5.1.1 任意角 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心知识，涵盖角的旋转定义、正/负/零角分类、象限角及终边相同的角等内容，通过“必备知识自主导学+关键能力师生共研”模式，衔接初中角概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和数学运算素养为导向，设“明辨是非”辨析易错点，典例结合即学即练，总结升华提炼终边相同角表示、区间角步骤等方法。学生能深化概念理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 内容概览 【学习目标】 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.(数学抽象) 2.了解象限角的概念.(数学抽象) 3.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的角.(数学抽象、数学运算) 01 必备知识•自主导学 一、任意角 1.角的旋转定义:角可以看成一条射线绕着它的_____旋转所成的图形. 2.角的分类: 分类 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角 零角 一条射线_____做任何旋转形成的角 端点 逆时针 顺时针 没有 二、角的加、减法 1.若两角的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称____. 2.设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是____. 3.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转_________所成的两个角叫做 互为相反角,角α的相反角记为___,α-β=α+____. α=β α+β 相同的量 -α (-β) 三、象限角和终边相同的角 1.象限角 条件:在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,角的始边与__轴的非负半 轴重合; 结论:角的_____在第几象限,这个角就是第几象限角.角的终边在_________, 就认为这个角_______任何一个象限. 终边 坐标轴上 不属于 x 【点拨】 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=___________________, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} {β|β=α+k·360°,k∈Z} 【思考】 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗? 提示:在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的变化规律,从而利用任意角、直角坐标系刻画周期性的变化现象. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限角都是锐角.( ) 提示:第一象限角不一定是锐角,如390°. (2)相等的角的终边相同,终边相同的角相等.( ) 提示:相等的角的终边相同,终边相同的角不一定相等,可能相差360°. (3)第二象限角一定大于第一象限角.( ) 提示:第二象限角不一定大于第一象限角,如第二象限角120°,第一象限角390°. (4)第二象限角是钝角.( ) 提示:460°是第二象限角,但不是钝角,故错误. × × × × 02 关键能力•师生共研 类型1任意角与终边相同的角(数学抽象) 【典例1】(1)已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下 面关系正确的是(　　) A.A=B=C B.A⊆C C.A∩C=B D.B∪C⊆C 【解析】选D.第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;锐角可表示 为0°<β<90°,小于90°的角可表示为γ<90°;由三者之间的关系可知,D正确. (2)下面与-850°12'终边相同的角是(　　) A.230°12' B.229°48' C.129°48' D.130°12' 【解析】选B.与-850°12'终边相同的角可表示为α=-850°12'+k·360°(k∈Z), 当k=3时,α=-850°12'+1 080°=229°48'. 【总结升华】 1.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可. 2.终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式; (2)终边相同的角的差是360°的整数倍. 【即学即练】 已知角α=2 025°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<360°; (3)求与α终边相同的最大负角与最小正角. 【解析】(1)由2 025°除以360°,得商为5,余数为225°,所以取k=5,β=225°, 则α=5×360°+225°. 又β=225°是第三象限角,所以α为第三象限角. (2)与角2 025°终边相同的角为k·360°+2 025°,k∈Z.令-360°≤k·360°+2 025°<360°,k∈Z, 所以k可取-6,-5,得角θ为-135°,225°. (3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-135°,最小正角是225°. 类型2终边在一条直线上的角(数学抽象、数学运算) 【典例2】写出终边在直线y=-x上的角的集合. 【解析】设终边在直线y=-x上的角的集合为S, 则S={α|α=k1·360°-60°,k1∈Z}∪{α|α=k2·360°+120°,k2∈Z} ={α|α=k1·360°-60°,k1∈Z}∪{α|α=k2·360°+180°-60°} ={α|α=2k1·180°-60°,k1∈Z}∪{α|α=(2k2+1)·180°-60°} ={α|α=n·180°-60°,n∈Z}. 【总结升华】 表示终边在一条直线上的角的方法 (1)终边在一条直线上的角的集合是由终边分别在以原点为端点,构成直线的两条射线上的角的集合的并集; (2)终边在一条直线上的角的差为k·180°,k∈Z,一般是选取终边在这条直线上的一个锐角,再加上k·180°,k∈Z即可. 【即学即练】 写出终边在如图所示直线上的角的集合. 【解析】(1)由题图易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个, 即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为 S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z} ={β|β=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}. (2)同理可得终边在直线y=x上的角的集合为 {β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}, 终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z} ={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}={β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}, 所以终边在直线y=x上和在直线y=-x上的角的集合为 S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z} ={β|β=45°+n·90°,n∈Z}. 类型3象限角与区域角(数学抽象、数学运算) 角度1　象限角 【典例3】(易错·对对碰) 若α=k·360°+24°,k∈Z. (1)则2α是第　　　　象限角;  (2)则是第　　　　象限角.  【解析】(1)由α=k·360°+24°得:2α=2k·360°+48°(k∈Z),所以2α为第一象限角. (2)由α=k·360°+24°得:=+12°(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,=n·360°+12°(n∈Z), 则为第一象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时,=n·360°+192°(n∈Z), 则为第三象限角. 答案:(1)一　(2)一或三 角度2　区域角的表示 【典例4】(1)如图终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　) A.{α|k·360°+30°<α<k·360°+45°,k∈Z} B.{α|k·180°+150°<α<k·180°+225°,k∈Z} C.{α|k·360°+150°<α<k·360°+225°,k∈Z} D.{α|k·360°+30°<α<k·180°+45°,k∈Z} 【解析】选C.在0°~360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°, 所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 {α|k·360°+150°<α<k·360°+225°,k∈Z}. (2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角β的取值范围. 【解析】阴影在x轴上方部分的角的集合为: A={β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}. 阴影在x轴下方部分的角的集合为: B={β|k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z}. 所以阴影部分角β的取值范围是A∪B, 即{β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z), 其中B可以化为:{β|k·360°+180°+60°≤β≤k·360°+180°+105°,k∈Z}. 即{β|(2k+1)×180°+60°≤β≤(2k+1)×180°+105°,k∈Z}. 集合A可以化为{β|2k×180°+60°≤β≤2k×180°+105°,k∈Z}. 故A∪B可化为{β|n·180°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z}. 【总结升华】 1.表示区间角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°; 第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合. 2.分角所在象限的判断 不等式法判断的象限:列出关于角的不等式,然后分类讨论每种可能出现的情况即可. 【即学即练】 1.(多选)(2024·抚州高一检测)已知角α的终边在第一象限,那么角的终边可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选AC.因为角α的终边在第一象限, 所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z, 所以k·180°<<k·180°+45°,k∈Z. 当k=0时,0°<<45°,则终边在第一象限; 当k=1时,180°<<225°,则终边在第三象限. 所以角的终边可能在第一象限或第三象限. 2.(2025·扬州高一检测)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合 是　　　　　　　　.  【解析】因为终边落在y轴上的角为90°+n·180°,n∈Z, 终边落在图中直线上的角为120°+k·360°=120°+2k·180°,k∈Z; 300°+k·360°=120°+180°+2k·180° =120°+(2k+1)·180°,k∈Z, 即终边在直线上的角为120°+n·180°,n∈Z, 所以终边落在阴影部分的角为90°+n·180°≤α≤120°+n·180°,n∈Z. 答案:{α|90°+n·180°≤α≤120°+n·180°,n∈Z} $