专题强化04：电磁感应模型的动力学、能量问题【八大模型 培优】-2025-2026学年高二下学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第二册）

该高中物理讲义通过表格系统梳理电磁感应模型知识体系，将“杆+导轨”模型按单杆水平、倾斜、双杆切割等类型分类呈现，结合框架图归纳动力学分析步骤与能量转化关系，清晰展现重难点及内在逻辑。 讲义亮点是分层题型设计，如“含电容器单轨模型”例题通过推导加速度公式培养科学思维，变式题结合动量定理深化模型建构能力。基础题巩固等效电路分析，综合题提升动态推理，助力学生自主复习，为教师分层教学提供精准支持。

专题强化04：电磁感应模型的动力学、能量问题 【题型归纳】 【技巧归纳】 技巧一：电磁感应中的能量守恒问题的分析方法 1．等效电路的分析：将产生感应电动势的那部分电路等效为电源，画出等效电路图，分析内外电路结构，应用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质等知识进行分析． 2．电磁感应现象中涉及收尾速度问题时的动态分析： 周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态． 3．能量转化与守恒的分析：电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化． 如图金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在R上转化为焦耳热；另一部分转化为金属棒的动能．若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能． 技巧二：电磁感应中的力学问题的分析方法 1．理解电磁感应问题中的两个研究对象及其之间的相互制约关系 2．理解力和运动的动态关系 技巧三：电磁感应中的“杆+导轨”模型 常 见 类 型 单杆水平式(导轨光滑) 设运动过程中某时刻棒的速度为v,加速度为a=-,a,v同向,随v的增加,a减小,当a=0时,v最大,I=恒定 单杆倾斜式(导轨光滑) 杆释放后下滑,开始时a=gsin α,速度v↑→E=BLv↑→I=↑→F=BIL↑→a↓,当F=mgsin α时,a=0,v最大 双杆切割式(导轨光滑) 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度匀速运动.对系统动量守恒,对其中某杆适用动量定理 光滑不等距导轨 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆以不同的速度做匀速运动 含“源”水平光滑导轨(v0=0) S闭合,ab杆受安培力F=,此时a=,速度v↑⇒E感=BLv↑⇒I↓⇒F=BIL↓⇒加速度a↓,当E感=E时,v最大,且vm= 含“容”水平光滑导轨(v0=0) 拉力F恒定,开始时a=,速度v↑⇒E=BLv↑,经过Δt速度为v+Δv,此时E′=BL(v+Δv),电容器增加的电荷量ΔQ=CΔU=C(E′-E)=CBLΔv,电流I==CBL=CBLa,安培力F安=BIL=CB2L2a,F-F安=ma,a=,所以杆做匀加速运动 【题型探究】 题型一：线框模型 【例1】．（2025·广西贵港·模拟预测）如图所示，竖直面内质量为、总电阻为、边长为的正方形导线框由静止释放，边与水平虚线平行，距虚线高度为，虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，重力加速度大小为，在边进入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，始终保持水平，求： (1)导线框进入磁场瞬间的速度大小； (2)导线框进入磁场过程中产生的焦耳热； (3)匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框进入磁场前做自由落体运动，有 解得 （2）在边进入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，说明导线框匀速进场，在进场过程中做匀速直线运动， 根据能量守恒，有 （3）边进入磁场瞬间，导线框的加速度恰好为零，有 其中 切割产生的电动势为 电流为 联立解得 【变式1】．（24-25高二下·福建厦门·期末）晓萌同学设计了一个货物缓降模型，其简化结构如图所示，边长为L的单匝正方形线框abcd总电阻为R，质量为m，通过绝缘细绳跨过滑轮与质量为2m的货物相连，线框上方有两个矩形磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向分别为垂直纸面向里、向外，区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为L。货物由静止释放，当ab边进入磁场Ⅰ时，线框恰能匀速运动，不计摩擦，重力加速度大小为g，求： (1)ab边刚进入磁场Ⅰ时线框的速度大小； (2)ab边刚进入磁场Ⅱ时线框的电流大小和加速度大小； (3)若cd边刚离开磁场Ⅱ时的速度大小，求线框穿越磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）边刚进入磁场Ⅰ时，线框匀速运动， 对线框与重物组成的整体 得 （2）边刚进入磁场Ⅱ时，线框此时速度大小仍为，则， 得 对线框 对重物 得 （3）线框穿越两个磁场的过程中，重物下降，线框上升，由能量守恒定律 得 【变式2】．（24-25高二下·江西上饶·期末）如图所示，倾角的粗糙斜面固定在水平面上，斜面上存在一宽度为、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电阻为、边长为的正方形线框通过轻质细线绕过光滑定滑轮与质量的重物相连，线框与斜面间的动摩擦因数。初始时，线框上边与磁场下边界有一定距离，重物离地面足够高，细线处于绷直状态，将系统由静止释放，线框恰好能匀速进入磁场。已知，，重力加速度。 (1)求线框匀速运动时所受安培力的大小； (2)求初始时刻线框上边与磁场下边界的距离； (3)若线框出磁场的时间为，求线框通过整个磁场过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框能匀速进入磁场，由受力分析可知， 线框匀速则重物也做匀速直线运动，对重物分析可得 联立可得 （2）线框进入磁场前对线框和重物组成的系统，由动能定理可得 解得 线框刚进入磁场时，， 联立可得 （3）线框匀速进入磁场的过程中运动时间为， 则进入磁场的过程线框中流过的电荷量 线框全部进入磁场到上边界刚要离开磁场的过程中，对线框和重物组成的系统，由能量守恒可得 线框出磁场的过程中，对线框和重物组成的系统，由动量定理可得 解得 对线框和重物组成的系统从进磁场到全部出磁场的过程中由能量守恒可得 解得 题型二：单轨模型（有无外力） 【例2】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动， (1)请分析棒的运动情况？ (2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？ (3)两种情况，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）由于导体棒在磁场中切割磁感线运动，产生感应电流，而通电导体在磁场中受到安培力的作用，根据左手定则可知，安培力的方向与导体棒的运动方向相反，导体棒做减速运动，感应电流逐渐减小，安培力随之减小，根据牛顿第二定律可知，导体棒的加速度逐渐减小，综上所述，导体棒做加速度逐渐减小的减速运动。 （2）对导体棒受力分析，当导体棒的速度为时，根据动量定理可得 又因为 联立解得 同理当导体棒的速度为时，通过定值电阻的电荷量 两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量 （3）对导体棒受力分析，当导体棒的速度为时，根据动量定理可得 根据法拉第电磁感应定律可得 结合闭合电路的欧姆定律可得 联立解得 同理当导体棒的速度为时，从棒开始运动至棒停止时的位移 则两次的位移之比为 【变式1】．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图甲所示，两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为，连接电阻，边长为的正方形区域存在与水平面成斜向右上方的匀强磁场，磁感应强度随时间变化关系如图乙所示。时，在距磁场左边界处，一长为的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度向右运动，直至通过磁场，棒运动至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为，的阻值为，其他电阻不计，棒与导轨始终垂直且接触良好。求： (1)时间内，中的电流方向及感应电动势； (2)时间内，棒受到的安培力的大小和方向； (3)时间内，上产生的热量． 【答案】(1)电流方向为到， (2)，安培力方向斜向左上方与水平方向夹角为 (3) 【详解】（1）由图乙可知在时间段内，磁场均匀增加，根据楞次定律可知中的电流方向为到，根据法拉第电磁感应定律，这段时间内的感应电动势 （2）在时间内，根据左手定则可知棒受到的安培力方向斜向左上方与水平方向夹角为 回路中的总电阻为 根据法拉第电磁感应定律，这段时间内的感应电动势， 又 解得 （3）时间内上产生的热量 时间内上产生的热量 所求热量 解得 【变式2】．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图所示，间距为的水平导轨右端接有的定值电阻。虚线与导轨垂直，其左侧有方向竖直向上、大小为的匀强磁场。一质量的金属棒垂直于导轨放置在右侧某处，一重物通过绕过轻质定滑轮的绝缘轻绳与金属棒连接。时，将金属棒由静止释放，在时，金属棒恰好经过边界进入磁场。已知导轨足够长，不计导轨与金属棒电阻，金属棒始终垂直导轨且与导轨接触良好，重物始终未落地，重力加速度g取，不计一切摩擦，求： (1)金属棒刚进入磁场时，电阻的热功率P； (2)金属棒在磁场中运动的最小速度大小； (3)若金属棒进入磁场后时金属棒速度为，则此时金属棒与的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据牛顿第二定律有 代入数据得 运动学公式 解得 根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 根据 联立解得 （2）由受力平衡条件可知，最小速度时有 且 代入数据解得 （3）对系统应用动量定理，有 又 解得 题型三：单轨模型(有电源） 【例3】．（25-26高三上·湖南·月考）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，右端由导线连接电源，电源电动势为E，内阻为r。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属棒垂直横跨在导轨上，金属棒在水平向左的拉力作用下，由静止开始以大小为的加速度向左做匀加速运动。已知金属棒接入电路的电阻为4r，不计导轨电阻，重力加速度为g。 (1)求金属棒开始运动瞬间受到的安培力大小； (2)求t时刻水平拉力做功的功率P； (3)在t时刻撤去拉力，求从撤去拉力到金属棒向左运动减速到0的过程中金属棒中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）应用闭合电路欧姆定律可知，电流 金属棒受到的安培力 解得 （2）经过时间金属棒速度 金属棒切割磁感线产生感应电动势 应用闭合电路欧姆定律可知，电流 金属棒受到的安培力 对金属棒，应用牛顿第二定律有 又拉力做功瞬时功率 解得 （3）对金属棒，由动量定理 其中 对金属棒和电源，应用功能关系有 再根据串联电路特点可知，金属棒中产生的热量 解得 【变式1】．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间距为，在导轨上垂直导轨放置一质量为、长度略大于、电阻不计的导体棒，导轨左侧通过导线连接电动势为、内阻为的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关，导体棒开始运动，最终匀速运动，导轨电阻可忽略。 (1)求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量； (2)求从开始到恰匀速运动过程回路产生的焦耳热； (3)若导体棒恰达到匀速状态时的位移，求从开始到恰匀速运动所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第一步：提取关键信息 导体棒匀速时，通过导体棒的电流为0，导体棒切割磁场产生的感应电动势等于电源的电动势。 第二步：应用物理规律 设导体棒匀速运动时的速度为，由法拉第电磁感应定律有 设某一时刻通过导体棒的电流为，可认为之后极短时间内通过导体棒的电流不变，则时间内导体棒所受安培力 由动量定理有 时间内通过导体棒的电荷量 累加有 可得 （2）导体棒增加的动能、系统产生的焦耳热之和等于电源释放的能量，结合（1）中的假设和功率知识可得，时间内电源释放的能量 累加可得，从开始到恰匀速运动过程电源释放的总能量 则该过程回路产生的总焦耳热 （3）设某一时刻导体棒的速度为，并在之后时间内近似不变，回路中的电动势 回路中的电流 之后时间内通过导体棒的电荷量 又 累加可得 结合题给信息可得 【变式2】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）近日，一段歼35战机在福建舰航母弹射起飞的视频在网络爆火，舰载机与航母弹射技术的“双向赋能”，标志着我国海军进入大航母时代。受此启发，某同学设计了一个如下图所示的电磁弹射的模型。图中，电源电动势为，内阻为，MN与PQ为水平放置的足够长的金属导轨，间距为。战斗机简化为导体棒ab，垂直放置在金属导轨上，与阻值为的定值电阻R并联在电源两端。整个导轨平面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。闭合开关S，导体棒ab在安培力的作用下向右加速运动，达到电磁弹射的效果。若运动过程中，导体棒ab始终与导轨垂直，导体棒接入电路部分的阻值为，不计其他电阻。 (1)求开关S闭合瞬间，流过导体棒的电流； (2)若导体棒运动过程中受到的阻力恒定，当导体棒运动稳定时，流过电源的电流为5A，求： Ⅰ.导体棒运动过程中受到的阻力； Ⅱ.体棒运动的最大速度； Ⅲ.运动过程中，导体棒可等效为一直流“电动机”，求稳定时“电动机”的效率。 【答案】(1) (2)Ⅰ.；Ⅱ.；Ⅲ. 【详解】（1）导体棒接入电路部分的阻值与定值电阻相等，则回路总电阻 开关S闭合瞬间，回路的干路电流 流过导体棒的电流 （2）Ⅰ.根据闭合回路欧姆定律有 此时通过定值电阻的电流 则此时通过导体棒的电流 稳定时，导体棒所受阻力大小等于安培力，则有 解得 Ⅱ.稳定时，导体棒速度达到最大值，结合上述有 解得 Ⅲ. 运动过程中，导体棒可等效为一直流“电动机”，稳定时“电动机”效率 结合上述解得 题型四：单轨模型（含电容器） 【例4】．（24-25高二下·福建宁德·期末）如图所示，水平光滑金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为，两侧导轨间接有的电容器，a、b杆静止于左侧导轨上，两杆质量均为m，电阻均为R。初始时电容器不带电，现给a杆一水平向右的初速度v0，一段时间后b杆以的速度无障碍地进入右侧导轨。两侧导轨足够长，整个运动过程中a、b两杆始终与导轨垂直且接触良好，a杆未进入右侧导轨且不与b杆发生碰撞。已知重力加速度为g，求： (1)b杆刚开始运动时的加速度大小； (2)进入右侧导轨前，b杆中产生的热量； (3)最终稳定时，电容器所带的电量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）b杆刚开始运动时，a杆产生的感应电动势为 由闭合电路欧姆定律 b杆刚开始运动时受到向右的安培力大小为 由牛顿第二定律 解得b杆刚开始运动时的加速度大小为 （2）从开始到b杆刚进入右侧轨道的过程中，两杆组成的系统动量守恒，由 解得 由能量守恒定律 由焦耳热分配定律可得进入右侧导轨前，b杆中产生的热量 解得 （3）最终稳定时，两杆的速度分别为v1、v2，则 对a杆由动量定理 对b杆由动量定理 其中， 联立解得最终稳定时，电容器所带的电量为 【变式1】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图所示，固定于绝缘水平面上的光滑导轨是由倾斜金属导轨和水平足够长的金属导轨共同组成，倾斜导轨底部G、H用绝缘材料（绝缘材料大小忽略不计）与水平导轨相接，导轨左端EF间接有一电容器C，导轨右端接有一降压限流器（其作用是：当电路电流大于等于0.2A时能保持电路中电流恒为0.2A，电流小于0.2A时相当于短路）和一定值电阻R。倾斜导轨间有方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场B1，水平导轨间有方向竖直向上的匀强磁场B2，磁感应强度大小B1=B2=0.5T。现将倾斜导轨上的导体棒MN由静止释放，导体棒立即做匀加速运动，到达底端GH时的速度大小为v0=8m/s，当MN经过GH后速度立即减为原来的一半。整个过程中，导体棒MN与导轨垂直且接触良好。已知电容器的电容C=2F，导体棒MN的质量m=0.01kg，导轨宽度均为d=0.1m，倾斜轨道的倾角θ=37°，定值电阻R=0.5Ω，其余电阻均不计，不计任何摩擦阻力。 (1)MN在倾斜导轨上运动时，电容器的 端电势高（选填“E”或“F”）； (2)MN在倾斜轨道上运动时的加速度a为多大？ (3)MN越过GH后，还能运动的距离x和通过降压限流器上的电荷量q各为多少？ (4)在MN的整个运动过程中，降压限流器上产生的热量Q为多少？ 【答案】(1)F (2)4m/s2 (3)10m，0.8C (4)0.02J 【详解】（1）导体棒由静止释放后沿斜面向下运动，由右手定则可知，N端是等效电源的正极，故F端电势高； （2）在斜面上运动的过程中，设回路中的电流为i。对导体棒受力分析，受到重力，导轨支持力和安培力，如图所示。 由牛顿第二定律可得 又 则导体棒做匀加速直线运动加速度为 （3）导体棒越过GH后速度变为 此时，若假设降压限流器件的电阻为零，则回路中的电流 可见此时回路中的电流应是0.2A。 当降压限流器件的电阻恰好为0，则回路中的电流即将小于0.2A，设此时导体棒的速度为v2，满足 得 在导体棒速度从v1减到v2的过程中，通过导体棒的电流恒为，导体棒受到的安培力不变，则导体棒做匀减速直线运动，设加速度为a1。 由牛顿第二定律可知 导体棒做匀减速直线运动的时间 这段时间内导体棒的位移大小 通过降压限流器上的电荷量为 此后，降压限流器件的电阻为零，导体棒接下来做加速度减小的减速直线运动，直到静止，设这段运动时间为t2，位移为x2。由动量定理 可知 得 则导体棒越过GH后的运动距离为 设该过程中通过降压限流器上的电荷量q2，由动量定理 得 则通过降压限流器上总的电荷量 （4）降压限流器件仅在t1时间内产生热量，由能量守恒可知 解得Q=0.02J 【变式2】．（24-25高二下·河北承德·期末）如图所示，光滑平行导轨相距，导轨左侧部分位于水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，右侧部分位于倾角为的斜面上，处于垂直斜面向下的匀强磁场中，两磁场磁感应强度大小均为，定值电阻，电容器电容。质量为、长为的金属棒与导轨垂直放置，将开关与电阻相连，某时刻给金属棒施加一个与金属棒垂直、大小为的拉力方向始终平行于导轨平面（水平部分水平向右，倾斜部分沿斜面向上），经过金属棒运动到达斜面的最下端，此时把开关与电阻断开（但不与电容器连接），金属棒在作用下继续沿斜面向上运动，不计转弯处机械能损失，金属棒和导轨自身电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，重力加速度取。 (1)求金属棒到达斜面底端时的速度大小； (2)求电阻上产生的热量； (3)当金属棒沿斜面运动最远时，开关与电容器接通，此时开始计时（拉力仍在），求金属棒经过多长时间回到斜面底端。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）通过导体棒的电荷量为 磁通量变化量为 联立解得 则安培力的冲量为 金属棒在水平面上运动时，设末速度为，根据动量定理 解得 （2）金属棒在水平面上运动时，根据能量守恒 解得电阻上产生的热量 （3）电阻断开后，金属棒沿斜面上升的最大距离为，根据动能定理 解得 金属棒与电容接通后，电容器充电电流 电容器两端电压 金属棒加速度 金属棒所受安培力 根据牛顿第二定律 联立可得 金属棒回到斜面底端需要的时间为 题型五：单轨模型（竖直方向） 【例5】．（24-25高二下·陕西榆林·期末）如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，给空间加入方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，给棒一个向左的初速度，棒向左运动，最终停在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路内产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过棒的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意和图知线圈的磁场面积不变，磁感应强度均匀变大，根据法拉第电磁感应定律，有 由图乙知磁感应强度的变化率为 代入数据解得 回路中的感应电流 解得 根据焦耳定律 解得 （2）由图乙知当金属棒的速度时，磁感应强度，金属棒切割磁感线产生的感应电动势 代入数据解得 根据右手定则，金属棒切割磁感线时点为高电势，所以两点的电势差 代入数据解得 （3）当时，流过棒的电荷量 解得 当到金属棒停下时，假设时间为，平均电流为，根据动量定理 其中 解得 整个过程流过棒的电荷量 解得 【变式1】．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图1所示是依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，具有操作简单、无需电能、逃生高度不受限制，下降速度可调、可控等优点。该装置原理可等效为：间距为L的两根竖直导轨上部连通，人和磁铁固定在一起沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度为B的匀强磁场。人和磁铁所经位置处，可等效为有一固定导体棒cd与导轨相连，整个装置总电阻始终为R，如图2所示。在某次逃生试验中，质量为M的测试者从静止开始下滑，当滑行的距离为x时，该装置开始匀速下滑。已知与人一起下滑部分装置的质量m，重力加速度为g，忽略本次试验过程中的摩擦阻力。 (1)判断导体棒cd中电流的方向； (2)求该装置匀速下滑时的速度v； (3)求该装置向下滑行x距离的过程中，通过导体棒某横截面的电荷量q。 【答案】(1)从d到c (2) (3) 【详解】（1）导体棒相对于磁场向上运动，根据右手定则，可知导体棒cd中电流的方向从d到c； （2）该装置匀速下滑时，有 其中，， 解得 （3）由 得 其中，， 解得 【变式2】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图1所示，间距为的平行金属导轨、足够长，左侧连接一个电动势为、内阻可忽略不计的电源。定值电阻阻值、导体棒阻值均为，导体棒质量为m，导体棒运动时始终处在宽度为、磁感应强度为的匀强磁场中，且导体棒运动时金属导轨对其阻力大小恒为。起初导体棒静止，求： (1)时刻闭合开关S，导体棒由静止开始运动， ①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小； ②导体棒达到稳定运动状态时，是匀速直线运动还是匀变速直线运动？若为匀速直线运动，求此时的速度大小；若为匀变速直线运动，求此时的加速度大小； (2)对图1电路进行修改，将一个电容为的电容器并联在导体棒两端（电容较大，且起初电容器不带电），构成如图2所示电路，其他条件均不变。时刻闭合开关，经过时间导体棒已达到匀速运动状态。 ①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小； ②时间内通过电源的电荷量。 【答案】(1)①；②匀速直线运动， (2)①0；② 【详解】（1）①开关闭合瞬间，由闭合电路欧姆定律可得电路中的电流为 对导体棒由牛顿第二定律 联立解得开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小 ②匀速直线运动，当导体棒达到稳定运动状态时，对导体棒受力分析，由平衡条件 由闭合电路欧姆定律 联立解得 （2）①开关闭合瞬间，电容器不带电，故 导体棒与电容器并联，故导体棒两端电压也为0，导体棒无电流，故不受到安培力，故 ②导体棒达到匀速运动状态时，速度大小与（1）问相同，故 对导体棒由动量定理 其中 解得 稳定时，对电容器 其中 故 题型六：单轨模型（倾斜方向） 【例6】．（25-26高二上·江苏南通·月考）如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对金属棒进行受力分析，沿斜面方向安培力 又， 联立可得 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）当金属棒的加速度为零时，速度达到最大，则有 解得 （3）流经电阻的电量 又，， 联立得 代入数据可解得 【变式1】．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨、固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜而有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒沿导轨向下运动的速度时，的加速度大小； (2)金属棒沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率； (3)若从金属棒开始下滑至达到最大速度过程中，流经电阻R上的电量为，求此过程中电阻R上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对金属棒进行受力分析，沿斜面方向安培力 根据牛顿第二定律有 代入数据得 （2）当金属棒的加速度为零时，速度达到最大，则有 解得 可知当速度最大时，电流最大，则有 根据 可知此时电功率最大，则有 （3）流经电阻的电量，，， 联立得 代入数据求得金属棒下滑的距离 根据能量守恒有 解得 故电阻R上产生的焦耳热 解得 【变式2】．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图所示，倾角为θ=37°的粗糙金属轨道固定放置，导轨间距，电阻不计。沿轨道向下建立x轴，O为坐标原点。OO'为两磁场分界线且垂直于x轴。在区域存在方向垂直轨道平面向下，磁感应强度大小为的匀强磁场；在x≥0区域存在方向垂直轨道平面向上，磁感应强度大小。初始状态，U形框cdef锁定在轨道平面上，c、f分别与O'、O重合，U形框质量为由阻值的金属棒de和两根绝缘棒cd、ef组成，三边长均为L=1m。另有质量为，长为、阻值的金属棒ab在离OO'一定距离处获得沿轨道向下的初速度，金属棒及U形框与轨道间的动摩擦因数均为μ=0.75。金属棒及U形框始终与轨道接触良好，形成闭合回路，不计金属轨道及接触点的电阻，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度 (1)若金属棒ab的初速度为，求初始时刻流过金属棒ab的电流大小及金属棒de受到安培力的大小； (2)若金属棒ab获得初速度v₂的同时，解除对U形框的锁定，为保持U形框仍静止，求v2的最大值； (3)若金属棒ab以初速度从处开始运动，同时解除对U形框的锁定，金属棒ab与U形框会发生完全非弹性碰撞，求碰撞结束瞬间金属棒ab与U形框共同的速度。 【答案】(1)5A，2.0N (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 解得 当时，可知 则金属棒受到安培力的大小 （2）根据法拉第电磁感应定律则有 根据闭合电路欧姆定律则有 根据平衡条件则有 联立解得 （3）因，所以型框仍静止，对ab棒，从开始到与型框碰撞之前，根据动量定理可得 又因为， 结合法拉第电磁感应定律 解得 联立解得 ab棒与型框碰撞，根据动量守恒定律则有 解得 题型七：双杆模型（等宽） 【例7】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝3T。两导轨间距为L＝0.5m，导轨足够长。金属棒a和b的质量分别为＝1kg、＝0.5kg，电阻分别为＝1Ω、＝2Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝1.8 m高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，两棒始终不相碰。g取10m/s2。求： (1)a棒刚进入磁场时，b棒的加速度； (2)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，流过a棒的电荷量； (3)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，a棒中产生的焦耳热。 【答案】(1)，方向向右 (2) (3) 【详解】（1）棒沿弧形轨道下滑过程，根据机械能守恒有 代入数据解得 棒进入磁场瞬间感应电动势 根据闭合电路欧姆定律 对棒，根据牛顿第二定律 联立解得 由左手定则，可知棒所受安培力的方向向右，故加速度的方向向右。 （2）由动量守恒定律得 解得 对棒，应用动量定理有 解得 （3）a、棒在水平面内运动过程，设从棒进入磁场到两棒共速的过程中，两棒产生的焦耳热为，由能量守恒定律得 解得 根据焦耳定律可知，棒产生的焦耳热为 【变式1】．（25-26高三上·湖南·期中）如图，光滑水平面固定着间距为L 的长直平行金属导轨 HF（导轨电阻不计），导轨右侧垂直放有一质量为m、长为L的金属导体棒b，其电阻为R。金属导轨 HF左侧有一质量为m、半径为L 的四分之一光滑绝缘圆弧轨道（不固定），现将一根与导体棒b完全相同的导体棒a置于圆弧轨道最高处并由静止释放，其运动至轨道最低处时正好无能量损失地滑上金属导轨 HF，且导体棒a与导轨 HF 垂直。已知空间中存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场，两导体棒在导轨 HF上运动时始终与导轨接触良好，且两导体棒之间永不相碰。重力加速度为g。求： (1)求导体棒a刚滑上金属导轨HF时，导体棒a 两端电压大小； (2)若导轨HF光滑，则从导体棒a滑上导轨HF到运动状态稳定，导体棒a产生的焦耳热； (3)若两导体棒与导轨HF的动摩擦因数均为μ，且导体棒b在安培力作用下能够运动起来，则从a棒滑上导轨后开始计时，到b棒速度最大时，两棒之间的相对位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设导体棒和圆弧轨道速度分别为、，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得 电动势 导体棒两端电压 （2）根据动量守恒有 解得 根据能量守恒有 又 联立解得 （3）棒速度最大时，合力为零，则有 对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 又， 联立解得 【变式2】．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图甲所示，两条平行光滑水平导轨间距为，左右两侧折成倾斜导轨，其倾角均为，左侧轨道高为。导轨水平部分有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。导体棒固定在左侧导轨最高点，固定在水平导轨上，与左侧轨道底端相距为，导体棒、长均为、电阻均为，质量分别为和。从0时刻开始，静止释放导体棒，当到达左侧轨道底端时立即释放导体棒。不计导轨电阻和空气阻力，已知，，，，。（结果保留根号）求： (1)导体棒在左侧导轨上运动的过程中导体棒产生的焦耳热； (2)若水平导轨足够长，且两棒在水平导轨上不会相撞，从ab棒释放开始到两棒在水平导轨上运动稳定的整个过程中通过导体棒截面的电荷量是多少； (3)在（2）的条件下，若右侧倾斜导轨足够长，且导体棒落在倾斜导轨上时立即被锁定，求导体棒此时距的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）ab棒在左侧轨道下滑过程有 根据牛顿第二定律 解得 此时刻以后磁场恒定不变，则ab在左侧轨道上运动过程中回路中的电动势为 此过程中cd棒产生的焦耳热为 联立解得 （2）ab棒在倾斜轨道运动过程，通过导体棒截面的电荷量 ab棒到达底端的速度为 解得 ab、cd两棒在水平轨道上运动过程中动量守恒且末速度相等 对cd棒由静止到达共速应用动量定理 两边求和得 可得 从ab棒释放开始到两棒在水平导轨上运动稳定的整个过程中通过导体棒截面的电荷量 联立解得 （3）设为两棒在水平轨道上的相对位移，第（2）问中 解得 cd棒抛出后到；落到右侧倾斜轨道有， 且 此过程中ab棒和cd棒的水平速度相等，则 联立解得 则 联立可得 题型八：双杆模型（不等宽） 【例8】．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L和2L，分别处于磁感应强度大小为2B和B的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为R的电阻。金属棒a、b分别置于左、右两侧导轨上，a的电阻为r、长度为L、质量为m，b的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S断开，静止的两棒用绝缘丝线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。剪断丝线，弹簧恢复原长时，a恰好脱离导轨，b速度大小为，此时闭合S。已知弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求 (1)初始时刻a棒距导轨左端的距离； (2)弹簧恢复原长过程中，a棒上产生的热量； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设弹簧弹开两棒的过程中，任一时刻流过两棒的电流为I，则有 故两棒系统动量守恒，根据动量守恒定律可得 其中， 且有 整理可得 联立解得， （2）弹簧恢复原长时，根据动量守恒定律有 根据能量守恒有 结合题意可知 解得 【变式1】．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定在水平面内的平行且足够长的光滑金属导轨均处在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，AB、CD相距2L，EI、GH相距L，质量均为m，长度分别为2L、L的金属杆MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计。 (1)若金属杆MN固定，金属杆PQ受到水平向右的恒力F，求金属杆PQ的最大速度及此时PQ两点的电压； (2)若两杆均不固定，金属杆PQ和MN分别同时受到水平向右、向左的恒力F、2F，求金属杆PQ的最大速度。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）若金属杆MN固定，金属杆PQ受到水平向右的恒力F，由分析可知PQ杆切割磁感线匀速运动时，产生的速度最大，设此时PQ杆切割磁感线产生的电动势为，根据法拉第电磁感应定律有 所回路中的感应电流为 PQ杆受到的安培力大小为 对PQ杆由平衡条件有 解得 即金属杆PQ的最大速度的大小为 ，方向水平向右。 根据闭合电路的性质可得此时PQ两点的电压为 （2）若两杆均不固定，设电路中的电流为，则MN杆受到的安培力大小为 所以MN杆的牛顿第二定律方程为 解得MN杆的加速度大小为 同理可得PQ杆的加速度大小为 所以两杆加速度的大小关系为 两杆同时开始运动，它们在同一时刻加速度大小有2倍关系，则在同一时刻，两杆的速度大小也有2倍关系，即 回路中的感应电动势为 PQ杆匀速运动的速度是其最终速度，由平衡条件得 又因为 代入上式解得金属杆PQ的最大速度 【变式2】．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）P棒到达轨道最低点时速度大小设为，根据机械能守恒定律有 解得 P棒到达轨道最低点进入磁场时切割磁场产生感应电动势 感应电流 Q棒受到的安培力 解得Q棒的加速度 （2）设Q棒第一次稳定运动时的速度为，P棒的速度为。当稳定时感应电流为零，则两杆产生的感应电动势相等 解得 从Q棒开始运动到第一次速度达到稳定过程中，根据动量定理，对P棒有 对Q棒有 又通过P棒的电荷量 联立解得，， （3）从P棒进入导轨Ⅱ运动后，两棒切割磁场的长度相等，当速度稳定时，两棒的速度相同，设稳定速度为v。系统所受外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 P棒进入导轨Ⅱ运动后，接入电路的阻值变为，故P棒产生的热量 联立解得 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州·期中）如图所示，间距为的两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，底端接阻值为的电阻。将质量为的金属棒悬挂在固定的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场垂直。重力加速度大小为，除电阻外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，下降的高度达到最大速度，该过程所用时间为。则（　　） A．释放瞬间金属棒的加速度小于 B．金属棒的最大速度为 C．该过程电阻产生的焦耳热为 D．该过程电阻产生的焦耳热等于金属棒减小的机械能 【答案】B 【详解】A．释放瞬间金属棒的速度为零，没有感应电流产生，不受安培力，金属棒只受重力，所以金属棒的加速度为g。故A错误； B．加速度为零时，速度最大，此时 其中 解得，故B正确； C．该过程电阻产生的焦耳热为 解得 故C错误； D．根据能量守恒可知，该过程电阻产生的焦耳热等于金属棒减小的机械能与弹簧增加的弹性势能之差，故D错误。 故选B。 2．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，正方形线圈ABCD在外力控制下，以恒定速度v向右匀速穿过磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度大于线圈边长L。下列分析正确的是（　　） A．线圈进入磁场过程中，CD间电势差为BLv/4 B．线圈完全处于磁场中时，AB间电势差为0 C．若速度变为2v，则整个过程线圈中产生的热量将变为原来的2倍 D．若速度变为2v，则进入磁场过程中通过导线横截面的电荷量变为原来的2倍 【答案】C 【详解】A．线圈进入磁场过程中，CD边切割磁感线，产生感应电动势 相当于一个电源。整个线圈构成闭合回路，感应电流 CD边两端的电势差是路端电压，设正方形线圈每条边的电阻为，可知CD间电势差为，故A错误； B．线圈完全处于磁场中时，AB边和CD边都切割磁感线，都产生感应电动势，根据右手定则，可知B点电势高于A点，故B错误； C．线圈中产生热量的过程只在进入和穿出磁场的阶段。在进入磁场过程中，时间为 电流为 产生热量为 可得整个过程线圈中产生的热量 若速度变为2v，可得整个过程线圈中产生的热量将变为原来的2倍，故C正确； D．进入磁场过程中，通过导线横截面的电荷量 可知进入磁场过程中通过导线横截面的电荷量与速度无关，故D错误。 故选C。 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，两足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，恒力F作用在金属棒cd上，金属棒ab、cd以相同的加速度沿导轨滑动，已知某时刻cd棒的速度，ab棒的速度，且，之后某时刻撤去F。已知运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，下列说法中正确的是（　　） A．撤去F前，回路中的感应电流为0 B．撤去F前，两棒间距恒定 C．撤去F后，两棒之间距离将增大直到同速 D．撤去F后，两棒在相等时间内产生的焦耳热相同 【答案】C 【详解】A．撤去F前，金属棒ab、cd以相同的加速度沿导轨滑动，但两棒速度不同，两棒电动势不等，某时刻回路中的感应电动势，电流不为0，故A错误； B．撤去F前，由于两棒，所以两棒间距在变大，故B错误； C．撤去F后，金属棒ab做加速运动，cd做减速运动，开始cd速度大于ab，两棒之间距离增大，当速度相等时，无感应电流，之后一直做匀速运动，故C正确； D．撤去F后，两棒的电流大小总相等，但两棒电阻未知，所以两棒在相等时间内产生的焦耳热不一定相同，故D错误。 故选C。 4．（24-25高二下·湖北武汉·月考）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中拉力的最大值为 B．金属棒加速的时间为 C．减速阶段通过金属棒的电荷量为 D．加速过程中拉力做的功为 【答案】A 【详解】BC．由题意，设加速阶段金属棒的位移为，根据 可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得 联立解得， 在加速阶段，根据 可得金属棒加速的时间为，故BC错误 A．加速阶段，对金属棒由牛顿第二定律有，， 显然速度最大时，拉力有最大值，联立求得加速过程中拉力的最大值为，故A正确； D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理有 可得拉力的功 因此可知加速过程中拉力做的功大于，故D错误。 故选A。 5．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为L的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面向外的匀强磁场。已知金属框阻值为R；在时间内，磁感应强度大小随时间t均匀增加。以下说法正确的是（　　） A．金属框内的感应电流为逆时针方向 B．感应电动势大小为 C．感应电流大小为 D．Δt时间内金属框产生的焦耳热为 【答案】C 【详解】A．根据楞次定律判断感应电流的磁场向里，根据右手螺旋定则判断出感应电流顺时针方向，A错误； B．根据法拉第电磁感应定律，B错误； C．根据闭合电路欧姆定律 得，C正确； D．时间内金属框产生的焦耳热 解得，D错误。 故选C。 6．（24-25高二下·山东·月考）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长、间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．金属杆在磁场中运动时，回路中电流沿顺时针方向 B．金属杆经过时的速度小于 C．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量相同 【答案】D 【详解】A．金属杆向右运动的过程中切割磁感线，根据楞次定律可知，回路中电流沿逆时针方向，故A错误； B．金属杆在区域运动的过程中，有， 根据动量定理有 则 由于 则上面方程左右两边累计求和，可得 则 设金属杆在区域运动的时间为，同理可得，金属杆在区域运动的过程中有 解得 综上有 则金属杆经过的速度大于，故B错误； C．在整个过程中，根据能量守恒有，定值电阻R产生的热量 ，故C错误； D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量 金属杆所受安培力的冲量相同，故D正确。 故选D。 7．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　） A．杆的速度越来越小，直到减小为零 B．杆的速度越来越小，稳定后速度 C．电容的电荷量越来越大，最大值为 D．电流强度越来越大 【答案】B 【详解】AB．当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度匀速运动时，则有 由动量定理有 联立解得，故A错误，B正确； C．电容的电荷量越来越大，最大值为，故C错误； D．导体棒稳定后做匀速直线运动，电容的电荷量趋于最大值，充电电流越来越小，最后电路中没有电流，故D错误。 故选B。 8．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）如图所示为一种电磁装置，间距为d的两根足够长的平行长直金属导轨竖直固定放置，导轨间相间分布大小相等、方向相反、长度均为l的磁场，磁感应强度大小均为B。当这些磁场以速度v竖直向上运动时，跨在两导轨间的质量为m、宽为d、长为l、电阻为R的单匝导线框MNPQ将受到向上的安培力，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．图示位置处导线框中的电流方向为逆时针 B．当磁场速度时，导线框恰好静止不动 C．当磁场速度时，运动稳定时导线框向上做匀速运动的速度大小为 D．当磁场速度时，运动稳定时导线框向下做匀速运动的速度大小为 【答案】D 【详解】A．根据安培定则和楞次定律，可知图示位置处导线框中电流为顺时针，故A错误； B．若导线框恰好静止不动，则有mg=2IdB 导线框中的电流大小为 解得，故B错误； C．当磁场速度时，导线框向上运动的速度为v′，此时 解得，故C错误； D．当磁场速度时，解得，故D正确。 故选D。 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）如图所示，圆心为O、直径的圆形金属导轨内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场。金属杆OP长度与导轨半径相等，单位长度电阻，OP绕O点以角速度逆时针匀速转动并与导轨保持良好接触。O、M两点用导线相连，阻值的电阻和电容的电容器并联在电路中，圆形导轨与导线电阻均不计，电压表V、电流表A均是理想电表。下列说法正确的是（　　） A．流过电阻R的电流方向为b→a B．电流表的读数为1.25A C．电压表的读数为7.5V D．电容器的电荷量为 【答案】CD 【详解】A．OP绕O点逆时针匀速转动，根据右手定则可知，电流从PO流向M点，所以流过电阻R的电流方向为a→b，故A错误； B．电流从PO流向M点，则产生的电动势为 PO的电阻为 电流表的读数为，故B错误； C．电压表的读数为，故C正确； D．电容器两端电压 电容器的电荷量为，故D正确。 故选CD。 10．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图所示，两根平行光滑的金属导轨由四分之一圆弧部分与水平部分构成，弧形部分半径、导轨间距，导轨水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。两根完全相同的金属棒a、b分别垂直导轨静置于圆弧顶端、处和水平导轨上某位置，两金属棒质量均为、接入导轨间的电阻均为。金属棒由静止释放，沿圆弧导轨滑入水平部分，水平导轨足够长，整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，。则以下说法正确的是（    ） A．金属棒刚进入磁场时，金属棒所受安培力大小为 B．金属棒进入磁场后，二者的稳定速度是 C．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，通过金属棒的电荷量为 D．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，金属棒中产生的焦耳热是 【答案】AC 【详解】A．金属棒刚进入磁场时的速度 感应电流 金属棒所受安培力大小为，A正确； B．金属棒进入磁场后，稳定时有动量守恒定律 解得二者的稳定速度是，B错误； C．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，对b根据动量定理 解得通过金属棒的电荷量为，C正确； D．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，金属棒中产生的焦耳热是，D错误。 故选AC。 11．（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）两条平行虚线间存在着垂直于纸面方向的匀强磁场，边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框acde位于纸面内，de边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，de边进入磁场时记为时刻，导线框中产生的感应电动势随时间变化的图像如图乙所示，取感应电流的方向沿acdea方向时，感应电动势为正，则下列说法正确的是（　　） A．磁场区域的宽度为0.1m B．磁感应强度的大小为0.2T C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里 D．0~0.2s内，导线框所受的安培力大小为0.04N 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知，时导线框刚好完全进入磁场，运动距离为导线框边长，导线框运动的速度，时导线框边刚要离开磁场，则磁场区域的宽度，故A错误； B．由图乙可知，时间内，感应电动势大小 解得磁感应强度的大小，故B正确； C．根据楞次定律可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，故C错误； D．内，导线框中的感应电流大小 导线框所受的安培力大小，故D正确。 故选BD。 12．（2025·河北保定·一模）固定在水平面内足够长的光滑平行金属直导轨与电动势E=12V的直流电源、电容C=0.1F的电容器和阻值R=1Ω的定值电阻组成了如图所示的电路。空间内存在方向竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场，质量m=0.1kg、阻值r=0.5Ω的金属棒 ab 静置在水平直导轨上，金属棒 ab 的长度和导轨间距均为L=1m。闭合开关，给电容器充电，经足够长时间后断开，同时将 接“1”，金属棒 ab从静止开始先加速后匀速，匀速运动后将接“2”，金属棒 ab 做减速运动并最终静止在导轨上。已知重力加速度 导轨电阻不计，金属棒 ab始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　） A．电容器完成充电时所带的电荷量为 120C B．金属棒 ab匀速运动时的速度大小为3m /s C．金属棒 ab 加速过程中电容器放出的电荷量为0.6C D．金属棒 ab减速过程中运动的位移大小为0.9m 【答案】CD 【详解】A．电容器完成充电时所带的电荷量，故A错误； BC．在金属棒 ab匀速时，根据法拉第电磁感应定律有 在加速过程中，对金属棒 ab，根据动量定理可得 又 可得 其中 联立解得 ，，故B错误，C正确； D．减速过程中，对金属棒 ab应用动量定理得 又， 联立可得 即 解得x=0.9m，故D正确。 故选CD。 13．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，间距为L的足够长光滑平行导轨固定在水平面上，轨道左端连接阻值为R的定值电阻，质量为m的金属棒放在导轨上，绕过定滑轮的绝缘细线一端连接在金属棒的中点，另一端吊着一个质量为m的重物，用外力作用在金属棒上，使金属棒和重物静止，滑轮与金属棒间的细线水平且与导轨平行，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。撤去外力，金属棒运动t时间时金属棒的加速度刚好为0，此时细线断开，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨和金属棒的电阻不计，重物离地面足够高，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．撤去外力一瞬间，金属棒的加速度大小为g B．金属棒运动过程中的最大速度为 C．金属棒加速运动的距离为 D．细线断后，通过定值电阻的电量为 【答案】BC 【详解】A．撤去外力的一瞬间，根据牛顿第二定律 解得，故A错误； B．设金属棒运动的最大速度为v，根据力的平衡 解得，故B正确； C．金属棒加速运动过程，根据动量定理 即 解得，故C正确； D．细线断后，对金属棒研究，根据动量定理 即 解得，故D错误。 故选BC。 三、解答题 14．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图所示，倾角为间距为足够长的光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上。导轨底端接有阻值为的定值电阻。导轨上方垂直导轨放置一根长度为阻值为质量为的金属棒。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为，重力加速度为，导轨电阻不计。现将金属棒从导轨上由静止释放，经过达到最大速度，金属棒始终未滑到导轨底端。求： (1)金属棒最大速度大小； (2)从金属棒释放到达到最大速度的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当金属棒受力平衡时，具有最大的速度 并且 解得 （2）对金属棒全程使用动量定理 其中， 再由能量守恒可知 定值电阻产热 解得 15．（25-26高二上·浙江·期中）相距为的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为，导轨电阻不计，细杆ab、cd接入电路部分电阻分别为、。整个装置处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab在平行于水平导轨的拉力F作用下，从静止开始以匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。（ab起动瞬间记为0时刻）求： (1)力F随时间变化的规律； (2)经过多长时间cd杆速度达到最大； (3)经过多长时间cd杆速度减为0； (4)若ab杆从开始运动到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了的功，求该过程中，ab杆所产生的焦耳热？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）对ab杆，根据牛顿第二定律得 又 可得 （2）对cd杆，根据牛顿第二定律得 可得 当时，速度最大，解得 （3）由 可知内cd杆做加速度逐渐减小的加速运动，根据对称性可知内cd杆做加速度逐渐增大的减速运动，在时，cd杆速度减为0。 （4）cd杆达到最大速度时，ab杆的速度为 ab杆运动的位移 对ab棒由动能定理得 解得 由功能关系得 则ab杆所产生的焦耳热为 16．（24-25高二下·江苏盐城·月考）如图所示， CD、EF是两条水平放置、阻值可忽略且间距为L的足够长平行金属导轨，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲轨道上端接有一阻值为 R的电阻，水平导轨所在空间存在磁感应强度大小为 B，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将一质量为m、接入电路的阻值为3R的导体棒从弯曲轨道上高为h处由静止释放，导体棒在水平导轨上运动距离 d停止。已知导体棒与水平导轨接触良好，它们之间动摩擦因数为，重力加速度为 g。当导体棒从释放到最终停止过程中，求： (1)通过电阻R的最大电流 (2)电阻R中产生的焦耳热 (3)导体棒在水平导轨上运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒沿着光滑圆弧轨道下滑，最低端速度为 v，根据机械能守恒，有 感应电动势为 速度最大有最大电流 解得 （2）导体棒滑行至停止时，回路中产生的总热量为 Q，根据能量守恒，有 其中 解得 （3）导体棒在水平轨道上运动时，根据动量定理，有 导体棒在水平方向的距离为d，则有 解得 17．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，水平面内有两根固定的足够长、电阻可忽略不计的光滑金属平行导轨，导轨间有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面（水平面）向外，导轨上垂直放着导体棒1和导体棒2，导体棒1和导体棒2开始时距离为d。导体棒的电阻均为R，质量均为m，导轨间距为L。初始时刻导体棒1静止，给导体棒2一个向左的初速度v0。求： (1)初始时刻导体棒1的加速度大小； (2)当导体棒2速度减为v2=0.8v0时（两导体棒未发生碰撞），导体棒1的速度v1的大小； (3)导体棒2速度从v0减为v2=0.8v0的这个过程中，通过回路的电荷量q； (4)当导体棒2速度减为v2=0.8v0时，导体棒1、2之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）回路感应电动势E=BLv0 此时回路电流 导体棒1受到的安培力F=BIL 加速度 整理得 （2）两棒系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有 解得 （3）对导体棒2，根据动量定理有 而 解得 （4）设所求距离为x，导体棒2速度从v0减为0.8v0过程中，有，，， 联立解得 18．（24-25高二下·广东·阶段练习）如图甲所示，在粗糙的水平面上用恒力F拉质量为1kg的单匝均匀正方形铜线框，线框的边长为L=0.5m。在位置1以速度进入磁感应强度为1T的匀强磁场并开始计时，在时线框到达位置2开始离开匀强磁场，此过程中线框图像如图乙所示。线框与水平面的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取。求： (1)恒力F的大小； (2)线框进入磁场的过程，通过铜线横截面的电荷量q； (3)线框穿过磁场区域的过程中，产生的焦耳热Q。 【答案】(1)2.5N (2)3C (3)5.5J 【详解】（1）由图乙可知，1~3s的时间内线框在磁场中做匀加速运动，对应的加速度为 由牛顿第二定律得 解得 （2）根据运动图像可知，线框在0~1s的时间在进入磁场，对线框由动量定理得 根据电流的定义可得 联立解得 （3）由图像乙知，线框在位置2和位置1时的速度是一样的，因而其出磁场时的受力和运动情况与进入磁场的过程完全一样。故线框刚出磁场的速度为 由图像乙知，磁场的宽度为 对线框从1位置到3位置的过程，由功能关系得： 代入数据解得 19．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小为，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接。已知两棒的长度均为L，电阻均为，a、b、c质量均为，金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)将金属棒b锁定，释放金属棒a，求金属棒a的最终速度大小； (2)将金属棒a锁定，同时由静止释放金属棒b和物块c，求金属棒b的速度时的加速度； (3)同时由静止释放金属棒a、b和物块c，求闭合回路的最大电功率。 【答案】(1)(2)加速度大小为，方向沿导轨向上(3) 【详解】（1）金属棒a最终沿导轨向下匀速运动，此时有， 解得 （2）金属棒b的速度时对b、c整体有 又 解得 方向沿导轨向上。 （3）最终金属棒a、b以不同的速度沿导轨匀速运动，此时回路中的电流最大，闭合回路的电功率也最大，设此时回路中的电流为，对金属棒a有 联立得 闭合回路的最大电功率 20．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图甲所示，有一倾角α=37°的光滑平行导轨固定于水平地面上，导轨宽度L=0.1m，在导轨abcd矩形区域内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，该区域面积，匀强磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。在t=0时刻，将一长度为L的导体棒MN于导轨上cd的上方某处平行于cd静止释放，随后导体棒在t=1s时进入磁场区域，并恰好开始做匀速直线运动。已知导体棒MN接入回路的电阻r=2Ω，电阻R=6Ω，其余电阻忽略不计，重力加速度，求： (1)导体棒释放处到cd的距离x； (2)导体棒的质量m； (3)导体棒从静止释放到滑离导轨，整个回路产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2)0.02kg (3)0.8J 【详解】（1）棒从释放到进入磁场，根据牛顿第二定律，有 根据匀变速直线运动规律，有 解得， （2）棒从释放到进入磁场 由图乙可知在t=1s时进入磁场区域，磁感应强度，进入磁场做匀速直线运动，有 又 解得I2=0.3A，m=0.02kg （3）棒从释放到刚进入磁场，感应电流 产生的焦耳热 棒从进入磁场到离开导轨，一直做匀速运动，感应电流 产生的焦耳热 又 解得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：电磁感应模型的动力学、能量问题 【题型归纳】 【技巧归纳】 技巧一：电磁感应中的能量守恒问题的分析方法 1．等效电路的分析：将产生感应电动势的那部分电路等效为电源，画出等效电路图，分析内外电路结构，应用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质等知识进行分析． 2．电磁感应现象中涉及收尾速度问题时的动态分析： 周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态． 3．能量转化与守恒的分析：电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化． 如图金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在R上转化为焦耳热；另一部分转化为金属棒的动能．若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能． 技巧二：电磁感应中的力学问题的分析方法 1．理解电磁感应问题中的两个研究对象及其之间的相互制约关系 2．理解力和运动的动态关系 技巧三：电磁感应中的“杆+导轨”模型 常 见 类 型 单杆水平式(导轨光滑) 设运动过程中某时刻棒的速度为v,加速度为a=-,a,v同向,随v的增加,a减小,当a=0时,v最大,I=恒定 单杆倾斜式(导轨光滑) 杆释放后下滑,开始时a=gsin α,速度v↑→E=BLv↑→I=↑→F=BIL↑→a↓,当F=mgsin α时,a=0,v最大 双杆切割式(导轨光滑) 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度匀速运动.对系统动量守恒,对其中某杆适用动量定理 光滑不等距导轨 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆以不同的速度做匀速运动 含“源”水平光滑导轨(v0=0) S闭合,ab杆受安培力F=,此时a=,速度v↑⇒E感=BLv↑⇒I↓⇒F=BIL↓⇒加速度a↓,当E感=E时,v最大,且vm= 含“容”水平光滑导轨(v0=0) 拉力F恒定,开始时a=,速度v↑⇒E=BLv↑,经过Δt速度为v+Δv,此时E′=BL(v+Δv),电容器增加的电荷量ΔQ=CΔU=C(E′-E)=CBLΔv,电流I==CBL=CBLa,安培力F安=BIL=CB2L2a,F-F安=ma,a=,所以杆做匀加速运动 【题型探究】 题型一：线框模型 【例1】．（2025·广西贵港·模拟预测）如图所示，竖直面内质量为、总电阻为、边长为的正方形导线框由静止释放，边与水平虚线平行，距虚线高度为，虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，重力加速度大小为，在边进入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，始终保持水平，求： (1)导线框进入磁场瞬间的速度大小； (2)导线框进入磁场过程中产生的焦耳热； (3)匀强磁场的磁感应强度大小。 【变式1】．（24-25高二下·福建厦门·期末）晓萌同学设计了一个货物缓降模型，其简化结构如图所示，边长为L的单匝正方形线框abcd总电阻为R，质量为m，通过绝缘细绳跨过滑轮与质量为2m的货物相连，线框上方有两个矩形磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度大小均为B，方向分别为垂直纸面向里、向外，区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为L。货物由静止释放，当ab边进入磁场Ⅰ时，线框恰能匀速运动，不计摩擦，重力加速度大小为g，求： (1)ab边刚进入磁场Ⅰ时线框的速度大小； (2)ab边刚进入磁场Ⅱ时线框的电流大小和加速度大小； (3)若cd边刚离开磁场Ⅱ时的速度大小，求线框穿越磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中产生的焦耳热。 【变式2】．（24-25高二下·江西上饶·期末）如图所示，倾角的粗糙斜面固定在水平面上，斜面上存在一宽度为、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电阻为、边长为的正方形线框通过轻质细线绕过光滑定滑轮与质量的重物相连，线框与斜面间的动摩擦因数。初始时，线框上边与磁场下边界有一定距离，重物离地面足够高，细线处于绷直状态，将系统由静止释放，线框恰好能匀速进入磁场。已知，，重力加速度。 (1)求线框匀速运动时所受安培力的大小； (2)求初始时刻线框上边与磁场下边界的距离； (3)若线框出磁场的时间为，求线框通过整个磁场过程中产生的焦耳热。 题型二：单轨模型（有无外力） 【例2】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动， (1)请分析棒的运动情况？ (2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？ (3)两种情况，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？ 【变式1】．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图甲所示，两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为，连接电阻，边长为的正方形区域存在与水平面成斜向右上方的匀强磁场，磁感应强度随时间变化关系如图乙所示。时，在距磁场左边界处，一长为的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度向右运动，直至通过磁场，棒运动至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为，的阻值为，其他电阻不计，棒与导轨始终垂直且接触良好。求： (1)时间内，中的电流方向及感应电动势； (2)时间内，棒受到的安培力的大小和方向； (3)时间内，上产生的热量． 【变式2】．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图所示，间距为的水平导轨右端接有的定值电阻。虚线与导轨垂直，其左侧有方向竖直向上、大小为的匀强磁场。一质量的金属棒垂直于导轨放置在右侧某处，一重物通过绕过轻质定滑轮的绝缘轻绳与金属棒连接。时，将金属棒由静止释放，在时，金属棒恰好经过边界进入磁场。已知导轨足够长，不计导轨与金属棒电阻，金属棒始终垂直导轨且与导轨接触良好，重物始终未落地，重力加速度g取，不计一切摩擦，求： (1)金属棒刚进入磁场时，电阻的热功率P； (2)金属棒在磁场中运动的最小速度大小； (3)若金属棒进入磁场后时金属棒速度为，则此时金属棒与的距离x。 题型三：单轨模型(有电源） 【例3】．（25-26高三上·湖南·月考）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，右端由导线连接电源，电源电动势为E，内阻为r。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属棒垂直横跨在导轨上，金属棒在水平向左的拉力作用下，由静止开始以大小为的加速度向左做匀加速运动。已知金属棒接入电路的电阻为4r，不计导轨电阻，重力加速度为g。 (1)求金属棒开始运动瞬间受到的安培力大小； (2)求t时刻水平拉力做功的功率P； (3)在t时刻撤去拉力，求从撤去拉力到金属棒向左运动减速到0的过程中金属棒中产生的焦耳热。 【变式1】．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间距为，在导轨上垂直导轨放置一质量为、长度略大于、电阻不计的导体棒，导轨左侧通过导线连接电动势为、内阻为的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关，导体棒开始运动，最终匀速运动，导轨电阻可忽略。 (1)求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量； (2)求从开始到恰匀速运动过程回路产生的焦耳热； (3)若导体棒恰达到匀速状态时的位移，求从开始到恰匀速运动所用的时间。 【变式2】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）近日，一段歼35战机在福建舰航母弹射起飞的视频在网络爆火，舰载机与航母弹射技术的“双向赋能”，标志着我国海军进入大航母时代。受此启发，某同学设计了一个如下图所示的电磁弹射的模型。图中，电源电动势为，内阻为，MN与PQ为水平放置的足够长的金属导轨，间距为。战斗机简化为导体棒ab，垂直放置在金属导轨上，与阻值为的定值电阻R并联在电源两端。整个导轨平面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。闭合开关S，导体棒ab在安培力的作用下向右加速运动，达到电磁弹射的效果。若运动过程中，导体棒ab始终与导轨垂直，导体棒接入电路部分的阻值为，不计其他电阻。 (1)求开关S闭合瞬间，流过导体棒的电流； (2)若导体棒运动过程中受到的阻力恒定，当导体棒运动稳定时，流过电源的电流为5A，求： Ⅰ.导体棒运动过程中受到的阻力； Ⅱ.体棒运动的最大速度； Ⅲ.运动过程中，导体棒可等效为一直流“电动机”，求稳定时“电动机”的效率。 题型四：单轨模型（含电容器） 【例4】．（24-25高二下·福建宁德·期末）如图所示，水平光滑金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为，两侧导轨间接有的电容器，a、b杆静止于左侧导轨上，两杆质量均为m，电阻均为R。初始时电容器不带电，现给a杆一水平向右的初速度v0，一段时间后b杆以的速度无障碍地进入右侧导轨。两侧导轨足够长，整个运动过程中a、b两杆始终与导轨垂直且接触良好，a杆未进入右侧导轨且不与b杆发生碰撞。已知重力加速度为g，求： (1)b杆刚开始运动时的加速度大小； (2)进入右侧导轨前，b杆中产生的热量； (3)最终稳定时，电容器所带的电量。 【变式1】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图所示，固定于绝缘水平面上的光滑导轨是由倾斜金属导轨和水平足够长的金属导轨共同组成，倾斜导轨底部G、H用绝缘材料（绝缘材料大小忽略不计）与水平导轨相接，导轨左端EF间接有一电容器C，导轨右端接有一降压限流器（其作用是：当电路电流大于等于0.2A时能保持电路中电流恒为0.2A，电流小于0.2A时相当于短路）和一定值电阻R。倾斜导轨间有方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场B1，水平导轨间有方向竖直向上的匀强磁场B2，磁感应强度大小B1=B2=0.5T。现将倾斜导轨上的导体棒MN由静止释放，导体棒立即做匀加速运动，到达底端GH时的速度大小为v0=8m/s，当MN经过GH后速度立即减为原来的一半。整个过程中，导体棒MN与导轨垂直且接触良好。已知电容器的电容C=2F，导体棒MN的质量m=0.01kg，导轨宽度均为d=0.1m，倾斜轨道的倾角θ=37°，定值电阻R=0.5Ω，其余电阻均不计，不计任何摩擦阻力。 (1)MN在倾斜导轨上运动时，电容器的 端电势高（选填“E”或“F”）； (2)MN在倾斜轨道上运动时的加速度a为多大？ (3)MN越过GH后，还能运动的距离x和通过降压限流器上的电荷量q各为多少？ (4)在MN的整个运动过程中，降压限流器上产生的热量Q为多少？ 【变式2】．（24-25高二下·河北承德·期末）如图所示，光滑平行导轨相距，导轨左侧部分位于水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，右侧部分位于倾角为的斜面上，处于垂直斜面向下的匀强磁场中，两磁场磁感应强度大小均为，定值电阻，电容器电容。质量为、长为的金属棒与导轨垂直放置，将开关与电阻相连，某时刻给金属棒施加一个与金属棒垂直、大小为的拉力方向始终平行于导轨平面（水平部分水平向右，倾斜部分沿斜面向上），经过金属棒运动到达斜面的最下端，此时把开关与电阻断开（但不与电容器连接），金属棒在作用下继续沿斜面向上运动，不计转弯处机械能损失，金属棒和导轨自身电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，重力加速度取。 (1)求金属棒到达斜面底端时的速度大小； (2)求电阻上产生的热量； (3)当金属棒沿斜面运动最远时，开关与电容器接通，此时开始计时（拉力仍在），求金属棒经过多长时间回到斜面底端。 题型五：单轨模型（竖直方向） 【例5】．（24-25高二下·陕西榆林·期末）如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，给空间加入方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，给棒一个向左的初速度，棒向左运动，最终停在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路内产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过棒的电荷量。 【变式1】．（24-25高二下·北京平谷·期末）如图1所示是依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，具有操作简单、无需电能、逃生高度不受限制，下降速度可调、可控等优点。该装置原理可等效为：间距为L的两根竖直导轨上部连通，人和磁铁固定在一起沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度为B的匀强磁场。人和磁铁所经位置处，可等效为有一固定导体棒cd与导轨相连，整个装置总电阻始终为R，如图2所示。在某次逃生试验中，质量为M的测试者从静止开始下滑，当滑行的距离为x时，该装置开始匀速下滑。已知与人一起下滑部分装置的质量m，重力加速度为g，忽略本次试验过程中的摩擦阻力。 (1)判断导体棒cd中电流的方向； (2)求该装置匀速下滑时的速度v； (3)求该装置向下滑行x距离的过程中，通过导体棒某横截面的电荷量q。 【变式2】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）如图1所示，间距为的平行金属导轨、足够长，左侧连接一个电动势为、内阻可忽略不计的电源。定值电阻阻值、导体棒阻值均为，导体棒质量为m，导体棒运动时始终处在宽度为、磁感应强度为的匀强磁场中，且导体棒运动时金属导轨对其阻力大小恒为。起初导体棒静止，求： (1)时刻闭合开关S，导体棒由静止开始运动， ①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小； ②导体棒达到稳定运动状态时，是匀速直线运动还是匀变速直线运动？若为匀速直线运动，求此时的速度大小；若为匀变速直线运动，求此时的加速度大小； (2)对图1电路进行修改，将一个电容为的电容器并联在导体棒两端（电容较大，且起初电容器不带电），构成如图2所示电路，其他条件均不变。时刻闭合开关，经过时间导体棒已达到匀速运动状态。 ①开关闭合瞬间，导体棒的加速度大小； ②时间内通过电源的电荷量。 题型六：单轨模型（倾斜方向） 【例6】．（25-26高二上·江苏南通·月考）如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 【变式1】．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨、固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜而有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒沿导轨向下运动的速度时，的加速度大小； (2)金属棒沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率； (3)若从金属棒开始下滑至达到最大速度过程中，流经电阻R上的电量为，求此过程中电阻R上产生的焦耳热。 【变式2】．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图所示，倾角为θ=37°的粗糙金属轨道固定放置，导轨间距，电阻不计。沿轨道向下建立x轴，O为坐标原点。OO'为两磁场分界线且垂直于x轴。在区域存在方向垂直轨道平面向下，磁感应强度大小为的匀强磁场；在x≥0区域存在方向垂直轨道平面向上，磁感应强度大小。初始状态，U形框cdef锁定在轨道平面上，c、f分别与O'、O重合，U形框质量为由阻值的金属棒de和两根绝缘棒cd、ef组成，三边长均为L=1m。另有质量为，长为、阻值的金属棒ab在离OO'一定距离处获得沿轨道向下的初速度，金属棒及U形框与轨道间的动摩擦因数均为μ=0.75。金属棒及U形框始终与轨道接触良好，形成闭合回路，不计金属轨道及接触点的电阻，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度 (1)若金属棒ab的初速度为，求初始时刻流过金属棒ab的电流大小及金属棒de受到安培力的大小； (2)若金属棒ab获得初速度v₂的同时，解除对U形框的锁定，为保持U形框仍静止，求v2的最大值； (3)若金属棒ab以初速度从处开始运动，同时解除对U形框的锁定，金属棒ab与U形框会发生完全非弹性碰撞，求碰撞结束瞬间金属棒ab与U形框共同的速度。 题型七：双杆模型（等宽） 【例7】．（25-26高二下·全国·随堂练习）如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝3T。两导轨间距为L＝0.5m，导轨足够长。金属棒a和b的质量分别为＝1kg、＝0.5kg，电阻分别为＝1Ω、＝2Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝1.8 m高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，两棒始终不相碰。g取10m/s2。求： (1)a棒刚进入磁场时，b棒的加速度； (2)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，流过a棒的电荷量； (3)从a棒进入磁场到a棒匀速运动的过程中，a棒中产生的焦耳热。 【变式1】．（25-26高三上·湖南·期中）如图，光滑水平面固定着间距为L 的长直平行金属导轨 HF（导轨电阻不计），导轨右侧垂直放有一质量为m、长为L的金属导体棒b，其电阻为R。金属导轨 HF左侧有一质量为m、半径为L 的四分之一光滑绝缘圆弧轨道（不固定），现将一根与导体棒b完全相同的导体棒a置于圆弧轨道最高处并由静止释放，其运动至轨道最低处时正好无能量损失地滑上金属导轨 HF，且导体棒a与导轨 HF 垂直。已知空间中存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场，两导体棒在导轨 HF上运动时始终与导轨接触良好，且两导体棒之间永不相碰。重力加速度为g。求： (1)求导体棒a刚滑上金属导轨HF时，导体棒a 两端电压大小； (2)若导轨HF光滑，则从导体棒a滑上导轨HF到运动状态稳定，导体棒a产生的焦耳热； (3)若两导体棒与导轨HF的动摩擦因数均为μ，且导体棒b在安培力作用下能够运动起来，则从a棒滑上导轨后开始计时，到b棒速度最大时，两棒之间的相对位移大小。 【变式2】．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图甲所示，两条平行光滑水平导轨间距为，左右两侧折成倾斜导轨，其倾角均为，左侧轨道高为。导轨水平部分有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。导体棒固定在左侧导轨最高点，固定在水平导轨上，与左侧轨道底端相距为，导体棒、长均为、电阻均为，质量分别为和。从0时刻开始，静止释放导体棒，当到达左侧轨道底端时立即释放导体棒。不计导轨电阻和空气阻力，已知，，，，。（结果保留根号）求： (1)导体棒在左侧导轨上运动的过程中导体棒产生的焦耳热； (2)若水平导轨足够长，且两棒在水平导轨上不会相撞，从ab棒释放开始到两棒在水平导轨上运动稳定的整个过程中通过导体棒截面的电荷量是多少； (3)在（2）的条件下，若右侧倾斜导轨足够长，且导体棒落在倾斜导轨上时立即被锁定，求导体棒此时距的距离。 题型八：双杆模型（不等宽） 【例8】．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L和2L，分别处于磁感应强度大小为2B和B的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为R的电阻。金属棒a、b分别置于左、右两侧导轨上，a的电阻为r、长度为L、质量为m，b的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S断开，静止的两棒用绝缘丝线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。剪断丝线，弹簧恢复原长时，a恰好脱离导轨，b速度大小为，此时闭合S。已知弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求 (1)初始时刻a棒距导轨左端的距离； (2)弹簧恢复原长过程中，a棒上产生的热量； 【变式1】．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定在水平面内的平行且足够长的光滑金属导轨均处在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，AB、CD相距2L，EI、GH相距L，质量均为m，长度分别为2L、L的金属杆MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计。 (1)若金属杆MN固定，金属杆PQ受到水平向右的恒力F，求金属杆PQ的最大速度及此时PQ两点的电压； (2)若两杆均不固定，金属杆PQ和MN分别同时受到水平向右、向左的恒力F、2F，求金属杆PQ的最大速度。 【变式2】．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州·期中）如图所示，间距为的两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，底端接阻值为的电阻。将质量为的金属棒悬挂在固定的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场垂直。重力加速度大小为，除电阻外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，下降的高度达到最大速度，该过程所用时间为。则（　　） A．释放瞬间金属棒的加速度小于 B．金属棒的最大速度为 C．该过程电阻产生的焦耳热为 D．该过程电阻产生的焦耳热等于金属棒减小的机械能 2．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，正方形线圈ABCD在外力控制下，以恒定速度v向右匀速穿过磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度大于线圈边长L。下列分析正确的是（　　） A．线圈进入磁场过程中，CD间电势差为BLv/4 B．线圈完全处于磁场中时，AB间电势差为0 C．若速度变为2v，则整个过程线圈中产生的热量将变为原来的2倍 D．若速度变为2v，则进入磁场过程中通过导线横截面的电荷量变为原来的2倍 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，两足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，恒力F作用在金属棒cd上，金属棒ab、cd以相同的加速度沿导轨滑动，已知某时刻cd棒的速度，ab棒的速度，且，之后某时刻撤去F。已知运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，下列说法中正确的是（　　） A．撤去F前，回路中的感应电流为0 B．撤去F前，两棒间距恒定 C．撤去F后，两棒之间距离将增大直到同速 D．撤去F后，两棒在相等时间内产生的焦耳热相同 4．（24-25高二下·湖北武汉·月考）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中拉力的最大值为 B．金属棒加速的时间为 C．减速阶段通过金属棒的电荷量为 D．加速过程中拉力做的功为 5．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为L的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面向外的匀强磁场。已知金属框阻值为R；在时间内，磁感应强度大小随时间t均匀增加。以下说法正确的是（　　） A．金属框内的感应电流为逆时针方向 B．感应电动势大小为 C．感应电流大小为 D．Δt时间内金属框产生的焦耳热为 6．（24-25高二下·山东·月考）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长、间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．金属杆在磁场中运动时，回路中电流沿顺时针方向 B．金属杆经过时的速度小于 C．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 D．金属杆经过与区域过程中，所受安培力的冲量相同 7．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　） A．杆的速度越来越小，直到减小为零 B．杆的速度越来越小，稳定后速度 C．电容的电荷量越来越大，最大值为 D．电流强度越来越大 8．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）如图所示为一种电磁装置，间距为d的两根足够长的平行长直金属导轨竖直固定放置，导轨间相间分布大小相等、方向相反、长度均为l的磁场，磁感应强度大小均为B。当这些磁场以速度v竖直向上运动时，跨在两导轨间的质量为m、宽为d、长为l、电阻为R的单匝导线框MNPQ将受到向上的安培力，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．图示位置处导线框中的电流方向为逆时针 B．当磁场速度时，导线框恰好静止不动 C．当磁场速度时，运动稳定时导线框向上做匀速运动的速度大小为 D．当磁场速度时，运动稳定时导线框向下做匀速运动的速度大小为 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江宁波·期中）如图所示，圆心为O、直径的圆形金属导轨内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场。金属杆OP长度与导轨半径相等，单位长度电阻，OP绕O点以角速度逆时针匀速转动并与导轨保持良好接触。O、M两点用导线相连，阻值的电阻和电容的电容器并联在电路中，圆形导轨与导线电阻均不计，电压表V、电流表A均是理想电表。下列说法正确的是（　　） A．流过电阻R的电流方向为b→a B．电流表的读数为1.25A C．电压表的读数为7.5V D．电容器的电荷量为 10．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图所示，两根平行光滑的金属导轨由四分之一圆弧部分与水平部分构成，弧形部分半径、导轨间距，导轨水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。两根完全相同的金属棒a、b分别垂直导轨静置于圆弧顶端、处和水平导轨上某位置，两金属棒质量均为、接入导轨间的电阻均为。金属棒由静止释放，沿圆弧导轨滑入水平部分，水平导轨足够长，整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，。则以下说法正确的是（    ） A．金属棒刚进入磁场时，金属棒所受安培力大小为 B．金属棒进入磁场后，二者的稳定速度是 C．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，通过金属棒的电荷量为 D．从金属棒进入磁场到二者达到稳定速度的过程中，金属棒中产生的焦耳热是 11．（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）两条平行虚线间存在着垂直于纸面方向的匀强磁场，边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框acde位于纸面内，de边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，de边进入磁场时记为时刻，导线框中产生的感应电动势随时间变化的图像如图乙所示，取感应电流的方向沿acdea方向时，感应电动势为正，则下列说法正确的是（　　） A．磁场区域的宽度为0.1m B．磁感应强度的大小为0.2T C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里 D．0~0.2s内，导线框所受的安培力大小为0.04N 12．（2025·河北保定·一模）固定在水平面内足够长的光滑平行金属直导轨与电动势E=12V的直流电源、电容C=0.1F的电容器和阻值R=1Ω的定值电阻组成了如图所示的电路。空间内存在方向竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场，质量m=0.1kg、阻值r=0.5Ω的金属棒 ab 静置在水平直导轨上，金属棒 ab 的长度和导轨间距均为L=1m。闭合开关，给电容器充电，经足够长时间后断开，同时将 接“1”，金属棒 ab从静止开始先加速后匀速，匀速运动后将接“2”，金属棒 ab 做减速运动并最终静止在导轨上。已知重力加速度 导轨电阻不计，金属棒 ab始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　） A．电容器完成充电时所带的电荷量为 120C B．金属棒 ab匀速运动时的速度大小为3m /s C．金属棒 ab 加速过程中电容器放出的电荷量为0.6C D．金属棒 ab减速过程中运动的位移大小为0.9m 13．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，间距为L的足够长光滑平行导轨固定在水平面上，轨道左端连接阻值为R的定值电阻，质量为m的金属棒放在导轨上，绕过定滑轮的绝缘细线一端连接在金属棒的中点，另一端吊着一个质量为m的重物，用外力作用在金属棒上，使金属棒和重物静止，滑轮与金属棒间的细线水平且与导轨平行，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。撤去外力，金属棒运动t时间时金属棒的加速度刚好为0，此时细线断开，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨和金属棒的电阻不计，重物离地面足够高，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．撤去外力一瞬间，金属棒的加速度大小为g B．金属棒运动过程中的最大速度为 C．金属棒加速运动的距离为 D．细线断后，通过定值电阻的电量为 三、解答题 14．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图所示，倾角为间距为足够长的光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上。导轨底端接有阻值为的定值电阻。导轨上方垂直导轨放置一根长度为阻值为质量为的金属棒。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为，重力加速度为，导轨电阻不计。现将金属棒从导轨上由静止释放，经过达到最大速度，金属棒始终未滑到导轨底端。求： (1)金属棒最大速度大小； (2)从金属棒释放到达到最大速度的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。 15．（25-26高二上·浙江·期中）相距为的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为，导轨电阻不计，细杆ab、cd接入电路部分电阻分别为、。整个装置处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab在平行于水平导轨的拉力F作用下，从静止开始以匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。（ab起动瞬间记为0时刻）求： (1)力F随时间变化的规律； (2)经过多长时间cd杆速度达到最大； (3)经过多长时间cd杆速度减为0； (4)若ab杆从开始运动到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了的功，求该过程中，ab杆所产生的焦耳热？ 16．（24-25高二下·江苏盐城·月考）如图所示， CD、EF是两条水平放置、阻值可忽略且间距为L的足够长平行金属导轨，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲轨道上端接有一阻值为 R的电阻，水平导轨所在空间存在磁感应强度大小为 B，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将一质量为m、接入电路的阻值为3R的导体棒从弯曲轨道上高为h处由静止释放，导体棒在水平导轨上运动距离 d停止。已知导体棒与水平导轨接触良好，它们之间动摩擦因数为，重力加速度为 g。当导体棒从释放到最终停止过程中，求： (1)通过电阻R的最大电流 (2)电阻R中产生的焦耳热 (3)导体棒在水平导轨上运动的时间t。 17．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，水平面内有两根固定的足够长、电阻可忽略不计的光滑金属平行导轨，导轨间有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面（水平面）向外，导轨上垂直放着导体棒1和导体棒2，导体棒1和导体棒2开始时距离为d。导体棒的电阻均为R，质量均为m，导轨间距为L。初始时刻导体棒1静止，给导体棒2一个向左的初速度v0。求： (1)初始时刻导体棒1的加速度大小； (2)当导体棒2速度减为v2=0.8v0时（两导体棒未发生碰撞），导体棒1的速度v1的大小； (3)导体棒2速度从v0减为v2=0.8v0的这个过程中，通过回路的电荷量q； (4)当导体棒2速度减为v2=0.8v0时，导体棒1、2之间的距离。 18．（24-25高二下·广东·阶段练习）如图甲所示，在粗糙的水平面上用恒力F拉质量为1kg的单匝均匀正方形铜线框，线框的边长为L=0.5m。在位置1以速度进入磁感应强度为1T的匀强磁场并开始计时，在时线框到达位置2开始离开匀强磁场，此过程中线框图像如图乙所示。线框与水平面的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取。求： (1)恒力F的大小； (2)线框进入磁场的过程，通过铜线横截面的电荷量q； (3)线框穿过磁场区域的过程中，产生的焦耳热Q。 19．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小为，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根金属棒a、b放置在导轨上，并将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接。已知两棒的长度均为L，电阻均为，a、b、c质量均为，金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)将金属棒b锁定，释放金属棒a，求金属棒a的最终速度大小； (2)将金属棒a锁定，同时由静止释放金属棒b和物块c，求金属棒b的速度时的加速度； (3)同时由静止释放金属棒a、b和物块c，求闭合回路的最大电功率。 20．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图甲所示，有一倾角α=37°的光滑平行导轨固定于水平地面上，导轨宽度L=0.1m，在导轨abcd矩形区域内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，该区域面积，匀强磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。在t=0时刻，将一长度为L的导体棒MN于导轨上cd的上方某处平行于cd静止释放，随后导体棒在t=1s时进入磁场区域，并恰好开始做匀速直线运动。已知导体棒MN接入回路的电阻r=2Ω，电阻R=6Ω，其余电阻忽略不计，重力加速度，求： (1)导体棒释放处到cd的距离x； (2)导体棒的质量m； (3)导体棒从静止释放到滑离导轨，整个回路产生的焦耳热Q。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $