专题08圆锥曲线之极点极线 导学案——2026届高三数学二轮复习

该高中数学导学案聚焦圆锥曲线极点与极线专题，系统整合代数几何定义、配极原则等核心考点，按“定义-性质-应用”逻辑链串联定点定值等高频题型，通过预习案问题链和探究案任务驱动，引导学生自主梳理知识联系，构建从基础定义到综合应用的认知框架。 亮点在于诊断性预习与探究式学习设计，如预习案通过2024年三模压轴题引导学生自主发现困惑，探究案“极点定线运动求极线定点”小组讨论培养数学思维，结合课堂真题演练提升解题能力，助力学生自主诊断薄弱环节，教师可借学情反馈精准指导，培养用数学眼光观察几何关系的素养，支持个性化复习与因材施教。

河北衡水重点中学 备课组长： 审核人： 班级： 学生姓名： 组内评价： 教师评价： 二轮专题08 圆锥曲线——极点与极线 【学习目标】 1.掌握极点极线的代数定义与几何定义，明确其与圆锥曲线的对应关系。 2.能运用极点极线的核心性质解决定点、定值、存在性等高频题型。 3.熟练掌握极点极线相关的解题技巧，提升解析几何大题的解题效率与准确率 【学习重点、难点】 重点：极点极线的代数表达式与几何意义（切点弦、轨迹关系等）。配极原则、调和共轭等核心性质的应用。定点问题、切点弦方程相关题型的常规解法与秒杀技巧 难点：从射影几何 “高观点” 理解极点极线与高中解析几何的衔接。复杂题型中极点极线性质与韦达定理、弦长公式的综合运用。 方法点拨：（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为 ，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 预习案 1． 模拟题(压轴题)再现 例1. （2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 这题你的想法及存在的困惑： 探究案 探究一：极线过定点的条件分析 问题：已知椭圆 ，若极点 P 在直线  上运动，求极点 P 对应的极线所过的定点。 小组讨论：如何将 “极点在定直线上” 转化为 “极线过定点”？需要用到哪些核心性质？ 思考：疑问 1：极线方程与极点坐标的关系是什么？如何将极点满足的直线方程代入极线方程？疑问 2：对于含参数的直线方程，如何判断其过定点？（提示：整理为关于参数的恒等式）结论推导： （设 ，则 （），极线方程为 ，代入  得 ，整理为 ，联立 ，得定点 。） 1. 质疑解疑、合作探究 极点极线与韦达定理的综合应用 问题：已知双曲线 ，过点  作双曲线的割线 AB，交双曲线于  两点，过  作双曲线的切线交于点 Q，求证：Q 的轨迹即为 P 对应的极线。 小组分工： 第一组：用代数方法设 ，，写出过  的切线方程，联立求 Q 的坐标；第二组：利用极点极线的定义，直接推导 Q 满足的方程； 第三组：对比两种方法的差异，总结综合题中 “设而不求” 与极点极线的结合技巧。 质疑解疑：疑问：若 P 在双曲线上，Q 的轨迹会退化为什么？与切线方程是否一致？ 探究2：抛物线的极点极线性质应用题干： 2.已知抛物线 ，点 （t为常数），过P作抛物线的两条切线（切点为 ），过 P 再作抛物线的割线PCD（交抛物线于），过作抛物线的切线交于点 Q。探究方向：求切点弦 AB 的方程（用t表示）；证明：直线 PQ 恒过定点，并求出该定点坐标； 若 ，求  的面积最小值。提示：利用抛物线的极线方程 （此处 ）；结合配极原则，分析对应的极线关系；面积计算可转化为弦长与点到直线距离的乘积的一半。 例 2（2024高三·全国·专题练习）如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 课堂训练： 变式2. （2025高三·全国·专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线G的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x；以替换，以替换y，即可得到对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为．即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． （二）极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 课后强化训练： 3. (多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是(　　) A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2 =r2，则关于点P的极线方程为x0x + y0y = r2 B.已知点P(x0，y0)在椭圆 + =1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为 + =1 C.对于双曲线 - =1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1 D.对于抛物线y2 = 2px，若点P ，则对应的极线为抛物线的准线 变式训练：1、过椭圆C： + =1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在的直线方程为 　　 2、已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝a cosα，y0＝b sinα，则直线l：＋＝1与椭圆的位置关系是 3、(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $河北衡水重点中学 备课组长： 审核人： 班级： 学生姓名： 组内评价： 教师评价： 二轮专题08 圆锥曲线——极点与极线 【学习目标】 1.掌握极点极线的代数定义与几何定义，明确其与圆锥曲线的对应关系。 2.能运用极点极线的核心性质解决定点、定值、存在性等高频题型。 3.熟练掌握极点极线相关的解题技巧，提升解析几何大题的解题效率与准确率 【学习重点、难点】 重点：极点极线的代数表达式与几何意义（切点弦、轨迹关系等）。配极原则、调和共轭等核心性质的应用。定点问题、切点弦方程相关题型的常规解法与秒杀技巧 难点：从射影几何 “高观点” 理解极点极线与高中解析几何的衔接。复杂题型中极点极线性质与韦达定理、弦长公式的综合运用。 方法点拨：（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为 ，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 预习案 1． 模拟题(压轴题)再现 例1. （2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 这题你的想法及存在的困惑： 探究案 探究一：极线过定点的条件分析 问题：已知椭圆 ，若极点 P 在直线  上运动，求极点 P 对应的极线所过的定点。 小组讨论：如何将 “极点在定直线上” 转化为 “极线过定点”？需要用到哪些核心性质？ 思考：疑问 1：极线方程与极点坐标的关系是什么？如何将极点满足的直线方程代入极线方程？疑问 2：对于含参数的直线方程，如何判断其过定点？（提示：整理为关于参数的恒等式）结论推导： （设 ，则 （），极线方程为 ，代入  得 ，整理为 ，联立 ，得定点 。） 1. 质疑解疑、合作探究 极点极线与韦达定理的综合应用 问题：已知双曲线 ，过点  作双曲线的割线 AB，交双曲线于  两点，过  作双曲线的切线交于点 Q，求证：Q 的轨迹即为 P 对应的极线。 小组分工： 第一组：用代数方法设 ，，写出过  的切线方程，联立求 Q 的坐标；第二组：利用极点极线的定义，直接推导 Q 满足的方程； 第三组：对比两种方法的差异，总结综合题中 “设而不求” 与极点极线的结合技巧。 质疑解疑：疑问：若 P 在双曲线上，Q 的轨迹会退化为什么？与切线方程是否一致？ 探究2：抛物线的极点极线性质应用题干： 2.已知抛物线 ，点 （t为常数），过P作抛物线的两条切线（切点为 ），过 P 再作抛物线的割线PCD（交抛物线于），过作抛物线的切线交于点 Q。探究方向：求切点弦 AB 的方程（用t表示）；证明：直线 PQ 恒过定点，并求出该定点坐标； 若 ，求  的面积最小值。提示：利用抛物线的极线方程 （此处 ）；结合配极原则，分析对应的极线关系；面积计算可转化为弦长与点到直线距离的乘积的一半。 例 2（2024高三·全国·专题练习）如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 课堂训练： 变式2. （2025高三·全国·专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线G的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x；以替换，以替换y，即可得到对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为．即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． （二）极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 课后强化训练： 3. (多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是(　　) A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2 =r2，则关于点P的极线方程为x0x + y0y = r2 B.已知点P(x0，y0)在椭圆 + =1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为 + =1 C.对于双曲线 - =1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1 D.对于抛物线y2 = 2px，若点P ，则对应的极线为抛物线的准线 变式训练：1、过椭圆C： + =1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在的直线方程为 　　 2、已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝a cosα，y0＝b sinα，则直线l：＋＝1与椭圆的位置关系是 3、(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 二轮专题08答案： 例1.【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【分析】（1）由题意得，，再结合，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程； （2）①由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，然后分和两种情况证明；②设点，然后由①可得过点的切线方程和过点的切线方程，则可求出割线的方程，同时可求出切点弦的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 例2. 【答案】证明见解析 【分析】解法一：设，则，且，联立直线与直线，解得点坐标，对于直线 ，令，可得点坐标，然后通过两点得直线的方程，故直线过定点.解法二：设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为直线，根据点在直线上，设的坐标为，得直线的方程，然后化解即可求定点. 【详解】解法一：常规方法 设，则，且，, 直线，直线：， 联立解得． 直线的方程为， 令，可得． 所以的斜率为 ． 直线的方程为， 即． 显然当时，， 因此直线过定点． 解法二：极点极线 如图，设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为． 因为点在直线：上， 设的坐标为， 则直线的方程为， 即． 由得 故直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的定点问题，解题的关键在于设点，则，结合直线方程用表示的坐标，计算量较大，容易混淆. 变式2. 【分析】（1）根据给定条件，判断直线与椭圆的位置关系，求得点对应的极线方程，进而求出定点，再利用点差法求解即得； （2）求出极线方程，并与椭圆方程联立求出弦长及点到直线的距离，进而求得三角形面积的函数关系，利用导数求出最大值即得． 【详解】（1）设点，由点P在直线上运动，得，    由，消去y并整理得， 显然， 即此方程组无实数解，于是直线与椭圆G相离，即点P在椭圆G外， 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线， 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 显然定点T的坐标与的取值无关，即有，解得， 所以存在定点恒在直线MN上， 当时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设直线MN的斜率为k， 则，两式相减并整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即． （2）由（1）知直线AB的方程为，由题意知，    由，消去y并整理得：， 而，则， 设，则， 所以 ， 点P到直线AB的距离为：， 因此面积， 当时，令， 求导得，即在单调递增，则的最大值为， 由对称性可知当时，的最大值也为，所以面积的最大值为． 课后强化训练：第 3 题（多选）答案：解析：选项 A：圆的极线方程通用形式为 “若点，圆，则极线方程为”，与P的位置无关，故 A 正确。选项 B：椭圆的极线方程通用形式为（无论P在椭圆内、外、上），故 B 正确。选项 C：双曲线的极线方程应为（符号与双曲线方程一致），选项中写为 “”，故 C 错误。选项 D：抛物线的极线方程为，代入得：，即，而抛物线的准线正是，故 D 正确。 变式训练 1 答案：解析：根据极点极线的配极原则：点P的极线是直线AB，点Q的极线是直线CD；点在AB和CD上，因此M在P、Q的极线上；反之，P、Q必在M对应的极线上，故PQ即为M对应的极线。椭圆的极线方程为，代入得：整理得：。 变式训练 2 答案：解析：由，，代入椭圆方程得：说明点在椭圆上。而直线是椭圆在点P处的切线方程，因此直线l与椭圆相切。 变式训练 3（多选）答案：解析：圆的圆心为，半径为r，直线的圆心距为：选项 A：若A在圆C上，则，故（等于半径），直线l与圆相切，A 正确。选项 B：若A在圆C内，则，故（距离大于半径），直线l与圆相离，B 正确。选项 C：若A在圆C外，则，故（距离小于半径），直线l与圆相交，C 错误。选项 D：若A在直线l上，则，即（A在圆C上），结合选项 A，直线l与圆相切，D 正确。 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $