5.1.1 任意角 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 引 入 引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性. 例如： 地球自转 地球与太阳公转 月亮圆缺 潮汐变化 引 入 引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性. 例如： 地球自转 地球与太阳公转 月亮圆缺 潮汐变化 圆周运动是一种常见性的周期性变化现象 所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围. 如何刻画圆周上一点P的位置变化？ 借助角 5.1.1任意角 第五章 三角函数 那些年，我们一起学过的角是如何定义的？ 引 入 问题1：初中对角的定义是什么呢？ [答案]　0°<α<360° 生活中的角度都是在这个范围内吗？ [答案]　（静态定义）具有公共顶点的两条射线组成的图形 问题2：初中学习过的角有哪些？ 问题3：角的范围是多少？ [答案] 锐角 直角 钝角 平角 周角 引 入 实例1:2020东京奥运会双人10米跳水最后一跳陈芋汐/张家齐做了5253B（向后翻腾两周半转体一周半屈体），两人正常发挥完成动作，拿到84.48分，总分363.78分，她们成功夺取冠军。 她们转体多少度？ 问题4：在现实生活中有没有不在 范围内的角？ 一圈是360度，三圈就是 360×2=720度，半圈就是180度。 所以三圈半是720+180=900度。一圈半是360+180=540度。 跳水动作的空中姿势可分直体（用“A”表示）、屈体（用“B"表示）、抱膝（用“C"表示）、翻腾兼转体的任意姿势（用“D"表示）4种。 引 入 实例2:时钟从12：00到14：00，分针转过了多少度？ 实例3:齿轮旋转形成的角 探究新知 发现：角是由“旋转”而来！ 实例1：向后翻腾两周半、转体一周半屈体这样的动作，这里的旋转量都比360°（一周）大，表明角具有任意性. 实例2、3：顺时针、逆时针表明角具有方向性. 因此，需要对角的概念进行推广. 探究新知 始边 终边 顶点 B o A 点O 叫做角α的顶点， 射线OA叫做角α的始边， 射线OB叫做角α的终边. ①定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． α 问题5：用旋转来描述角，需要考虑什么？ 旋转中心、旋转方向和旋转量 1.角的概念 “旋转”形成角 探究新知 问题6：类比实数的学习，角的范围我们可以怎样扩充? ②分类：角 正角 负角 零角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合) ③记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，…； 也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，如∠AOB，∠DEF，…. 探究新知 2.角的运算 类似于实数a的相反数是 －a，我们引入任意角α的相反角的概念. 1、你认为相等的两个角应该怎样规定？ 3、你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？ 2、两角相加又是怎样规定的？ 类比实数，思考下列问题 ①相等角：旋转方向相同，旋转量相同 ②角的加法 O B A C ③相反角：旋转方向相反，旋转量相同 C O B A 50°－80°= 50°+(－80°) ④ 课堂练习 1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　) A．120°　　　　　B．－120° C．60° D．240° [答案]A 2.始终经过1小时，时针转动的角为(　　) A．30°　　　　　B．－30° C．60° D．－60° [答案]B 探究新知 为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 3.象限角 角的顶点与坐标原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限. y x O 角的终边 角的始边 终边落在第几象限就是第几象限角 轴线角 x y o 始边 终边 终边 终边 终边 探究新知 3.象限角 y x O 角的终边 角的始边 轴线角 x y o 始边 终边 终边 终边 终边 问题7：锐角是第几象限的角？ 第一象限的角一定是锐角吗？ 第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 第三象限角一定是负角吗？ 课堂练习 在直角坐标系中画出下列角，并指出下面的角是第几象限角？ （1）－50° （2）405° （3）210° （4）－200° （5）－450° 探究新知 4.终边相同的角 动手：在直角坐标系中画出-30°，330°，-390°,这些角有什么内在联系？ 思考：在直角坐标系中，给定一个角，这个角的终边是否唯一确定？若给一条射线作终边，这个角唯一吗? 330°=-30°+360° -390°=-30°+（-1）×360° －32° -390° x y o 330° ｛β︱β= －30°＋ k·360°,k∈Z｝ 归纳: 与 －30°角终边相同的角 相差360°的整数倍 一个角，对应一条终边； 一条终边，对应无数个角：终边相同的角 探究新知 ｛β︱β= -30°＋ k·360°, k∈Z｝ 归纳: 与 -30°角终边相同的角 思考： 将30°推广到一般角，结论α应该是什么？ 4.终边相同的角 1、用集合表示终边与45o相同的角 探究新知 轴 线 角 终边与x轴负半轴重合的角 终边与y轴正半轴重合的角 终边与y轴负半轴重合的角 终边与x轴正半轴重合的角 终边与x轴重合的角 终边与y轴重合的角 探究新知 45O 1、用集合表示终边与45o相同的角 2、用集合表示终边落在阴影部分的角 5.区间角 终边落在坐标系的某个区间的角 定边界，定周期 探究新知 第一象限角: 第二象限角: 第三象限角: 第四象限角: 用集合表示下列各范围的角 象 限 角 例题讲解 探究1 任意角的概念 任意角中易混淆的几个概念：锐角是0°<α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°< α < 90°＋k·360°， k∈Z}所表示的角. 【例1】　下列命题中，正确的是(　　) A.第一象限角一定不是负角 B.钝角一定是第二象限角 C.终边和始边都相同的角一定相等 D.小于180°的角分为钝角、直角、锐角、零角 B 听课手册：P177 变式训练 【变式训练1】 (多选)下列命题中，不正确的是( 　　 ) A.第二象限角必大于第一象限角 B.三角形的内角必是第一、二象限角 C.相等角的终边位置必相同 D.不相等的角其终边位置必不相同 ABD 例题讲解 探究2 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一个集合，它们彼此相差k·360°(k∈Z)，即S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 【例2】　(1)写出与15°角终边相同的角的集合； (2)在(1)的集合中，将适合不等式－1 080°≤ α< 360°的元素α求出来. LOGO 例题讲解 解析：(1)与15°角终边相同的角的集合： S＝{α|α＝k·360°＋15°，k∈Z}. (2)在集合S中适合－1 080°≤α＜360°的元素为： k＝0，α＝15°； k＝－1，α＝－1×360°＋15°＝－345°； k＝－2，α＝－2×360°＋15°＝－705°； k＝－3，α＝－3×360°＋15°＝－1 065°. 总结：(1)与角α的终边相同的角的一般形式是：α＋k·360°，k∈Z.要注意的是：①k是整数； ②α是任意角，可正可负可零；③终边相同的角有无数个，它们相差k·360°. (2)求适合某范围内角的方法是通过不等式写出k的取值范围，取范围中的整数k代入即可求出符合相应条件的角. 变式训练 【变式训练2】 在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中， (1)有几种终边不同的角？ (2)写出区间(－180°，180°)内的角. (3)写出其中第二象限角的一般表示法. 变式训练 解析：(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0，1，2，3知， α＝45°，135°，225°，315°. 所以在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种. (2)由－180°< k·90°＋45°<180°，得 . 又k∈Z，故k＝－2，－1，0，1. 所以在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°. (3)其中第二象限角可表示为k·360°＋135°，k∈Z. 例题讲解 探究3 区域角的表示 求直角坐标系中角的大小或范围，主要是由终边所在位置决定.若阴影部分分别夹在两条射线之间，可先求出终边在两条射线上的对应角集，进而求得阴影部分的角集. 【例3】 如图所示. (1)写出终边落在阴影部分的角的集合M (虚线表示不含边界)； (2)判断角800°，－950°是否在集合M中. 例题讲解 解析：(1)由图可知，终边落在射线OA上的角是k·360°＋120°，k∈Z. 终边落在射线OB上的角是k·360°＋140°，k∈Z. 则所求的角集M＝{α|k·360°＋120°＜ α ＜k·360°＋140°，k∈Z}. (2) 因为800°＝2×360°＋80°，所以800°∉M； 同理可知，－950°＝－3×360°＋130°，即－950°∈M. 【例3】 如图所示. (1)写出终边落在阴影部分的角的集合M (虚线表示不含边界)； (2)判断角800°，－950°是否在集合M中. 变式训练 【变式训练1】 已知角α的终边落在下图中的阴影区域内(包括边界)， 求的 范围. 解析：终边落在射线OA上的角可表示为： k·360°＋140°，k∈Z； 终边落在射线OB上的角可表示为： k·360°＋210°或k·360°－150°，k∈Z， 所以k·360°－150°≤ α ≤ k·360°＋140°，k∈Z， 则k·180°－75°≤ ≤k·180°＋70°，k∈Z. 课堂小结 2. 任意角包括哪几类角？ 1. 角是如何推广的？ 3. 象限角是如何定义的? 4. 终边相同的角的集合如何表示? 布置作业 （1）预习 第2课时 弧度制 （2）课时作业 第1课时 任意角 THANKS $$