本题考查扇形的面积公式.由于S=lR,若l'=l,R'=R, 则S'=l'R'=×l×R=S. 【答案】 【预学反馈】（1分钟） 理解上还有疑惑的内容 解决方式： 自主学习□ 与同学交流讨论□ 询问老师□ 做错题目的题号 原因分析： 知识□ 方法□ 技能□ 题意理解□ 目标达成度 1.□ 2.□ 3.□ 其他 第五章 第2课时　弧度制 导学案 【导学目标】（1分钟） 1.了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式. 4.体会数学抽象的过程,加强问题探究与数学运算能力的培养. 【活动探究】（探究1用时8分钟,探究2用时8分钟,探究3用时9分钟） 探究1: 角度与弧度的换算 【例1】(1)将下列各角度化成弧度:①-2220°;②765°. (2)将下列各弧度化成角度:①-;②3. 【方法指导】角度化成弧度,要乘以;弧度化成角度,要乘以. 【解析】(1)①-2220°=-2220× rad=- rad; ②765°=765× rad= rad. (2)①-=-×°=-100°; ②3=×°=°. 【变式设问】针对例1中结果“rad”或“弧度”是否可以省略?“度”或“°”能否省略? 提示:用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”或“rad”可以省略.用“度”作为单位度量角时,“度”或“°”不能省略. 【针对训练1】将下列角度与弧度进行互化. (1)11°15';(2)-15°;(3)-. 【解析】(1)11°15'=°=×=. (2)-15°=-15×=-. (3)-=-×180°=-396°. 探究2:用弧度制表示终边相同的角 【例2】已知角α=-2018°. (1)将α改写成φ+2kπ(k∈Z,0≤φ<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)在区间[-2π,4π)上找出与α终边相同的角. 【方法指导】(1)可将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,根据β与α终边相同判断. (2)根据α终边相同的角的集合,令k取值求出满足条件的角. 【解析】(1)因为α=-2018°=-6×360°+142°,且142°=142×=, 所以α=-12π+,故α是第二象限角. (2)与α终边相同的角可表示为θ=2kπ+,k∈Z, 又-2π≤θ<4π,所以k=-1,0,1,将k的值分别代入θ=2kπ+,k∈Z, 得θ=-,,. 【针对训练2】已知α=1690°. (1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 【解析】(1)1690°=4×360°+250°=4×2π+. (2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+(k∈Z). 又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+<4π. 解得-<k<(k∈Z),∴k=-2,-1,0,1. ∴θ的值是-,-,,. 探究3:扇形的弧长、面积公式的应用 【例3】 如图,已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径为6. (1)求的长; (2)求图中阴影部分的面积. 【方法指导】(1)利用弧长公式时,首先将给定的圆心角转化为弧度,再进行计算;(2)弓形的面积可利用扇形的面积和三角形的面积来表示. 【解析】(1)∵α=120°= rad,R=6, ∴的长为l=×6=4π. (2)由(1)知,S扇形OAB=lR=×4π×6=12π, S△OAB=×6×6×=9, ∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9. 【变式设问】如果α=2弧度,弦长AB为4,如何求的长度? 提示:连接圆心与弦AB的中点,则弦心距、半弦长、半径构成一个直角三角形,半弦长为2,故半径长为.的长为2×=. 【针对训练3】(1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数. (2)如图所示,已知圆心角∠AOB=,半径OC与弦AB垂直,垂足为D,若CD=a,求的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积. 【解析】(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,依题意有 将①代入②,得r2-5r+4=0,解得r1=1,r2=4. 当r=1 cm时,l=8 cm,此时θ=8 rad>2π rad(舍去); 当r=4 cm时,l=2 cm,此时θ== rad. (2)设圆的半径为r,的长为l,连接AC,l=. 因为OA=OB,OC与弦AB垂直,所以∠AOC=,所以△AOC为等边三角形. 因为AD⊥OC,所以OD=CD,所以r=2CD=2a, 　所以l=·2a=,S扇形OACB=lr=, 又S△AOB=AB·OD=×2a×a=a2, 所以S弓形ACB=S扇形OACB-S△AOB=a2. 【方法归纳】（1分钟） 1.明确1弧度的含义,理解弧度作为角的一种新的度量单位的优越性. 2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形,具体变化时,可牢记公式:=,只要将已知数值填入相应位置,解出未知的数值,再添上相应的单位即可. 3.能熟练应用弧度制下的弧长公式和面积公式,同时注意它们与方程思想、函数思想等的结合. 4.引入弧度制后,就有两种度量角的单位制,这不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁,也使角与实数间建立了一一对应关系,为后面的学习奠定了基础. 【素养提升】（6分钟） 【案例】已知一块长为 cm,宽为1 cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻过第三面时,被一块小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.点A走过的轨迹如图所示. 问题1:所在圆的半径为多少?其圆心角为多少? 【解析】所在圆的半径为 cm,圆心角为. 问题2:求点A走过的路程. 【解析】所在圆的半径是2 cm,圆心角为;所在圆的半径是1 cm,圆心角是;所在圆的半径为 cm,圆心角为.所以点A走过的路程是三段弧长之和,即2×+1×+×=π cm. 问题3:求点A经过的弧所在的三个扇形的面积之和. 【解析】三段弧所在的扇形总面积是×2×π+×1×+××= cm2. 【课堂小结】（1分钟） 【课堂达标】（5分钟） 1.将56°15'化为弧度是(　　). A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】56°15'=56.25°=×=. 【答案】D 2.-的终边所在的象限是(　　). A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 【解析】-=-4π+,的终边落在第四象限. 【答案】D 3.将1935°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为　 .  【解析】因为1935°=5×360°+135°,所以1935°可以表示为10π+. 【答案】10π+ 4.已知扇形的周长是10 cm,面积为6 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是　　　　.  　【解析】本题考查扇形的周长与面积公式.设圆心角为α,半径为r,弧长为l,则,解得r=2,l=6或r=3,l=4,所以α==3或. 【答案】3或 【导学反馈】（1分钟） 疑惑点 第五章 第2课时　弧度制 固学案 【固学目标】（明确目标1分钟） 1.理解弧度制的意义,并能较熟练地进行角度和弧度的换算. 2.掌握并能较熟练地运用弧长公式和扇形面积公式. 3.通过训练，培养通过归纳整理获得新知识的能力,发展数学抽象和数学运算素养. 【固学试题】 一星级★基层巩固练习（必做题,约15--20分钟） 1.与角-终边相同的角是(　　). A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】与角-终边相同的角的集合为+2kπ,k∈,故选C. 【答案】C 2.(本题为多项选择题)与角终边相同的角是(　　). A. B.- C.2kπ-(k∈Z) D.2kπ-(k∈Z) E.(2k+1)π+(k∈Z) 【解析】A错,=2π+,与角终边相同;B,C对,2kπ-,k∈Z,当k=2时,得[0,2π)之间的角为,与有相同的终边;D错,2kπ-,k∈Z,当k=1时,得[0,2π)之间的角为,故与有相同的终边;E错,(2k+1)π+,k∈Z,当k=0时,得[0,2π)之间的角为. 【答案】BC 3. 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=,则劣弧AB的长为(　　). A. B. C. D.2π 　　【解析】 如图,连接OA,OB.因为∠ACB=,所以∠AOB=,所以△AOB为等边三角形,故圆O的半径r=AB=4,劣弧AB的长为×r=. 【答案】B 4.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(　　). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】∵-π<-2<-,∴2π-π<2π-2<2π-,即π<2π-2<π, ∴2π-2为第三象限角,∴α为第三象限角. 【答案】C 5.下列转化结果错误的是(　　). A.60°化成弧度是 B.-化成度是-600° C.化成度是15° D.-150°化成弧度是- 【解析】A正确,60°=60×=;B正确,-=-×180°=-600°;C正确,=×180°=15°;D错误,-150°=-150×=-π. 【答案】D 6.-135°化为弧度为　　　　,化为角度为　　　　.  【解析】-135°=-135×=-,=×180°=660°. 【答案】-　660° 7.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 【解析】如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-, 而75°=75×=, ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 8.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,依逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ (0<θ<π),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ. 【解析】本题考查弧度制的应用. 因为0<θ<π,且2kπ+π<2θ<2kπ+(k∈Z),则必有k=0,于是<θ<, 又14θ=2nπ(n∈Z),所以θ=,n∈Z,从而<<,即<n<,所以n=4或5,故θ=或. 二星级★★素养提升练习（选做题,约6--9分钟） 9. 已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,点P沿着直线l向右运动、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到如图所示的点Q时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是(　　). A.S1=S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2 【解析】直线l与圆O相切,则OA⊥AP, ∴S扇形AOQ=·R=·OA, ∴S△AOP=·AP·OA. ∵弧AQ的长与线段AP的长相等,故S扇形AOQ=S△AOP, ∴S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,∴S1=S2. 【答案】A 10.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(　　)平方米.(其中π=3,=1.73) A.15　　　　B.16　　　　C.17　　　　D.18 【解析】因为圆心角为,弦长为40 m,所以圆心到弦的距离为20,半径为40, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20+20×20)=400+200, 实际面积等于扇形面积减去三角形面积, 为××402-×20×40=-400, 因此两者之差为-400-(400+200)=16,选B. 【答案】B 11.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　.  【解析】设正方形的边长为a,∠EAD=α, 由已知可得a2-πa2=αa2,∴α=2-. 【答案】2- 三星级★★★培优练习（选做题,约4--6分钟） 12. 近年来,随着我市经济的快速发展,政府对民生也越来越关注.市区现有一块近似正三角形土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场,即扇形DBE,DAG和ECF,其中,与分别相切于点D,E,且与无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪.设BD长为x(单位:百米),草坪面积为S(单位:平方百米). (1)试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积,并写出x的取值范围; (2)当x为何值时,草坪面积最大?并求出最大面积. 【解析】(1)如图,BD=x,则BE=x,AD=AG=EC=FC=2-x , 在扇形DBE中,弧长DE为x, ∴S扇形BDE=×x2=x2, 同理,S扇形ADG=×(2-x)2=(2-x)2. ∵弧DG与弧EF无重叠,∴CF+AG≤AC,即2-x+2-x≤2,则x≥1. 又三个扇形都在三角形内部,则x≤,∴x∈[1,]. (2)∵S△ABC=, ∴S阴影=S△ABC-S扇形BDE-S扇形ADG-S扇形CEF =-[x2+2(2-x)2] =-, ∴当x=∈[1,]时,S阴影取得最大值,最大值为-. 故当BD长为百米时,草坪面积最大,最大值为平方百米. 学科网（北京）股份有限公司 $$