5.2.1 三角函数的概念(二) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的概念(二)，涵盖三角函数值在各象限的符号规律及诱导公式一，通过“必备知识•自主导学”引导学生先掌握符号口诀与公式基础，再以“关键能力•师生共研”结合典例提升应用能力，搭建从定义到符号、公式应用的学习支架。 其亮点在于以直观想象（符号口诀“一全正，二正弦”）、数学运算（如sin(25π/6)化简）、逻辑推理（点P象限判断）为核心素养导向，采用“自主预习-典例解析-即学即练”闭环教学法，学生能提升知识应用能力，教师可直接利用结构化内容高效教学。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.2.1　三角函数的概念(二) 内容概览 【学习目标】 1.熟练掌握三角函数值在各象限的符号.(直观想象) 2.掌握诱导公式一,并能运用公式解决相关问题.(数学运算) 3.通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.(逻辑推理) 01 必备知识•自主导学 一、三角函数的符号 如图所示: 正弦:_______象限正,_______象限负; 余弦:_______象限正,_______象限负; 正切:_______象限正,_______象限负. 一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四 【思考】 怎样用一个口诀记忆三角函数的符号规律? 提示:口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 【点拨】 记忆的时候只记忆符号为正的三角函数,其他的则是符号为负的三角函数. 二、终边相同的角的三角函数 1.公式一 (1)sin (α+2kπ)=_____;  (2)cos (α+2kπ)=_____;  (3)tan (α+2kπ)=_____,k∈Z.  2.文字表示:终边相同的角的_____三角函数的值_____. sin α cos α tan α 同一 相等 【点拨】 (1)公式一也称为诱导公式一,即相差2kπ,k∈Z的角的同一三角函数的值相等. (2)公式既可以正用也可以逆用. (3)此公式也可以记为: sin (α+k·360°)=sin α, cos (α+k·360°)=cos α, tan (α+k·360°)=tan α.其中k∈Z. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角,则必有sin α>0.( ) 提示:因为0<α<π,所以sin α>0. (2)若sin α>0,则α为第一、二象限角.( ) 提示:α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴. √ × 02 关键能力•师生共研 类型1三角函数的符号的应用(直观想象) 【典例1】(1)(教材提升例3)已知点P(cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边 在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.由题意可得,则,所以角α的终边在第二象 限. (2)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.根据sin θcos θ>0,可知角θ的终边可能在第一或第三象限,再 根据<0,可知角θ的终边可能在第三或第四象限,故角θ的终边在第三象 限. 【总结升华】 确定象限角及三角函数值符号的方法 (1)由角α终边所在的象限判断角α的三角函数值的符号问题,要依据三角函数的定义; (2)由三角函数值的符号确定角α在第几象限,先由题中三角函数值的符号分别确定角α的终边位置,进而找出它们的公共部分. 【即学即练】 1.已知角θ的终边在第四象限,则y=++的值为(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 【解析】选B.由角θ的终边在第四象限,得sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0, 故y=-1+1+(-1)=-1. 2.若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选B.因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角; 当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0; 当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不合题意. 综上所述,α是第二象限角. 类型2公式一的应用(数学运算) 【典例2】(1)sin π等于(　　) A. B. C.- D.- 【解析】选A.由诱导公式一及特殊角的三角函数知:sin =sin (4π+) =sin =. (2)求下列各式的值: ①cos π+tan (-π); ②sin 810°+tan 765°-cos 360°. 【解析】①原式=cos (8π+) +tan (-4π+) =cos +tan =+1=. ②原式=sin (2×360°+90°)+tan (2×360°+45°)-cos (360°+0°)=1+1-1=1. 【总结升华】 关于公式一的应用 (1)利用公式一把角转化为锐角特殊角,利用锐角特殊角的三角函数值计算; (2)若利用公式一转化后的角是轴线角,可以利用该角与单位圆的交点,求出其三角函数值后计算. 【即学即练】 计算下列各式的值: (1)sin (-1 395°)cos 1 110°+cos (-1 020°)·sin 750°; (2)sin (-π) +cos ·tan 6π. 【解析】(1)原式=sin (-4×360°+45°)cos (3×360°+30°) +cos (-3×360°+60°)sin (2×360°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=. (2)原式=sin (-4π+) +cos (4π+π)·tan 6π=sin +cos π×0=. 类型3三角函数概念的综合应用(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)点P(tan 2 026°,cos 2 026°)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为2 026°=5×360°+226°, 则2 026°为第三象限角, 可得tan 2 026°>0,cos 2 026°<0, 所以点P(tan 2 026°,cos 2 026°)位于第四象限. (2)已知平面直角坐标系xOy,点P在半径为2的圆O上,现点P从圆O与y轴非负 半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周,则此时点P的纵坐标 为　　　　.  【解析】由题意,点P顺时针转过了60°角, 故∠xOP=30°,sin ∠xOP=, 所以yP=rsin ∠xOP=1. 答案:1 【总结升华】 三角函数概念的综合应用 (1)三角函数的概念包括三角函数的定义、三角函数值的符号、诱导公式一; (2)一般先利用诱导公式一转化,再结合三角函数的定义与三角函数值的符号规律解决问题. 【即学即练】 1.已知角θ=,且角θ的终边经过点P(-x,-2),则x的值为(　　) A.±2 B.2 C.-2 D.-4 【解析】选B.因为角θ==72π+,且角θ的终边经过点P(-x,-2),则x>0, 则tan θ==tan =,所以x=2. 2.已知角α的终边经过点P(3,4t),且sin (2kπ+α)=-(k∈Z),则t=　　　　　　.  【解析】sin (2kπ+α)=sin α=-<0, 则α的终边在第三或第四象限. 又点P的横坐标是正数, 所以α是第四象限角,所以t<0, 又sin α=, 所以=-,所以t=-. 答案:- $