第21讲 导数在研究函数中的应用（知识清单+7题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦导数在研究函数中的应用，系统梳理函数的单调性、极值、最值三大核心知识点，从导数正负判断单调性，到导数零点分析极值，再到极值与端点值比较求最值，构建递进式学习支架。 资料以“举三反三”设计7类题型，涵盖基础应用到综合问题（如极值偏移、双变量问题），强化训练题型多样。通过逻辑推理培养数学思维，以问题解决提升数学语言表达能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第21讲 导数在研究函数中的应用 知识清单 知识点01：函数的单调性 知识点02：函数的极值 知识点03：函数的最大（小）值 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用导数研究函数的单调性 题型2：利用导数研究函数的极值 题型3：利用导数研究函数的最值 题型4：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 题型5：利用导数研究函数的零点 题型6：利用导数研究双变量问题 题型7：导数中的极值偏移问题 强化训练 一、单选题（6） 二、多选题（3） 三、填空题（5） 四、解答题（5） 知识点01.函数的单调性 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点02.函数的极值 1.函数极值的定义 （1）极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.函数极值的求法与步骤 求函数y＝f(x)的极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03.函数的最大（小）值 1.函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 2.求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 题型01 利用导数研究函数的单调性 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 题型02 利用导数研究函数的极值 【例2-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【变式2-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 题型03 利用导数研究函数的最值 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 题型04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【例4-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 【变式4-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 题型05 利用导数研究函数的零点 【例5-1】已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【例5-3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【变式5-1】设定义在的函数，若函数在区间上恰有10个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是 . 【变式5-3】（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 题型06 利用导数研究双变量问题 【例6】（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型07 导数中的极值偏移问题 【例7】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【变式7-1】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【变式7-2】．已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【变式7-3】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 三、填空题 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为 11．（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为 ． 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为 14．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知． (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 16．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 17．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)当时，，求的最大值； (2)证明：曲线的图象是轴对称图形； (3)若，求的取值范围. 18．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 19．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)若，求证：当时，； (3)若的图象与轴有3个不同的交点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 导数在研究函数中的应用 知识清单 知识点01：函数的单调性 知识点02：函数的极值 知识点03：函数的最大（小）值 题型讲解 （举三反三） 题型1：利用导数研究函数的单调性 题型2：利用导数研究函数的极值 题型3：利用导数研究函数的最值 题型4：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 题型5：利用导数研究函数的零点 题型6：利用导数研究双变量问题 题型7：导数中的极值偏移问题 强化训练 一、单选题（6） 二、多选题（3） 三、填空题（5） 四、解答题（5） 知识点01.函数的单调性 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点02.函数的极值 1.函数极值的定义 （1）极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.函数极值的求法与步骤 求函数y＝f(x)的极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03.函数的最大（小）值 1.函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 2.求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 题型01 利用导数研究函数的单调性 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求过一点的切线方程、由函数在区间上的单调性求参数、已知直线垂直求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 题型02 利用导数研究函数的极值 【例2-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 【例2-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 【变式2-3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 题型03 利用导数研究函数的最值 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求某点处的导数值 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由，则，解得； （2）由（1）知，，所以， 令，即，解得， 列表如下： -2 2 3 0 0 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以有极大值有极小值， 又， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在 上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 题型04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 【例4-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）先求，再得即可证明； （2）①根据凸函数的定义，转化为在区间上恒成立，进而可得； ②设，根据导函数可得，设，令，换元后，根据导函数可得，进而可得. 【详解】（1），则，， ，， 故在区间上恒成立，即为上的凸函数. （2）①， ，， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立，                      令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为， 所以，得到，所以的最小值为，                   ②由①知， 令， 则， 令， 则在区间恒成立，          所以在区间上单调递增，得到， 即在区间恒成立， 即在区间上单调递增，所以， 令，令，得到， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递减，， 所以，在上恒成立． 【点睛】关键点点睛：第二问由可以观察不等号前后有明显差异，可考虑即可. 【变式4-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【详解】（1）， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【详解】（1）由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. （2）设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. （3）由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 题型05 利用导数研究函数的零点 【例5-1】已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，将问题转化为函数的图象与直线有3个公共点求解，再利用导数研究函数单调性并作出图象，数形结合求得答案. 【详解】由函数恰有3个零点，得函数的图象与直线有3个公共点， 函数，当时，求导得， 由，得；由，得， 当时，求导得，由，； 由，得，函数在上递增，在上递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值为， 作出函数的大致图象，如图， 观察图象，当且仅当或，即或时， 函数的图象与直线有3个公共点，即函数恰有3个零点， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【例5-2】函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】将题设问题等价转化成函数图象与直线在上有两个交点，利用导数工具研究函数的单调性和最值并数形结合即可求解. 【详解】由题可得方程在上有两个根方程在上有两个根 函数图象与直线在上有两个交点， ，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又时且，， 所以时，则，时，则 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 时且时且，如图， 所以函数图象与直线在上有两个交点，则. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【详解】（1）函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3）函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 【变式5-1】设定义在的函数，若函数在区间上恰有10个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】根据分段函数性质，作出函数图象，判断函数有10个零点时的情况，根据导函数的几何意义，求出直线与函数相切时的方程，求出参数范围. 【详解】由题意，当时，， 当时，，将上的图象，向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 以此类推，作出函数图象： 当时，即， 当与在上相切时， 可知，当时，解得， 此时，可得切点为， 可知，解得， 根据图象可知，实数的取值范围为. 故选：C. 【变式5-2】已知关于x的方程有三个不等实根、、，且，则实数a取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】利用待定系数法求出、、的值，再对进行化简，结合已知不等式求出的取值范围，最后根据方程有三个不等实数根确定的最终取值范围. 【详解】令， 展开整理得， 所以，， ，. 又， 所以 ， 所以可化简为， 因为，所以，解得. 令，则， 令，则，解得或. 当时，，在上单调递增，此时方程只有一个实数根，不符合题意； 当时，在和处取得极值， 此时，， 因为方程有三个不等实根， 所以，即， 因为恒成立，所以. 令，则. 令，则，解得或. 当时，，上在单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取极大值，在处取极小值，简图如下， 又， 所以的解为. 综上，可得. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 又，且当时，，所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 综上，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）证明:由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点， 当时，令 则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得, 且当时，，即，则在上单调递增， ，故在上没有零点, 当时，有，即，则在上单调递减， 又，所以在上有且只有一个零点， 综上，函数在上有2个零点． 题型06 利用导数研究双变量问题 【例6】（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性； （2）由已知先得到，两式相加相减可得和，令，代入，然后求导求其最小值. 【详解】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若，是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用两式一加，一减，然后令达到消元的目的， 常用的换元有等. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【详解】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)在R上单调递增； (2)（i）；证明见解析. 【知识点】利用导数研究双变量问题、根据极值点求参数、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【详解】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 题型07 导数中的极值偏移问题 【例7】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【变式7-1】已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据极值求参数、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）根据极小值的定义计算即可； （2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可. 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数. 【变式7-2】．已知函数，，是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【详解】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 【变式7-3】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 【答案】AC 【分析】根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D. 【详解】因为，所以. 由；由或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为：，极大值. 故A正确，B错误； 又，. 所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确； 对D：若，且，则，. 设，. 所以. 所以， 令， ， ， ， 所以在时单调递减， 则， 即，在时单调递增， ，即， 则在时单调递减，所以， 即， 又，所以， 又，，，且在上单调递减， 所以，故D错误； 故选：AC. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为 【答案】 【分析】利用导数求出函数的最大值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 11．（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又，所以函数只有一个零点1， 当时，，则， 故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，再确定单调性并解不等式即得. 【详解】令函数，由，得， 因此函数在R上单调递减，而， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知． (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义可得，即可解得实数的值； （2）函数在定义域上有两个极值，等价于在上有两个不相等的根，解不等式组，求得的范围，化简得到，再构造，利用导数证明即得. 【详解】（1）的定义域为，且， 因为曲线在点处的切线与直线垂直. 所以，解得． （2）由题意可得，， 因为函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根，， 则，， 由题意得，解得. 则 令，其中， ， ，，故在上单调递减； 所以，即， 故得证． 16．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 17．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)当时，，求的最大值； (2)证明：曲线的图象是轴对称图形； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，分离参数，结合基本不等式即可求解， （2）根据定义域对称，计算，即可求解， （3）换元，将问题转化为，，，利用导数和分类讨论，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 由于，即， 由于，故 由于故，当且仅当取到等号， 因此，故， 故 （2）的定义域为，关于对称， 任意的，则， 故， 故的图象是轴对称图形，且关于对称， （3） 令，则， 记，， 当时，，故， 此时在上单调递减， 故，符合题意， 当时，令，则， 故当时，在单调递增， 当，在单调递减， 故， 由于，故，不符合，故舍去， 综上可得 18．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 【答案】(1)不存在F点 (2) (3)． 【分析】（1）利用导数得函数无极值点，即可判断； （2）先求函数极值点，再根据题意，得，构造函数，利用单调性求解； （3）根据题意，是的两根，且，，由韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得. 【详解】（1）恒成立，故函数单调递增， 函数无极值，所以不存在F点； （2）解设是函数的一个F点，； 当时，，函数无极值； 当时，令，得：． 由，得：． 设，则在单调递增， 且，得，所以． 当时，是极小值点，所以是函数的一个F点， 综上，． （3），则，是的两根． 所以：，，． 由，，则， 所以化简得：． 则：，得：． 所以，得． 19．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)若，求证：当时，； (3)若的图象与轴有3个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用切线斜率等于函数在该点的导数值，求解参数； （2）证明函数在时单调递增，利用和单调性得出结论； （3）分析导数确定极值点的个数，利用特殊值法确定函数符号变化，结合零点存在定理证明零点存在性. 【详解】（1）已知函数，求导可得. 由题可知，曲线在点处的切线方程为， 即当时，切线斜率，解得. （2）由（1）可知，.令，其对称轴为. 因为，所以，则当时，单调递增，且. 因此当时，，即在上单调递增，且. （3）函数的定义域为. 对求导可得，令. ①当时，，，，在上单调递增， 则的图象与轴至多有一个交点，不符合题意，舍去； ②当时，或，此时有两个不同的实数根，，. 当时，因为，所以，不满足定义域，故舍去. 当时，由韦达定理可得，，，不妨设. 当或时，则有，，在和上单调递增； 当时，则有，，在上单调递减. 由，，得， ， 取，则，令， 求导得，令，则， 函数在上单调递减，，，函数在上单调递减， ，因此存在唯一实数，使得， 即在上与轴有一个交点； 取，则， 因此存在唯一实数，使得，即在上与轴有一个交点. 则当时，的图象与轴有3个不同的交点，，， 综上，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $