1-6单元知识汇总（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

本讲义系统覆盖人教版三年级下册1-6单元核心知识点，包括生活中的运动现象（轴对称、平移、旋转）、除数是一位数的除法（计算与应用）、长方形和正方形（周长与面积）、数据整理、年月日、小数初步认识，知识点由具体到抽象，层层递进，构建完整知识支架。 资料亮点在于每个考点设方法点拨、典型例题及对应练习，通过购物计算、铺砖问题等生活实例培养数学眼光，例题精讲提升运算能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识，有效落实核心素养。

三年级下册数学同步讲义 【人教版数学教材】 【2026新版升级】 三年级下册数学 1-6单元同步讲义 考点汇总＋例题精讲＋对应练习 班级： 姓名： 学号： 三年级下册数学同步讲义 【内部学习资料】 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 第一单元生活中的运动现象 【考点一】认识轴对称图形 【考点二】对称轴的数量 【考点三】对称轴的画法 【考点四】补全轴对称图形 【考点五】轴对称问题其一：对应点距离问题 【考点六】轴对称问题其二：剪纸问题 【考点七】轴对称问题其三：镜像问题 【考点八】认识平移和平移现象 【考点九】认识旋转和旋转现象 第二单元除数是一位数的除法·计算篇 【考点一】口算除法 【考点二】两位数除以一位数的笔算除法 【考点三】三位数除以一位数的笔算除法 【考点四】商中间有0的除法 【考点五】商中间有0时，被除数的填法 【考点六】商末尾有0（被除数末尾是否是0）的除法 【考点七】商末尾有0时，被除数的填法 【考点八】估算除法 【考点九】除法竖式的意义 【考点十】算式之间的大小比较 【考点十一】判断商的位数 【考点十二】除法中的数量关系（有余数的除法） 【考点十三】寻找最大值 【考点十四】错解（错看）问题（错中求解） 【考点十五】思维拓展：算式谜问题 第二单元除数是一位数的除法·应用篇 【考点一】除法的基本应用题其一：口算除法 【考点二】除法的基本应用题其二：能除尽的笔算除法 【考点三】除法的基本应用题其三：有余除法 【考点四】解决实际问题的三种方法其一：“四舍五入法” 【考点五】解决实际问题的三种方法其二：“进一法” 【考点六】解决实际问题的三种方法其三：“去尾法” 【考点七】在生活实际问题中比较大小 【考点八】归一问题其一：直接归一 【考点九】归一问题其二：返回归一 【考点十】归一问题其三：两次归一 【考点十一】归总问题其一：直接型 【考点十二】归总问题其二：复合型 【考点十三】倍数问题其一 【考点十四】倍数问题其二 【考点十五】除法混合运算应用题其一：除加混合 【考点十六】除法混合运算应用题其二：除减混合 【考点十七】除法混合运算应用题其三：复合型 【考点十八】倒水问题 【考点十九】周期问题 第三单元长方形和正方形·基础篇 【考点一】认识四边形 【考点二】认识长方形和正方形 【考点三】数长方形和正方形 【考点四】周长的认识和大小比较 【考点五】计算图形的周长 【考点六】长方形的周长及反求 【考点七】长方形周长与实际应用 【考点八】正方形的周长及反求 【考点九】正方形周长与实际应用 【考点十】画指定长度或周长的长方形和正方形 第三单元长方形和正方形·提高篇 【考点一】问题一：长方形和正方形的等长转化问题 【考点二】问题二：长方形中的最大正方形问题 【考点三】问题三：一边靠墙问题 【考点四】问题四：图形的裁剪问题 【考点五】问题五：图形的拼接问题 【考点六】巧求周长：阶梯型 【考点七】巧求周长：陷阱型 【考点八】巧求周长：混合型 【考点九】巧求周长：折叠图形 【考点十】巧求周长：重叠图形 第四单元图形的面积·基础篇 【考点一】面积的概念认识 【考点二】面积的大小比较 【考点三】面积单位的认识和选择 【考点四】面积的估测 【考点五】面积单位的进率和换算 【考点六】面积单位的大小比较 【考点七】长方形的面积及反求长或宽 【考点八】长方形的面积与生活实际应用 【考点九】正方形的面积与生活实际应用 【考点十】画指定面积的长方形和正方形 第四单元图形的面积·提高篇 【考点一】长方形的面积增减变化问题其一 【考点二】长方形的面积增减变化问题其二 【考点三】长方形的面积增减变化问题其三 【考点四】正方形的面积增减变化问题其一 【考点五】正方形的面积增减变化问题其二 【考点六】长方形中的最大正方形 【考点七】等长转化问题 【考点八】长方形和正方形的面积最值问题 【考点九】长方形或正方形一边靠墙的问题 【考点十】长方形的拼接裁剪问题 【考点十一】正方形的拼接裁剪问题 【考点十二】铺砖问题其一：铺砖数量 【考点十三】铺砖问题其二：总面积 【考点十四】铺砖问题其三：确定最优方案 【考点十五】正方形的数量问题 【考点十六】不规则平面图形的面积 第五单元数据的收集与整理 【考点一】单式统计表 【考点二】复式统计表 【考点三】根据复式统计表，解决实际问题 【考点四】复式统计表的绘制 年、月、日的秘密 【考点一】认识月份 【考点二】认识闰年和平年 【考点三】认识季度 【考点四】认识12时计时法和24时计时法 【考点五】计算经过的时间 【考点六】计算有效天数 【考点七】计算年份 【考点八】周期问题与推理星期几 第六单元小数的初步认识·概念与计算篇 【考点一】小数的初步认识和读写法 【考点二】生活中常见的小数单位转化 【考点三】一位小数的大小比较 【考点四】小数的大小比较与生活实际应用 【考点五】小数组数问题 【考点六】小数点错读错看 【考点七】简单的小数加减法列竖式计算 【考点八】简单的小数加减法混合运算与脱式计算 第六单元小数的初步认识·实践与应用篇 【考点一】小数加法与生活实际应用 【考点二】小数减法与生活实际应用 【考点三】小数加减法混合运算与生活实际应用 【考点四】还原问题 【考点五】倒油问题 【考点六】重叠问题 【考点七】错中求解 第一单元 生活中的运动现象【九大考点】 【考点一】认识轴对称图形 【考点二】对称轴的数量 【考点三】对称轴的画法 【考点四】补全轴对称图形 【考点五】轴对称问题其一：对应点距离问题 【考点六】轴对称问题其二：剪纸问题 【考点七】轴对称问题其三：镜像问题 【考点八】认识平移和平移现象 【考点九】认识旋转和旋转现象 【考点一】认识轴对称图形 【方法点拨】 1. 轴对称图形。如果把一个图形沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合，这样的图形是轴对称图形。 2. 对称轴。两个图形沿某条直线对折后完全重合，则它们关于这条直线对称，这条直线称为对称轴（必须是直线） 3. 对称点。对折后重合的点称为对称点，在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴互相垂直，对称点到对称轴的距离相等。 【典型例题】下面是轴对称图形的在（    ）里画“√”，不是轴对称图形的画“×”。                  ( )    ( )    ( )    ( )    ( ) 【对应练习1】下列图案中，是轴对称图形的有( )个。        【对应练习2】在“中，国，梦”这几个汉字中，是轴对称图形的汉字是( )。 【对应练习3】找一找，那些是轴对称图形？是的在括号里打“√”，不是的打“×”。 ( ) ( ) ( )     ( )   ( )   ( )   ( ) 【考点二】对称轴的数量 【方法点拨】我们常见的规则图形，例如：正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，平行四边形没有对称轴。 【典型例题】 我们学过的平面图形中，有两条对称轴的是( )，有三条对称轴的是( )，有四条对称轴的是( )。 【对应练习1】 正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，圆的对称轴有( )条，半圆的对称轴有( )条。 【对应练习2】 七个同样的圆如图摆放，它有( )条对称轴。 【对应练习3】 下面图形中，( )有一条对称轴，( )有两条对称轴，( )有三条对称轴，( )有四条对称轴，( )有无数条对称轴。 【考点三】对称轴的画法 【方法点拨】不同图形的对称轴画法不同，要先观察整体形状是否有对称特征，如左右、上下对称，再通过找关键点确定对称轴位置。 【典型例题】画出下面各图所有的对称轴。（注意是所有哦） 【对应练习1】画出下面图形所有对称轴。 【对应练习2】某校开展以“美育滋养美好生活”为主题的综合实践活动课程，其中一门课程是剪纸课，下面是剪纸作品中的几幅轴对称图形，请你画出它们的对称轴（一条即可）。 【对应练习3】画出下列图形的所有对称轴。 【考点四】补全轴对称图形 【方法点拨】 1. 找。找出已知图形的关键点； 2. 作。数出关键点到对称轴的距离，在对称轴的另一侧作出关键点的对称点； 3. 连。按照已知图形的形状顺次连接各对称点，画出轴对称图形。 【典型例题】操作题。 画出下面轴对称图形的另一半。 【对应练习1】画出下面各轴对称图形的另一半。     【对应练习2】画出下面图形的轴对称图形。 【对应练习3】根据对称轴补全下面的轴对称图形。 【考点五】轴对称问题其一：对应点距离问题 【方法点拨】在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，这是解决对应点距离问题的关键。 【典型例题】填一填。 (1)图形①和图形②是( )图形。 (2)点B和点B'到对称轴的距离都是( )小格。 (3)点C到对称轴的距离是( )小格，与点( )到对称轴的距离是一样的。 (4)点D'与点( )到对称轴的距离都是2小格。 【对应练习1】在字母L、M、N中，( )是轴对称的；在轴对称图形中点A到对称轴的距离是5厘米，它的对应点到对称轴的距离是( )厘米。 【对应练习2】观察图形。（每个小正方形的边长是1cm） 分析∶如果沿虚线对折，松树的左右两侧可以( )，那么点A和点A′、点B和点B′、点C和点C′到虚线的距离都分别( )。 【对应练习3】下图中点A和点A’到对称轴的距离都是( )小格，点B和点B’到对称轴的距离都是( )小格。    【考点六】轴对称问题其二：剪纸问题 【方法点拨】解决剪纸问题，先找出各图案的对称轴，然后再看纸上留下的痕迹，是否与各图案的一半相吻合，若相吻合，则就是从这个纸上剪下来的。 【典型例题】轴对称图形的应用。 在美术课上，东东学习了利用对称的知识来剪纸。他想剪出一只小鸟，尝试了四种剪法（如下图）。哪一种剪法可以剪出左边这只小鸟？把正确方法的序号填在括号里。 正确的是( )。 【对应练习1】把一张长方形纸对折再对折，剪完后展开如下图，那么这张纸是( )。（填序号） 【对应练习2】想一想，填一填。 图1是从纸( )或纸( )上剪下来的，图2是从纸( )或纸( )上剪下来的。 【对应练习3】 在 中，能剪出的是( )号，能剪出的是( )号。 【考点七】轴对称问题其三：镜像问题 【方法点拨】镜像问题是轴对称问题中的常考类型，镜面就是对称轴，镜子中的物体与实际物体是对称的，所以镜子中的物体的大小、上下与前后的位置关系与实际情况一致，但是左右方向相反。 【典型例题】 丽丽站在镜子前，将电子表靠近镜面从镜子中看到电子表显示时间如图，那么电子表的实际时刻是( )。 A． B． C． 【对应练习1】 下图是从镜子里看到的对面电子钟所显示的时间，这时的实际时间是( )。 A．12：01 B．10：21 C．12：10 【对应练习2】从镜子里面看是( )。 A．B． C．无法确定 【对应练习3】 小刚家墙上挂着的钟正好和镜子相对，一天，小刚在镜子中看到的时间如图所示，那么当时实际时间是( )。 A．4∶15 B．7∶45 C．10∶45 【考点八】认识平移和平移现象 【方法点拨】 1. 平移。 在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动的过程，称为平移。 2. 平移的特征。 （1）平移后的图形与原图形一样，只是位置发生变化而形状、大小不变。 （2）平移前后图形中的对应点连线互相平行且长度相等。 （3）平移时图形沿直线运动，本身方向不发生改变。 【典型例题】下列是平移现象的有( )。 ①火车在笔直的轨道上行驶      ②翻开课本 ③拉抽屉的过程      ④乘直升电梯从一楼到五楼 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习1】 关于图形的平移，说法正确的是( )。 A．改变了图形的大小 B．改变了图形的大小和位置 C．图形的大小和位置都没改变 D．只改变图形的位置不改变图形的大小 【对应练习2】 下面现象中属于平移现象的是( )。 A．坐摩天轮 B．荡秋千 C．滑滑梯 【对应练习3】 下列现象中不属于平移现象的是( )。 A．在笔直公路上行驶的小车所做的运动。 B．开车时，方向盘所做的运动。 C．观光电梯的运动。 D．计数器上拨珠子。 【考点九】认识旋转和旋转现象 【方法点拨】 1. 旋转。旋转就是物体绕一个点向某一方向转动一定的角度。 2. 旋转的特征。 （1）旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向都相同，旋转的角 度也都相同。 （2）旋转后图形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。 3. 旋转的三要素。 （1）旋转中心：物体旋转时围绕的点； （2）旋转方向：与钟面上指针的旋转方向相同的方向称为顺时针方向，与钟面上指针的旋转方向相反的方向称为逆时针方向； （3）旋转角度：以旋转中心为顶点，物体绕旋转中心旋转的度数。 【典型例题】下面这些现象分别是哪种现象？在括号里填“平移”或“旋转”。 (1)转动汽车方向盘是( )现象。 (2)升国旗时，国旗徐徐升起是( )现象。 【对应练习1】升旗时，红旗随着音乐缓缓上升，红旗的运动是( )现象，打开冰箱的门，门的运动是( )现象。 【对应练习2】电梯上行是( )现象；钟面上时针、分针不停地走动是( )现象；拧水龙头是( )现象。 【对应练习3】哪些是“平移”现象？哪些是“旋转”现象？ (1)抽屉的运动属于( )现象。 (2)自行车的踏脚运动是( )现象。 (3)电梯里的上下运动是( )现象。 (4)时钟上时针、分针、秒针的运动是( )现象。 第二单元除数是一位数的除法·计算篇 【考点一】口算除法 【考点二】两位数除以一位数的笔算除法 【考点三】三位数除以一位数的笔算除法 【考点四】商中间有0的除法 【考点五】商中间有0时，被除数的填法 【考点六】商末尾有0（被除数末尾是否是0）的除法 【考点七】商末尾有0时，被除数的填法 【考点八】估算除法 【考点九】除法竖式的意义 【考点十】算式之间的大小比较 【考点十一】判断商的位数 【考点十二】除法中的数量关系（有余数的除法） 【考点十三】寻找最大值 【考点十四】错解（错看）问题（错中求解） 【考点十五】思维拓展：算式谜问题 【考点一】口算除法 【方法点拨】 1. 整十、整百数除以一位数的口算。 （1）利用数的组成口算。 （2）利用表内除法口算。 （3）想乘法算除法。 2. 几百几十、几千几百除以一位数的口算除法。 用被除数的前两位除以一位数，在得数的末尾添上与被除数末尾同样多的0。 3. 两位数除以一位数的口算除法。 可以把这个两位数分成几十和几，再分别除以一位数，最后把两次所得的商加起来。 【典型例题1】整十、整百数除以一位数的口算。 直接写出得数。 90÷3＝            20÷5＝            40÷8＝ 900÷3＝           200÷5＝            400÷8＝ 9000÷3＝          2000÷5＝           4000÷8＝ 【对应练习】直接写出得数。 700÷7＝       450÷9＝       200÷4＝ 600÷6＝       400÷2＝       300÷6＝ 100÷5＝        500÷5＝       100÷2＝ 【典型例题2】几百几十、几千几百除以一位数的口算。 直接写出得数。 24÷3＝       54÷6＝        84÷4＝       62÷2＝ 240÷3＝        540÷6＝        28÷2＝       36÷3＝ 280÷4＝        640÷8＝         96÷3＝       48÷4＝ 【对应练习】 直接写出得数。 24÷8＝             36÷9＝            27÷3＝             120÷3＝ 240÷8＝            360÷9＝           270÷3＝           120÷4＝ 2400÷8＝           3600÷9＝          2700÷3＝          120÷6＝ 【典型例题3】两位数除以一位数的口算。 直接写出得数。 69÷3＝ 78÷6＝ 129÷3＝ 660÷6＝ 【对应练习】直接写出得数。 65÷5＝ 84÷2= 64÷2= 420÷2= 【考点二】两位数除以一位数的笔算除法 【方法点拨】 1. 两位数除以一位数的笔算方法（被除数首位不能被整除）。 当被除数十位上的数不能被一位数整除时，被除数十位上的数除以一位数后，余下的数要和被除数个位上的数合起来继续除。 2. 列竖式口诀：“商乘减比落”。先商，后乘，再减，如果有余数，要将余数和下一位上的数合起来后继续除，每次除完余下的数都要比除数小。 3. 没有余数的除法的验算方法。商×除数=被除数。 4. 有余数的除法的验算方法。商×除数+余数=被除数。 【典型例题】列竖式计算。 48÷8＝ 37÷5＝ 【对应练习1】 【对应练习2】 【对应练习3】 87÷3＝ 58÷7＝ 60÷7＝ 【考点三】三位数除以一位数的笔算除法 【方法点拨】 1. 三位数除以一位数的笔算方法。 从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位上面；每一位与除数相除后，若无余数，直接用被除数下一位上的数除以除数；若有余数，要把余数和下一位上的数合起来继续除，每次除得的余数要比除数小。 2. 没有余数的除法的验算方法。商×除数=被除数。 3. 有余数的除法的验算方法。商×除数+余数=被除数。 【典型例题】列竖式计算。 643÷9＝ 807÷6＝ 【对应练习1】 【对应练习2】 【对应练习3】 926÷4＝ 376÷5＝ 520÷7＝ 【考点四】商中间有0的除法 【方法点拨】 1. 商中间有0的除法的笔算方法 (被除数十位上是0且前一位没有余数)。 中间有0的三位数除以一位数，在百位除以一位数之后，要在商的十位上商0占位。 2. 商中间有0的除法的笔算方法(除到被除数十位不够商1)。 三位数除以一位数，百位上的数除以一位数没有余数，十位上的数除以一位数商1都不够时，要在商的十位上商0占位,余下的数和个位上的数合起来继续除。 【典型例题】列竖式计算。 654÷6＝ 615÷3＝ 【对应练习1】 【对应练习2】 【对应练习3】 327÷3＝ 308÷3＝ 436÷4＝ 【考点五】商中间有0时，被除数的填法 【方法点拨】根据商中间有0的除法笔算方法，被除数的首位能够整除商时，第二位比商小就商0。 【典型例题】□48÷6，要使中间有0，□里应填( )。 【对应练习1】9□7÷3，要使商的中间有0，且没有余数，□里应该填( )。 【对应练习2】749÷□，要使商是两位数，□里最小填( )；4□2÷4，要使商的中间是0，□里可以填( )。 【对应练习3】□67÷5要使商是三位数，□里最小填( )；8□2÷4要使商的中间是0，□里最大填( )。 【考点六】商末尾有0（被除数末尾是否是0）的除法 【方法点拨】 1. 商末尾有0的除法(被除数末尾是0，没有余数)。 三位数除以一位数，被除数的末尾是0，且前一位正好除尽没有余数，这一位上的商就是0。 2. 商末尾有0的除法(被除数末尾不是0，有余数)。 三位数除以一位数，除到被除数的十位正好除尽，而被除数个位上的数又比除数小，就不必再除，只要在商的个位上商0，然后把被除数个位上的数落下来作余数即可。 【典型例题】列竖式计算。 750÷5＝ 643÷8＝ 【对应练习1】 【对应练习2】 【对应练习3】 302÷5＝ 392÷3＝ 480÷3＝ 【考点七】商末尾有0时，被除数的填法 【方法点拨】根据商末尾有0的除法笔算方法，填空验证即可。 【典型例题】要使□83÷4的商的末尾有0，□里可以填( )。 【对应练习1】63□÷3的商是( )位数，要使商的末尾有0，□里可以填( )。 【对应练习2】64÷8，要使商末尾有1个0，中最大填( )，要使结果没有余数，中可以填( )或( )。 【对应练习3】在算式72☐÷8中，商的最高位在( )位上，要使商末尾有0，☐里最大填( )。 【考点八】估算除法 【方法点拨】 1. 一位数除三位数的估算方法。 除数不变，把被除数看成和它接近的整百数或几百几十数（能被整除），然后用被除数的近似数除以除数，得出估算结果。 2. 利用估算的知识解决实际问题。 解决估算问题要读懂题意，可根据具体问题选择适合的解决方法，估算策略不唯一。 【典型例题】估算。 149÷5≈          488÷7≈         272÷9≈      318÷4≈ 【对应练习1】估算。 63÷8≈             211÷3≈            448÷9≈              123÷2≈ 【对应练习2】估算。 73÷8≈     142÷7       422÷6≈       148÷5≈ 【对应练习3】估算。 122÷4≈       238÷6≈       650÷8≈       354÷7≈ 811÷9≈       454÷5≈       123÷3≈       281÷7≈ 【考点九】除法竖式的意义 【方法点拨】熟练掌握笔算除法的计算法则，在实际问题中感受除法竖式表示的意义。 【典型例题1】除法竖式的基本意义。 如下图，竖式计算中箭头所指的这一步表示( )。 A．24个一 B．24个十 C．24 D．24个百 【对应练习1】竖式中圈出的4表示( )。 A．1个4 B．4个一 C．4个十 D．4个百 【对应练习2】下面竖式计算中，箭头所指这一步表示( )。 A．32 B．32个一 C．32个十 D．32个百 【对应练习3】比较下面竖式中A和B的大小，( )。 A．A＞B B．A＜B C．不确定 D．无法比较 【典型例题2】在实际情景中感受除法竖式的意义。 有48个小朋友，每4人分成一组做游戏，可以分成几组？竖式中（如图）箭头所指的“4”表示的是( )。 A．已经有40个小朋友分了组 B．每4个人分成一组 C．已经有4个小朋友分了组 【对应练习1】用63朵花扎花束，每3朵扎成一束，可以扎多少束？小红用竖式计算出了结果（如下图），竖式中箭头所指的数表示( )。 A．已经用了6朵B．已经扎了6束 C．已经用了60朵 D．已经扎了60束 【对应练习2】 三年级2个班一共分52本书，平均每个班分多少本？方框里计算过程表示( )。 A．分给2个班，分掉4本，还剩1本 B．分给2个班，分掉40本，还剩10本 C．分给2个班，分掉40本，还剩1本 【对应练习3】四（1）班开展劳动研学活动，他们负责将67棵香蕉苗平均运到3个种植基地，每个种植基地收到多少棵香蕉苗？如图，竖式中框起来的部分表示( )。 A．运走6棵香蕉苗 B．运走60棵香蕉苗 C．剩下60棵香蕉苗 【考点十】算式之间的大小比较 【方法点拨】除法算式中的大小比较问题，先计算出各算式的得数，再比较大小。 【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 96÷8( )96÷6      120÷4( )240÷8     156÷3( )51 【对应练习1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 36÷6( )360÷6       60÷6( )66÷6       640÷8( )2×40 120÷2( )120÷6         84÷2( )80÷2         46÷2( )64÷2 【对应练习2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 63÷7( )630÷7    300÷5( )300÷6    720÷9( )720×9 56÷7( )560÷7     923÷9( )88    455÷9( )55 【对应练习3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 63÷3( )92÷4       96÷6( )66÷6       72÷2( )96÷3 75÷5( )64÷4       80÷5( )98÷7       34÷2( )51÷3 【考点十一】判断商的位数 【方法点拨】三位数除以一位数，比较被除数的前一位与除数的大小，比除数大，商就是三位数；比除数小，商就是两位数。 【典型例题1】判断商的位数。 457÷3的商是( )位数，631÷7的商是( )位数。 【对应练习1】513÷3的商的最高位是( )位，是( )位数，商是( )。 【对应练习2】的商是( )位数，商的最高位在( )位，商是( )。 【对应练习3】408÷6的商是( )位数，最高位是( )位，526÷4的商最高位是( )位。 【典型例题2】利用商的位数填空。 在算式☐75÷5中，要使商是三位数，□里最小填( )；要使商是两位数，☐里最大填( )。 【对应练习1】在□42÷7中，如果商是三位数，□最小填( )；如果商是两位数，□里最大填( )。 【对应练习2】□25÷6要使商是两位数，□里最大能填( )；要使商是三位数，□里最小能填( )。 【对应练习3】□48÷4，如果商是三位数，□里最小应填( )；如果商是两位数，□里可以填( )。 【考点十二】除法中的数量关系（有余数的除法） 【方法点拨】 1. 除法中的基本数量关系。 被除数÷( )=商……余数 ( )=商×除数＋余数(验算的方法) 除数＝（被除数－余数）÷( ) 商＝（被除数－余数）÷( ) ( )＝被除数－除数×商 2. 除数与余数的关系：除数必须大于余数。 【典型例题】，△最大可能是( )，此时□里面的数是( )。 【对应练习1】□÷8＝39……△，△中最大可以填( )，□中最大是( )。 【对应练习2】◯÷8＝32……△，△最大是( )，这时○是( )。 【对应练习3】在有余数除法算式▲÷8＝72……□中，□最大是( )，▲最小的是( )。 【考点十三】寻找最大值 【方法点拨】寻找乘数最大值，需要利用除法的数量关系，用积去除以乘数得到的商就是所填的数。 【典型例题】（    ）里最大能填几？ ( )×62＜250       7×( )＜850      5×( )＜235       8×( )＜190 【对应练习1】括号里最大能填几？ ( )×62＜250    7×( )＜850     8×( )＜190     5×( )＜235 【对应练习2】括号里最大能填几？ ( )×6＜55        8×( )＜72      28÷( )＞7     30÷( )＞9 【对应练习3】括号里最大能填几？ 7×( )＜65    ( )×5＜27 6×( )＜20    7×( )＜22 【考点十四】错解（错看）问题（错中求解） 【方法点拨】错解问题采用倒推法解题，例如：将乘法错看成除法，先用商去乘一个数，再用得到的数去乘这个数，得到正确结果。 【典型例题1】除数错看。 小马虎在计算除法时，把除数6错写成了9，计算结果是13，余数是3。正确的商应该是( )。 【对应练习1】小华在计算一道除法算式时，把除数2错看成3，错误的商是114，这道算式的正确结果应该是( )。 【对应练习2】小马虎在做一除法计算时，把除数70错写成80，算出的商是7，这道题的正确得数是( )。 【对应练习3】小明在计算一道除法时把除数38错当成83，计算结果商与余数都是38，如果除数没看错，商应该是( )。 【典型例题2】被除数错看。 灵灵在计算一道有余数的除法时，将被除数113错写成了131，商比原来多3，但余数恰好相同，余数是( )。 【对应练习1】小马在计算一个除法算式时，把被除数114错写成141，结果商和余数都比原来大3．则这个算式的除数是( )。 【对应练习2】小明在计算有余数的除法时，把被除数161错写成188，结果商比原来多3，但是余数恰好相同，这道题的余数是( )。 【对应练习3】小伟在计算有余数的除法时，把被除数128错写成182，这样商比原来多了6，而余数正好相同。这道题的余数是( )。 【典型例题3】运算符号错看。 小马虎在计算一道除数是8的除法时，把“÷”写成了“＋”，计算结果变成了200，正确的结果是( )。 【对应练习1】在计算一道除数是8的除法算式时，把“÷”看成了“＋”，结果是296，正确的结果应该是( )。 【对应练习2】乐乐在计算时把一个数乘6看成了除以6，结果是25，正确的结果是( )。 【对应练习3】聪聪在计算一道题时，把一个数除以9减去54，错看成除以9加上54，得到的结果是189，正确的结果是( )。 【考点十五】思维拓展：算式谜问题 【方法点拨】算式谜问题处理起来比较困难，需要综合运用除法数量间的关系，并对乘法口诀有一定熟练度和灵活性。 【典型例题】在里填入合适的数字。 【对应练习1】□里可填哪些数字？ 【对应练习2】我来做一做，把竖式补充完整。 【对应练习3】在方框里填上合适的数。 第二单元除数是一位数的除法·应用篇 【考点一】除法的基本应用题其一：口算除法 【考点二】除法的基本应用题其二：能除尽的笔算除法 【考点三】除法的基本应用题其三：有余除法 【考点四】解决实际问题的三种方法其一：“四舍五入法” 【考点五】解决实际问题的三种方法其二：“进一法” 【考点六】解决实际问题的三种方法其三：“去尾法” 【考点七】在生活实际问题中比较大小 【考点八】归一问题其一：直接归一 【考点九】归一问题其二：返回归一 【考点十】归一问题其三：两次归一 【考点十一】归总问题其一：直接型 【考点十二】归总问题其二：复合型 【考点十三】倍数问题其一 【考点十四】倍数问题其二 【考点十五】除法混合运算应用题其一：除加混合 【考点十六】除法混合运算应用题其二：除减混合 【考点十七】除法混合运算应用题其三：复合型 【考点十八】倒水问题 【考点十九】周期问题 【考点一】除法的基本应用题其一：口算除法 【方法点拨】熟练掌握口算除法技巧，分析已知条件，快速列出除法算式。 【典型例题】一个商店有240瓶汽水，每6瓶装一盒，可以装多少盒？如果每4盒装一箱，可以装多少箱？ 【对应练习1】平均每筐装多少个？ 【对应练习2】购物。 （1）泉泉带了100元买钢笔，可以买多少支？ （2）童童带了88元买日记本，可以买多少本？ 【对应练习3】 小丽如果每天进行4组跳绳，每组跳130个，她能完成自己制定的目标吗？请你算一算。 【考点二】除法的基本应用题其二：能除尽的笔算除法 【方法点拨】熟练掌握除数是一位数的除法计算方法，分析已知条件，快速列出除法算式。 【典型例题】有84名大学生志愿者进入社区帮助空巢老人，他们被分成了4队。平均每队有多少名志愿者？ 【对应练习1】在珠海航展期间，金金一共拍了372张照片，放入3本相册里，平均每本相册放多少张？ 【对应练习2】三年级3个班的同学植树，共植树168棵。平均每个班植树多少棵？ 【对应练习3】一家药店售卖以下两种不同包装的同品牌同规格的儿童止咳糖浆（药效相同）。 学校医务室要购买一批止咳糖浆，买哪种包装的止咳糖浆更便宜？ 【考点三】除法的基本应用题其三：有余除法 【方法点拨】有余数除法的实际应用，要熟练掌握三位数除以一位数除法的计算方法。 【典型例题】一根绳子长52米，一条跳绳长3米。这根绳子最多能做多少条跳绳？还剩下多少米？ 【对应练习1】水果店打算将新进的87个苍溪红心猕猴桃装盒销售，每盒装6个，能装多少盒？还剩多少个？ 【对应练习2】一根短跳绳5元，一根长跳绳8元。张老师用237元买长跳绳，可以买多少根？还剩多少钱？ 【对应练习3】公园运来388盆花，准备摆在8个花坛里。平均每个花坛摆多少盆花？还剩几盆花？ 【考点四】解决实际问题的三种方法其一：“四舍五入法” 【方法点拨】在生活实际情景中，我们计算出的得数往往需要根据实际情况进行调整，这样就有了常用的三种方法。 1. 四舍五入法。保留哪一位就看那一位的后一位，如果小于5就舍掉，大于或等于5向前进一，一般运用在实际问题的估算中，口诀记忆：“四舍五入方法好，取到哪位看下位，同5作比较”。 2. 进一法。无论尾数大小，均要向前一位进1，确保结果满足实际需求，常常运用在需要保证完整性的问题中，例如：容器的数量、运输的次数，分装物品，纸张需求等等。 3. 去尾法。直接舍去尾数，不考虑其大小，确保结果不超出实际可用量，常常运用在剩余部分无法使用时，例如：材料裁剪、包装容量，绳子捆螃蟹，蛋糕分装等等。 【典型例题】 【对应练习1】平均每筐大约装几十个？ 【对应练习2】食堂做了183个小面包，每6个小面包装一袋，请你估一估28个袋子装得下吗？ 【对应练习3】商店准备把梨装袋进行销售： （1）每3个梨装一袋，大约可以装多少袋？ （2）每4个梨装一袋，现有58个袋子，够装吗？ 【考点五】解决实际问题的三种方法其二：“进一法” 【方法点拨】在生活实际情景中，我们计算出的得数往往需要根据实际情况进行调整，这样就有了常用的三种方法。 1. 四舍五入法。保留哪一位就看那一位的后一位，如果小于5就舍掉，大于或等于5向前进一，一般运用在实际问题的估算中，口诀记忆：“四舍五入方法好，取到哪位看下位，同5作比较”。 2. 进一法。无论尾数大小，均要向前一位进1，确保结果满足实际需求，常常运用在需要保证完整性的问题中，例如：容器的数量、运输的次数，分装物品，纸张需求等等。 3. 去尾法。直接舍去尾数，不考虑其大小，确保结果不超出实际可用量，常常运用在剩余部分无法使用时，例如：材料裁剪、包装容量，绳子捆螃蟹，蛋糕分装等等。 【典型例题】小明想买一架玩具飞机，这架玩具飞机的价格是128元，如果他每天存6元钱，那么至少要存多少天才能把这架小飞机买回来？ 【对应练习1】把153个足球分装在一批箱子里，每个箱子最多能装6个足球。至少需要多少个这样的箱子才能把这些足球装下？ 【对应练习2】某公司年终聚餐，共有163名员工，每8人一桌，至少需要预订多少桌？ 【对应练习3】5位老师带着76名同学去郊游。至少要搭多少顶帐篷？ 【考点六】解决实际问题的三种方法其三：“去尾法” 【方法点拨】在生活实际情景中，我们计算出的得数往往需要根据实际情况进行调整，这样就有了常用的三种方法。 1. 四舍五入法。保留哪一位就看那一位的后一位，如果小于5就舍掉，大于或等于5向前进一，一般运用在实际问题的估算中，口诀记忆：“四舍五入方法好，取到哪位看下位，同5作比较”。 2. 进一法。无论尾数大小，均要向前一位进1，确保结果满足实际需求，常常运用在需要保证完整性的问题中，例如：容器的数量、运输的次数，分装物品，纸张需求等等。 3. 去尾法。直接舍去尾数，不考虑其大小，确保结果不超出实际可用量，常常运用在剩余部分无法使用时，例如：材料裁剪、包装容量，绳子捆螃蟹，蛋糕分装等等。 【典型例题】 用98米布做窗帘，每幅窗帘用8米布，这些布最多可以做多少幅窗帘？ 【对应练习1】 把这捆电线每7米剪一根，最多可以剪成几根？ 【对应练习2】 花店运来253朵玫瑰花，每8朵扎一束，最多可以扎成多少束？ 【对应练习3】 端午节马上到了，新峰超市为了搞促销，将4个鲜肉粽子、3包“好想你”红枣、2根焦作铁棍山药装成一个礼品盒。现在有245个鲜肉粽子、204包“好想你”红枣、150根焦作铁棍山药，最多可以装成多少个礼品盒？ 【考点七】在生活实际问题中比较大小 【方法点拨】在生产生活实际中，常常会遇到需要先比较大小，再根据结果选择所需，除法算式的应用则需要先分别求出算式的商，然后再比较大小，得出结果。 【典型例题】谁买得便宜一些？ 【对应练习1】王老师4分钟打了384个字，李老师5分钟打了510个字。哪位老师打字打得更快？ 【对应练习2】竞走是一种很好的健身方式。亮亮4分钟走了676米，晶晶6分钟走了960米。若按他们的速度进行竞走比赛，谁会获胜呢？ 【对应练习3】谁平均每分钟跳的个数最多？ 【考点八】归一问题其一：直接归一 【方法点拨】 1. 定义。复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果，这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。 2. 解题步骤。 （1）求单一量：总量÷份数= 1份数量；（2）根据问题用乘法或除法计算最终结果。 3. 问题类型。 （1）直接归一（一次归一、正归一）：先除再乘。 先通过除法求出“单一量”（单位量），再通过乘法计算所求总量。 （2）返回归一（逆归一、反归一）：先除再除。 先求出“单一量”，再通过除法计算完成指定任务所需的份数（如时间、人数等）。 （3）两次归一（双归一）：先连除，再乘法。 需要先进行两次除法运算才能求出“单一量”，再通过乘法计算总量。 【典型例题】李大爷买5只小羊用了335元，照这样计算，他还想买9只这样的小羊，老爷爷还要准备多少钱？ 【对应练习1】学校开展节约用水活动，前3个月共节约用水45吨。照这样计算，学校一年能节约用水多少吨？ 【对应练习2】8箱蜜蜂可以酿64千克蜂蜜。照这样计算，32箱蜜蜂可以酿多少千克蜂蜜？ 【对应练习3】幼儿园购买了4个小熊玩具，一共花了36元，照这样计算，购买8个这样的小熊玩具需要多少钱？ 【考点九】归一问题其二：返回归一 【方法点拨】返回归一（逆归一、反归一）：先除再除。 先求出“单一量”，再通过除法计算完成指定任务所需的份数（如时间、人数等）。 【典型例题】一本故事书有63页，小红3天看了21页。照这样的速度，她几天可以看完这本书？ 【对应练习1】王阿姨参加背诗打卡，她3天背了12首诗。照这种速度，她背20首古诗需要多少天？ 【对应练习2】一个林场用喷雾器给树喷药，4台喷雾器3小时喷了300棵。照这样计算，一台喷雾器每小时可以喷多少棵？ 【考点十】归一问题其三：两次归一 【方法点拨】两次归一（双归一）：先连除，再乘法。 需要先进行两次除法运算才能求出“单一量”，再通过乘法计算总量。 【典型例题1】问题一。 四年级160名学生参加了社区开展的大清洁活动，他们平均分成8队，每队4组，平均每组有多少名学生？ 【对应练习1】有一种杯子，4个杯子装一盒，6盒装一箱。840个杯子可以装多少箱？ 【对应练习2】学校体育组买来336个羽毛球，每6个装一盒，每4盒装一箱，装完这些羽毛球需要多少个箱子？ 【对应练习3】端午节，外婆花48元买了4盒下面这样的皮蛋，平均每个皮蛋多少元？ 【典型例题2】问题二 2台拖拉机4天耕地32公顷，照这样计算，5台拖拉机7天耕地多少公顷？ 【对应练习1】3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多少公顷？ 【对应练习2】2021年成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫，某工厂要做一批吉祥物的娃娃，6个工人2分钟共做48个吉祥物，照这样计算，120个工人每分钟做多少个吉祥物？ 【对应练习3】12辆汽车5天节约汽油60升。照这样计算，20辆汽车6天可以节约汽油多少升？ 【考点十一】归总问题其一：直接型 【方法点拨】 1. 定义。复合应用题中的某些问题，在找出隐含的条件和问题后，需要先求"总量"，再对总量进行重新分配，这样的问题就叫做归总问题。 2. 解题步骤。 （1）求总量：原单一量×原份数=总量；（2）用总量÷新条件=所求结果。 【典型例题】三年级的小朋友种树，如果每行种8棵，可以种21行，如果每行种7棵，可以种多少行？ 【对应练习1】学校组织三年级学生参加研学实践活动，每组18人，正好可以分成6组。如果每组9人，那么可以分成多少组？ 【对应练习2】玩具厂要做一批小汽车，计划每天加工240辆，4天完成。实际完成任务用了5天，平均每天加工多少辆？ 画一画： 算一算： 【对应练习3】四年级同学做操，如果每排站8人，可以站15排；如果每排站6人，可以站成多少排？ 【考点十二】归总问题其二：复合型 【方法点拨】 1. 定义。复合应用题中的某些问题，在找出隐含的条件和问题后，需要先求"总量"，再对总量进行重新分配，这样的问题就叫做归总问题。 2. 解题步骤。 （1）求总量：原单一量×原份数=总量；（2）用总量÷新条件=所求结果。 【典型例题】淘气要组装一批坦克模型，计划每天组装5辆，两周完成。实际每天多组装2辆，照这样的速度，几天能全部完成？（画出线段图，有加分哦！） 【对应练习1】李庄机械加工厂原计划9天完成一批零件的加工任务，实际每天加工162个零件，这样提前4天完成了任务，原计划每天加工多少个零件？ 【对应练习2】《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木。”实验小学在植树节时组织同学们植树，如果每行植树4棵，能植201行，如果每行多植2棵，一共能植多少行？ 【对应练习3】欣欣陶瓷厂接到一批生产任务，计划每天生产72箱青花瓷，8天正好完成。实际6天完成了任务，实际每天比原计划多生产多少箱？ 【考点十三】倍数问题其一 【方法点拨】倍数问题，求一倍数是多少，用除法计算。 【典型例题】 水果店运回80箱苹果，苹果的箱数是梨的2倍，水果店运回多少箱梨？ 【对应练习1】 昌美实验小学喜欢看童话书的学生有685人，是喜欢看科幻书的人数的5倍。喜欢看科幻书的学生有多少人？ 【对应练习2】 人每小时行5千米，飞机每小时行950千米，飞机每小时飞行的距离是人步行的多少倍？ 【对应练习3】 李叔叔家今年养了465只鸡，是去年的3倍，李叔叔家这两年一共养了多少只鸡？ 【考点十四】倍数问题其二 【方法点拨】较复杂的倍数问题，关键在于先求出一倍数，对于多出的数量就先减去，对于不足的数量就先加上，然后再求一倍数。 【典型例题】 一张办公桌的价钱比一把椅子的3倍少40元，已知一张办公桌的价钱比一把椅子贵120元。求一张办公桌的价钱和一把椅子各多少钱？ 【对应练习1】 在《奇妙的数学文化》中记载着这么一道数学题：明德和妈妈的年龄加起来一起是65岁，妈妈年龄是明德年龄的4倍，明德和妈妈各是多少岁？ 【对应练习2】 文具店有足球和篮球共45个，已知足球的个数比篮球的3倍多5个，文具店里有足球和篮球各多少个？ 【对应练习3】 甲乙两桶油共120千克，从甲桶取出5千克给乙桶后，乙桶的油是甲桶的3倍，甲、乙两桶原来各有多少千克油？ 【考点十五】除法混合运算应用题其一：除加混合 【方法点拨】混合运算应用题综合性较强，难度稍大，注意分析题目的已知条件，弄清数量关系，再列算式解决问题。 【典型例题】 学校原有跳绳144根，又新买了189根。把这些跳绳平均分给9个班，每个班可以分到多少根？ 【对应练习1】 三年级学生去参观动物园，男生去了162人，女生去了174人，如果每6人分一组，可以分多少组？ 【对应练习2】 强强家去年上半年用电量是604度，下半年的用电量比上半年多164度，下半年平均每个月用电多少度？ 【对应练习3】 学校新买来326本科技书和142本故事书。把这些书放在6个书架上，平均每个书架要放多少本？ 【考点十六】除法混合运算应用题其二：除减混合 【方法点拨】混合运算应用题综合性较强，难度稍大，注意分析题目的已知条件，弄清数量关系，再列算式解决问题。 【典型例题1】问题一 一个工厂要生产1030台电冰箱，已经生产了710台，剩下的要一周（按5天计算）完成，剩下的平均每天要生产多少台？ 【典型例题2】问题二 加工1620个零件，如果甲乙两人同时开工，6小时可以完成。已知甲每小时加工150个，乙每小时加工多少个？ 【对应练习1】某旅行社组织活动时准备了600瓶矿泉水，午餐时段给每个参团旅客发放了两瓶矿泉水后还剩下40瓶。参团旅客有多少人？ 【对应练习2】 比每分钟多爬多少厘米？ 【对应练习3】一件童装32元，批发购买3件只需87元，批发比零售平均每件便宜多少元？ 【对应练习4】李老师带600元钱去买篮球，买了8个，还剩16元，请你算一算，每个篮球多少元？ 【考点十七】除法混合运算应用题其三：复合型 【方法点拨】混合运算应用题综合性较强，难度稍大，注意分析题目的已知条件，弄清数量关系，再列算式解决问题。 【典型例题】 工程队修一条830米长的路，前两天平均每天修160米，余下的必须在3天内修完。余下的平均每天要修多少米？ 【对应练习1】 妈妈买来一些苹果，计划每天吃6个，可以吃25天，实际每天比计划少吃1个，这些苹果实际可以吃多少天？ 【对应练习2】 两个工程队合修一条长880米的公路，两队同时从两端开工，经过5天完工，已知其中一队每天修75米，另一队每天修多少米？ 【对应练习3】 又一批疫苗到了，县医院接种点计划每小时接种525针，6小时完成接种。因实际情况需要提前1小时完成，现在每小时要接种多少针？ 【考点十八】倒水问题 【方法点拨】倒水问题的解题关键在于通过两次倒入杯数和重量的差，求出两杯水的重量，进而求出每杯水的重量。 【典型例题】 用一个杯子装满水向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一个空瓶重( )克。 【对应练习1】 一个杯子装满水倒向另一个空瓶里，如果倒进3杯水，连瓶共重440克，如果倒进5杯水，连瓶共重600克，一杯水重( )克，一个空瓶重( )克。 【对应练习2】 用一个杯子向空瓶中倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重500克；如果倒进9杯水，连瓶共重710克。那么空瓶重( )克。 【对应练习3】 用一个杯子向空瓶里倒水，如果到进3杯水，连瓶共重450克，如果倒进7杯水连瓶共重630克，每杯水重( )克。 【考点十九】周期问题 【方法点拨】 1. 周期。周期问题中，每一轮循环称为这个周期问题的一个周期，一个周期的长度叫做这个周期问题的周期长度。 2. 解决周期问题。根据题目中描述的规律，找到一个周期的数量，在确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个，如果比整数个周期多几个，那么为下个周期里的第几个。 3. 周期问题具体详情，请参考《特别篇·周期问题》。 【典型例题】按下面的方法摆60个三角形，最后一个三角形是什么颜色？ 【对应练习1】有8个小朋友坐成一圈，按顺序分别编上1、2、3、4、5、6、7、8等座号，大家做游戏，鼓声响起时从1号开始顺时针报数，鼓声突然停止时正好报到“61”，问报61的是几号座位上的小朋友？ 【对应练习2】有一堆棋子按二黑三白的规律往下排，第47个是什么颜色的棋子？ 【对应练习3】下面一组图形是按一定规律排列的：○○○○△△△□□○○○○△△△□□○○○○△△△□□……问： （1）第205个图形是什么？ （2）前205个图形中○有几个？△有几个？□有几个？ 第三单元长方形和正方形·基础篇 【考点一】认识四边形 【考点二】认识长方形和正方形 【考点三】数长方形和正方形 【考点四】周长的认识和大小比较 【考点五】计算图形的周长 【考点六】长方形的周长及反求 【考点七】长方形周长与实际应用 【考点八】正方形的周长及反求 【考点九】正方形周长与实际应用 【考点十】画指定长度或周长的长方形和正方形 【考点一】认识四边形 【方法点拨】四边形的三大特点：①4条直的边；②4个角；③封闭图形。 【典型例题】是一个( )边形，有( )条边，有( )个角。 【对应练习1】下面哪些图形是四边形，在括号里画“√”。 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 四边形都有( )条边，有( )个角。 【对应练习2】数一数，填一填。 三角形 四边形 五边形 六边形 ( )个 ( )个 ( )个 ( )个 【对应练习3】 (1)上边图形中，四边形有( )（填序号）。 (2)这些四边形有什么共同特征，写在下边。（至少写出两个共同特征） 。 【考点二】认识长方形和正方形 【方法点拨】 1. 长方形的特点：对边相等，4个角都是直角。 2. 正方形的特点：每条边都相等，4个角都是直角。 【典型例题】填空。 (1)正方形有四个( )角，( )条边相等。 (2)长方形有( )条边，4个角都是( )角。 【对应练习1】 上面的图形中是长方形的有( )，是正方形的有( )。 【对应练习2】下图中的四边形被挡住了一部分，但我们可以判断这个四边形一定是( )，被挡住的角一定是( )角。 【对应练习3】把下面的长方形的长缩短1厘米，是( )方形；再缩短1厘米，是( )方形；再缩短1厘米，是( )方形。 【考点三】数长方形和正方形 【方法点拨】熟悉长方形和正方形的特点，注意按顺序数长方形和正方形。 【典型例题】数一数，下列图中各有多少个长方形？ ( )个                         ( )个 【对应练习1】如图中一共有 ( )个长方形。    【对应练习2】数一数，左下图中有( )个长方形，右下图中有( )个正方形。 【对应练习3】数一数，填一填。 ( )个正方形           ( )个长方形 【考点四】周长的认识和大小比较 【方法点拨】封闭图形一周的长度，是它的周长。 【典型例题1】周长的认识 这些图形都有周长。( )（填√或×），理由： 。 【对应练习1】 下面各图，是封闭图形的在括号里打“√”，不是的打“×”。再描出封闭图形的边线。 ( )        ( )      ( )      ( ) 【对应练习2】一根周长是50米的绳子，正好绕教室一圈，教室的周长是( )米；如果绕讲台可以绕10圈，讲台的周长是( )米。 【对应练习3】下面各图形的周长是多少厘米？填一填。（每个小方格的边长表示1厘米） ( )厘米         ( )厘米          ( )厘米 【典型例题2】周长的大小比较 图中甲的周长( )乙的周长。（填“大于“小于”或“等于”。） 【对应练习1】 图中，甲的周长( )乙的周长。（填上“大于”“小于”或“等于”） 【对应练习2】 在图中，甲的周长和乙的周长比较，( )长。（填：甲或乙或一样） 【对应练习3】在下面的3个同样的图形中，分别剪去一个小长方形，请仔细观察所得图形的周长，( )比原来短，( )比原来长，( )不变。 【考点五】计算图形的周长 【方法点拨】根据周长的定义，计算封闭图形的周长，只需要把图形各边的长度相加即可。 【典型例题】计算下面各图形的周长（单位：厘米）。 （1） （2） （3） 【对应练习1】计算下列图形的周长。 （1） （2） 【对应练习2】计算下面图形的周长。 【对应练习3】以厘米为单位，量出所需数据，并分别算出下面三个图形的周长。 【考点六】长方形的周长及反求 【方法点拨】 1.长方形周长=（长+宽）×2。2.长方形的长=周长÷2－宽。3.长方形的宽=周长÷2－长。 【典型例题1】长方形的周长。 【对应练习1】求周长。 【对应练习2】求长方形的周长。           【对应练习3】计算下面图形的周长。 【典型例题2】反求长或宽。 按要求填表。表中数据分别为4个长方形的长、宽和周长，请完成下面的表格。 长 30cm 5cm 13cm ( ) 宽 10cm 2cm ( ) 20cm 周长 ( ) ( ) 36cm 100cm 【对应练习1】 用一根20分米长的铁丝围成一个长8分米的长方形，这个长方形的宽是( )分米。 【对应练习2】 一个长方形的长是2厘米，周长是18厘米，宽是( )厘米。 【对应练习3】 用一根橡皮筋在钉子板围成一个周长是18厘米的长方形，这个长方形的宽是3厘米，它的长是( )厘米。 【考点七】长方形周长与实际应用 【方法点拨】解决长方形周长的实际问题，要注意熟悉长方形的周长计算公式。 【典型例题】 学校操场是一个长100米、宽50米的长方形。操场的周长是多少米？ 【对应练习1】 一个长方形花坛长75米，宽25米，王爷爷绕着这个花坛的边缘走了1圈，王爷爷走了多少米？ 【对应练习2】 每年的12月2日是全国交通安全日，星光小学制作了“交通安全”宣传海报，海报的宽是40厘米，长是宽的2倍，这张海报的周长是多少厘米？ 【对应练习3】 一个长方形羽毛球场地，长49米，宽37米，乐乐绕着这块场地的边沿跑了4圈，乐乐跑了多少米？ 【考点八】正方形的周长及反求 【方法点拨】1.正方形周长=边长×4。2.正方形的边长=周长÷4。 【典型例题1】计算下面图形的周长。 【对应练习1】计算下面图形的周长。 【对应练习2】计算下面图形的周长。 【对应练习3】我会计算周长。 【典型例题2】一个正方形的周长是24分米，这个正方形的边长是( )分米。 【对应练习1】用一根长36厘米的铁丝围成一个最大的正方形。这个正方形的边长是( )厘米。 【对应练习2】一根铁丝长20厘米，用它围成一个正方形，正方形的边长是( )厘米。 【对应练习3】一个正方形的周长是28厘米，它的边长是( )厘米。 【考点九】正方形周长与实际应用 【方法点拨】解决长方形周长的实际问题，要注意熟悉长方形的周长计算公式。 【典型例题】一个正方形游乐场的边长是65米，小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了多少米？ 【对应练习1】一条正方形毛巾，它的边长是55厘米，要在它的四周缝上花边，花边至少长多少厘米？合多少分米？ 【对应练习2】一个正方形苗圃的边长是50米，小刚沿着它的四周跑了4圈。小刚至少跑了多少米？ 【对应练习3】一个边长200米的正方形操场，爸爸每天绕着它跑5圈，他每天跑多少米？合多少千米？ 【考点十】画指定长度或周长的长方形和正方形 【方法点拨】画指定长、宽、边长以及周长的长方形和正方形，注意熟悉长方形和正方形的定义和特征。 【典型例题1】画指定长度的长方形和正方形。 在方格纸上按要求画图形。 （1）长1分米，宽10毫米的长方形。（2）边长2厘米的正方形。 【对应练习1】在下面的方格纸上按要求画图形。 （1）长4厘米，宽3厘米的长方形。 （2）边长为5厘米的正方形。 【对应练习2】请在下面的方格图中按要求作图。 （1）长4厘米、宽3厘米的长方形。 （2）边长3厘米的正方形。 【对应练习3】在下面的方格纸上按要求画图形。（注：假设每一小格的长度为1厘米） （1）长6厘米，宽4厘米的长方形。 （2）边长为5厘米的正方形。    【典型例题2】画指定周长的长方形和正方形。 在下面的方格中，画出与左边图形周长相等的长方形和正方形各一个。（方格的边长为1厘米） 【对应练习1】请你在正方形格子图中画出与图周长相等的长方形。（每格边长为1厘米） 【对应练习2】学校准备建一个周长是12米的花园。在下面的方格纸上按照要求设计出不同的花园（每个小正方形边长为1米）。 （1）如果花园是个长方形或者正方形，请画出所有不同的图形。 （2）如果花园是个不规则的图形，请设计一个满足要求的花园。 【对应练习3】请你在下面的方格纸上画出与左边图形周长相等的长方形。 第三单元长方形和正方形·提高篇 【考点一】问题一：长方形和正方形的等长转化问题 【考点二】问题二：长方形中的最大正方形问题 【考点三】问题三：一边靠墙问题 【考点四】问题四：图形的裁剪问题 【考点五】问题五：图形的拼接问题 【考点六】巧求周长：阶梯型 【考点七】巧求周长：陷阱型 【考点八】巧求周长：混合型 【考点九】巧求周长：折叠图形 【考点十】巧求周长：重叠图形 【考点一】问题一：长方形和正方形的等长转化问题 【方法点拨】同一根绳子围成不同的长方形或正方形，周长不变。 【典型例题】学校用木栅栏在操场围了一块长18米，宽12米的长方形活动区域，后由于场地变动，改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，这块场地的边长是多少米？ 【对应练习1】一条铁丝可以围成一个长20厘米，宽12厘米的长方形，如果用它围成一个正方形，正方形的周长是多少厘米？ 【对应练习2】用一根铁丝正好围成了一个长10厘米、宽6厘米的长方形，如果用这根铁丝围成一个正方形，那么正方形的边长是多少厘米？ 【对应练习3】壮壮用一根铁丝可以围成一个边长是8厘米的正方形，如果用这根铁丝围一个宽是6厘米的长方形，这个长方形的长是多少厘米？ 【考点二】问题二：长方形中的最大正方形问题 【方法点拨】从一个长方形中截一个最大的正方形，长方形的宽就是正方形的边长。 【典型例题】妈妈买了一块长方形大桌布，长3米，宽2米，结果发现不合适，就最大程度的把它剪成了一块正方形桌布。这块正方形桌布的周长是多少米？请你先在下图中根据题意画出正方形桌布的示意图，再列式计算。 【对应练习1】一个长方形的长是79厘米，在这个长方形的一边剪去一个最大的正方形，还剩下一部分，求剩余部分的周长是多少？（可以画图试一试） 【对应练习2】一张长方形纸，长25厘米，宽15厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是多少厘米？剩下图形的周长是多少厘米？ 【对应练习3】画图并填空，如图是一个长方形。 （1）在图中画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米，周长是( )厘米。 （2）剩下的图形是长方形，长是( )厘米，宽( )厘米，周长( )厘米。 （3）在剩下的图形里再画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米，周长是( )厘米。 【考点三】问题三：一边靠墙问题 【方法点拨】长方形其中一边靠墙，那么在计算周长时，这一条边就不计算在内。 【典型例题1】长方形一边靠墙问题。 共享单车是市民出行的重要交通工具，骑完单车后应停放在划定的区域里。某小区在门口划定了一块长45分米、宽2米的长方形单车停放区域，其中一边靠墙（不用划线），划出的线一共长多少分米？写出所有可能。 【典型例题2】正方形一边靠墙问题。 如图，一个正方形花圃一面靠墙，边长是6米，三面用篱笆围起来。 （1）至少需要围多长的篱笆？ （2）如果用24米的篱笆，还围成一面靠墙的正方形花圃（如上图），边长是几米？（温馨提醒：边长可不是6米） 【对应练习1】张大爷要围一块长方形地，长35米、宽18米。这块地一边靠墙，另外三边围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？    【对应练习2】一块长方形菜地，长15米，宽6米，一面靠墙，其余三面围上篱笆。篱笆至少长多少米？ 【对应练习3】王叔叔要在院子里靠墙围一个长32米，宽17米的长方形菜地。为了节省材料，一面靠墙，另外三边用篱笆围起来，围这个菜地至少要用多少米的篱笆？ 【考点四】问题四：图形的裁剪问题 【方法点拨】剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两条宽的长度。 【典型例题1】裁剪数量。 把长10厘米、宽4厘米的长方形纸条，剪成边长为2厘米的正方形纸条。能剪成多少个？ 【典型例题2】裁剪周长。长方形。如果其中一个长方形的周长是24厘米，那么这个正方形的周长是( )厘米。 【对应练习1】 一个边长是12米的正方形，现在分成两个相同的长方形（如图）。这两个长方形的长是( )米，宽是( )米。这两个长方形周长的和比正方形周长长( )米。 【对应练习2】 如图中，大长方形的周长是( )厘米。如果沿虚线处剪开，可以得到两个完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长是( )厘米。 【对应练习3】 师傅把一块边长8分米的正方形玻璃分割成4块同样的长方形玻璃（如下图），然后给每个长方形玻璃配上木框，一共用了多少分米木框？ 【对应练习4】 把一张边长为24厘米的正方形纸平均分成3张小长方形纸，每张小长方形纸的周长是多少厘米？ 【考点五】问题五：图形的拼接问题 【方法点拨】 1.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 2.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。 【典型例题1】长方形的拼接问题。 用两个长是10厘米，宽是5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？ 【对应练习1】用两个长是8厘米、宽是4厘米的长方形分别拼成一个长方形或一个正方形，它们的周长分别是多少厘米？ 【对应练习2】用3个完全相同的长方形刚好拼成一个正方形，已知长方形的宽是4厘米，那么拼成的正方形的周长是多少厘米？ 【对应练习3】把3个长2米、宽1米的长方形镜框拼在一起，在它的四周镶上花边，最少需要多少米花边？ 【典型例题2】正方形的拼接问题。 三（1）班举办元旦绘画展，一共选出24幅作品，每幅作品都是边长2分米的正方形，现在准备把这些作品贴在一起，并配上花边，怎样设计才能使贴的花边最少？ 【对应练习1】嘉兴第一人民医院准备在医院空地处搭建一个临时核酸检测站，要求占地大小为16块边长是1米的正方形地砖，且要在检测站四周围上一圈警示带，有本着节约成本的原则，请你画图并计算说明，哪种设计使警示带的用量最短。 （1）画图说明： （2）计算说明： 【对应练习2】有华小学开展“我的家乡在‘浙’里”主题绘画比赛，最终评选出18幅优秀作品。每幅作品都是边长为2分米的正方形，学校将把这18幅绘画作品贴在起，做一个“绘画园地”，并在“绘画园地”的四周贴上花边。怎样设计所用的花边最少，需要多少分米？ 【对应练习3】把16幅正方形绘画作品拼在一起，做一个长方形或正方形的“绘画园地”，如果四周要围上花边，怎样设计围的花边最少？请你画出示意图。如果每幅正方形作品的边长是2分米，请算出所画图示的周长。 【考点六】巧求周长：阶梯型 【方法点拨】阶梯型图形求周长，常使用平移法解决。 【典型例题】想一想，怎样才能算出方格纸中图形的周长。（每格边长1厘米） （1）我会这样想： （2）我会这样算： 【对应练习1】计算下面图形的周长。 【对应练习2】求下面图形的周长。 【对应练习3】求出下图周长。（单位：厘米） 【对应练习4】求下面图形周长是多少厘米？ 【考点七】巧求周长：陷阱型 【方法点拨】陷阱型图形求周长，常使用平移法解决。 【典型例题】下图“E”字周长是多少厘米？ 【对应练习1】下面图形的周长是多少厘米？ 【对应练习2】求下图中多边长的周长。（单位：厘米） 【对应练习3】求下边图形的周长。（单位：厘米） 【考点八】巧求周长：混合型 【方法点拨】稍复杂的图形求周长，需要综合分析解决。 【典型例题】下图是由若干个相等的正方形组成的“土山”两个字，已知每个正方形的边长是3厘米，这两个字的周长分别是多少厘米？                    【对应练习1】明明的奶奶在家的后院开了一块菜地，形状如下图，已知a=b=40米，c=14米，求这块地的周长。 【对应练习2】请计算下面图形的周长。 【对应练习3】请计算下面图形的周长。 【考点九】巧求周长：折叠图形 【方法点拨】稍复杂的图形求周长，需要综合分析解决。 【典型例题】如图所示，长方形ABCD的长是6厘米，宽是5厘米，现将它沿对角线BD对折得到一个新的图形，阴影部分的周长是多少？ 【对应练习1】如图，长方形长4厘米，宽2厘米，沿对角线BD对折得到一个几何图形，求图形阴影部分周长。 【对应练习2】如图所示，长方形中，厘米，厘米，现沿其对角线将它对折，得一几何图形，则图中阴影部分的周长是( )厘米。 【对应练习3】如图所示，长方形ABCD的长为18厘米，宽为6厘米，现沿直线EF将其折叠使点D落在线段BC上，试求折叠后的图形中的阴影部分的周长。 【考点十】巧求周长：重叠图形 【方法点拨】稍复杂的图形求周长，需要综合分析解决。 【典型例题】1．用长9厘米、宽5厘米的长方形摆成下图形状，最上层是一个长方形，以下每层多一个长方形，一共四层，得到的图形的周长是多少厘米？ 2．将10张边长为10厘米的正方形纸片按顺序一张一张地摆放着地板上，摆放时要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张纸片的中心重合（下图表示已经摆好的5张）。请问：地板被10张纸片所覆盖的部分的周长是多少厘米？ 【对应练习1】用6张同样的正方形纸按下图方法重叠，每个正方形的顶点恰好位于另一个正方形的中心，且边相互平行。每个正方形的边长为10厘米，求重叠后图形的周长。 【对应练习2】下图中每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，小正方形的边长为4厘米，且相互平行，试求出它的周长。 【对应练习3】如下图所示，把长20厘米，宽12厘米的长方形，一层、二层、三层的摆下去，共摆10层。求摆好后的图形周长。 【对应练习4】把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，摆完第十层，这个图形的周长是多少厘米？ 第四单元图形的面积·基础篇【十大考点】 【考点一】面积的概念认识 【考点二】面积的大小比较 【考点三】面积单位的认识和选择 【考点四】面积的估测 【考点五】面积单位的进率和换算 【考点六】面积单位的大小比较 【考点七】长方形的面积及反求长或宽 【考点八】长方形的面积与生活实际应用 【考点九】正方形的面积与生活实际应用 【考点十】画指定面积的长方形和正方形 【考点一】面积的概念认识 【方法点拨】 1. 面积的定义。物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积，例如课本封面、桌面的大小。 2. 面积与周长的区分。 周长是指边的长度（如相框镶边），面积是指面的大小（如相框玻璃大小）。 【典型例题】图中涂色部分的面积是( )平方厘米（每小格为1平方厘米）。 【对应练习1】每个方格代表1cm2，请写出下面每个图形的面积。 ( )cm2    ( )cm2 【对应练习2】写出下面方格纸中各图形的面积。（每个小方格的面积表示1平方厘米） ( )                   ( )                ( ) 【对应练习3】用5个面积都是1平方厘米的小正方形拼成下面的图形，它们的面积各是多少？周长呢？                                    周长( )     周长( )    周长( )       周长( ) 面积( )     面积( )     面积( )      面积( ) 【考点二】面积的大小比较 【方法点拨】理解面积及周长的含义，在实际情景中观察并判断面积或周长大小变化。 【典型例题1】其一 下面图形中，面积最大的是( )。（填序号） A． B． C． D． 【典型例题2】其二。 长方形纸片上沿着宽剪下一个正方形（如图），则剩下部分与原来长方形比较( )。    A．周长和面积都变大 B．周长和面积都变小 C．周长变大，面积变小 【对应练习1】从大正方形中减去一个长方形，说法正确的是( )。    A．周长不变，面积也不变 B．周长不变，面积减少 C．周长增加，面积减少 【对应练习2】从一张边长是8厘米的正方形纸上剪下一个长4厘米、宽2厘米的长方形，有下面三种剪法。关于它们的周长和面积，选项( )的说法是正确的。    A．周长：②＞③＞①；面积：①＜②＜③ B．周长：③＞②＞①；面积：①＝②＝③ C．周长：②＞③＞①；面积：①＝②＝③ D．周长：③＞②＞①；面积：①＜②＜③ 【对应练习3】下面两个图形说法正确的是( )。 A．甲的面积小，周长也小 B．甲、乙的面积相等，周长也相等 C．甲、乙的面积相等，但甲的周长长 D．甲、乙的周长相等，但乙的面积大 【考点三】面积单位的认识和选择 【方法点拨】 1. 面积单位。常用的面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm2）、平方米（m2）。 2. 在实际情境中感知面积单位的大小。 1平方厘米，指甲盖、邮票的大小；1平方分米，粉笔盒面、手帕的大小； 1平方米，教室地面、黑板的大小。 【典型例题】在括号里填上合适的单位。 吃完饭，丽丽用一张面积约300( )的纸巾擦干净嘴巴，拿起一块面积约为4( )的抹布，把面积约2( )的餐桌擦得干干净净。 【对应练习1】在括号里填上合适的单位。 一张床的面积是3( )     成年人手掌的面积大约是200( ) 教室的面积大约为60( )     一张课桌桌面的面积大约是50( ) 【对应练习2】在括号里填上适当的单位名称。 中指的指甲面积约1( )              跑道的长大约是200( ) 教室地面的面积大约是56( )  一本故事书的封面面积大约是4( ) 【对应练习3】在下面的括号里填上合适的单位名称。 一张明信片的大小约为120( )。 黑板长4( )。 学校操场的面积为6000( )。 一张双人床面积约为3( )。 校园的香樟树高约60( )。 一个游泳池的占地面积约1250( )。 【考点四】面积的估测 【方法点拨】填写合适的计量单位及数据，需要正确掌握面积及面积单位的含义，并对生活实际情景具有一定感观。 【典型例题】估一估、填一填。 我们班黑板面的面积约是( )，数学书封面的面积约是( )。 【对应练习1】一张单人课桌的桌面面积约是( )平方分米，信封的面积约是180( )。 【对应练习2】圈出合适的单位或数。 （1）教室的黑板长4（米  平方米）。 （2）一张公交IC卡的面积约是（12  46  100）平方厘米。 （3）一张A4纸的面积大约是600（厘米      平方厘米  平方分米）。 【对应练习3】 我们周围物体的一个平面的大小是1平方厘米的是( )； 我们身边物体的一个平面的大小是1平方分米的是( )。 【考点五】面积单位的进率和换算 【方法点拨】 1. 面积单位之间的进率。 1平方千米=100公顷   1平方米＝100平方分米   1平方分米＝100平方厘米 1平方米=10000平方厘米 2. 单位换算。 （1）大（高级）单位转化成小（低）级单位=======乘进率。 （2）小（低级）单位转化成大（高级）单位=======除以进率。 相邻两个常用面积单位间的换算，高级单位换算成低级单位，在数的末尾加2个0；低级单位换算成高级单位，在数的末尾去掉2个0。 【典型例题】在下面的括号里填上适当的数。 700平方分米＝( )平方米     3平方分米＝( )平方厘米 900平方厘米＝( )平方分米     60000平方厘米＝( )平方米 【对应练习1】在下面的括号里填上适当的数。 8平方分米＝( )平方厘米         2300平方分米＝( )平方米 20平方米＝( )平方分米         4000米＝( )千米 【对应练习2】在下面的括号里填上适当的数。 3平方米＝( )平方分米        8平方分米＝( )平方厘米 2平方米＝( )平方厘米        300厘米＝( )分米 【对应练习3】在下面的括号里填上适当的数。 600平方分米＝( )平方米                4平方分米＝( )平方厘米 50000平方厘米＝( )平方米            700平方厘米＝( )平方分米 【考点六】面积单位的大小比较 【方法点拨】1. 带单位的数比较大小时，应先统一单位，再比较大小。 2. 统一单位时，将高级单位换算成低级单位更方便。 【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7平方分米( )690平方厘米     500平方米( )5平方分米 3平方厘米( )3平方分米       7平方分米( )7000平方厘米 【对应练习1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 300厘米( )3分米         700平方分米( )7平方米 2平方米( )2000平方分米      40平方厘米( )4平方分米 【对应练习2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 50平方厘米( )6平方分米 9平方分米( )900平方厘米 99平方厘米( )1平方分米 10平方米( )100平方分米 7平方米( )700平方厘米 【对应练习3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5平方分米( )490平方厘米    300平方厘米( )3平方米    7000平方厘米( )7平方分米    60平方米( )3600平方分米    3平方米( )30平方分米    4700平方分米( )47平方米 【考点七】长方形的面积及反求长或宽 【方法点拨】 1. 长方形的面积公式。长方形面积=长×宽，用字母表示为S= a×b。 2. 反求长或宽。长=长方形的面积÷宽；宽=长方形的面积÷长。 【典型例题1】求面积。 小宇平时走路每步大约长4分米。他家的客厅地面是长方形，他测量自己家客厅地面的长大约是25步，宽大约是10步。小宇家客厅地面的面积大约是多少平方米？ 【对应练习1】一个长方形花坛，长50分米，宽25分米。 （1）求这个花坛的面积。 （2）在花坛的四周围一圈围栏，求围栏的长度。 【对应练习2】李爷爷用栅栏围了一块长方形的菜地，长16米，宽比长少9米。这块菜地的面积有多少平方米？围菜地的栅栏长多少米？ 【对应练习3】一辆压路机，每分钟行驶156米，压路机的前轮宽度是2米。这辆压路机压路6分钟，可以压平路面多少平方米？ 【典型例题2】反求长。 一张长方形纸的面积是24平方厘米（如图）。这张纸的长是( )厘米。 【对应练习1】一个长方形水池，宽是8米，面积是184平方米，这个水池的长是( )米。 【对应练习2】一个长方形水池，宽是8米，面积是184平方米，这个水池的长是( )米。 【对应练习3】一个长方形的面积是60cm2，宽是5cm，它的长是( )cm。 【典型例题3】反求宽。 一个长方形的面积是35平方分米，长是7分米，宽是( )分米，这个长方形的周长是( )。 【对应练习1】一个长方形的面积是32平方分米，长是8分米，宽是( )分米，周长是( )平方分米。 【对应练习2】一个长方形的面积是24平方分米，长是8分米，这个长方形的宽是( )分米，周长是( )分米。 【对应练习3】一个长方形的面积是36平方米，其中长是9米，宽是( )，周长是( )。 【考点八】长方形的面积与生活实际应用 【方法点拨】 1. 长方形的面积公式。长方形面积=长×宽，用字母表示为S= a×b。 2. 反求长或宽。长=长方形的面积÷宽；宽=长方形的面积÷长。 【典型例题1】其一。 彤彤家客厅的地面长、宽分别是8米、5米。现在给地面铺上木地板，每平方米木地板要25元。买这些木地板至少需要多少元？ 【典型例题2】其二。 在一块长18米、宽15米的长方形果园里种果树，平均每棵占地5平方米，这块果园能种果树多少棵？ 【对应练习1】学校里有一块长40米，宽12米的花坛，在里面栽花，按2平方米栽一棵玫瑰花，花坛里能栽多少棵玫瑰花？ 【对应练习2】教室南面的墙壁长8米，宽3米。墙上有4个窗户，每个窗户面积是3平方米。现在要粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少平方米？ 【对应练习3】一个长方形花圃长是12米，宽是7米。这个花圃的面积是多少平方米？如果每平方米大约种50棵郁金香，这个花圃可以种多少棵郁金香？ 【考点九】正方形的面积与生活实际应用 【方法点拨】正方形面积=边长×边长，用字母表示为S=a×a。 【典型例题】有一个边长为30米的正方形鱼塘，如果这个鱼塘每平方米的水面大约可以养2条草鱼，那么这个鱼塘大约可养多少条草鱼？ 【对应练习1】学校的操场是正方形的，边长是100米，它的面积是多少平方米？ 【对应练习2】一块正方形菜地，边长是8米，这块菜地占地面积是多少平方米？如果四周用篱笆围起来，篱笆有多少米？ 【对应练习3】兰兰每天跑步锻炼身体，她绕着一个正方形花坛跑，每天跑540米正好跑3圈，花坛的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【考点十】画指定面积的长方形和正方形 【方法点拨】熟练掌握长方形和正方形的周长与面积公式是关键。 【典型例题】在下面的格子图中画出面积是16平方厘米的长方形和正方形各一个。（每个小方格的面积是1平方厘米） 【对应练习1】下面每个方格表示边长1厘米的正方形。请你分别画出面积为20平方厘米的两个不同的长方形。    【对应练习2】请在方格纸上作图。（每个小方格的边长是1厘米）    （1）画出面积为18平方厘米的长方形。 （2）画出周长为12厘米的正方形。 【对应练习3】下面每个小方格表示边长为1厘米的正方形，在方格上画图。 （1）画一个面积是18平方厘米的长方形。 （2）画一个面积是25平方厘米的正方形。 第四单元图形的面积·提高篇【十六大考点】 【考点一】长方形的面积增减变化问题其一 【考点二】长方形的面积增减变化问题其二 【考点三】长方形的面积增减变化问题其三 【考点四】正方形的面积增减变化问题其一 【考点五】正方形的面积增减变化问题其二 【考点六】长方形中的最大正方形 【考点七】等长转化问题 【考点八】长方形和正方形的面积最值问题 【考点九】长方形或正方形一边靠墙的问题 【考点十】长方形的拼接裁剪问题 【考点十一】正方形的拼接裁剪问题 【考点十二】铺砖问题其一：铺砖数量 【考点十三】铺砖问题其二：总面积 【考点十四】铺砖问题其三：确定最优方案 【考点十五】正方形的数量问题 【考点十六】不规则平面图形的面积 【考点一】长方形的面积增减变化问题其一 【方法点拨】当长不变，宽增加时，可以利用积的变化规律进行解题。 积的变化规律，即一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也乘或除以这个数。 【典型例题】2023年中央一号文件首提“和美乡村”，强调要扎实推进宜居宜业和美乡村建设。某村原计划建设一个宽是9米、面积是378平方米的长方形绿化带，现在需要扩建，如果长不变，宽增加27米，扩大后的面积是多少平方米？ 【对应练习1】如图，有一块长方形菜地，宽为9米，面积是378平方米。若将这块长方形菜地的宽增加到36米，长不变，则扩大后的长方形菜地的面积是多少平方米？ 【对应练习2】绿水青山就是金山银山。某公园有一块占地面积是180平方米的长方形绿地，明年计划将宽从5米增加到15米，长不变，那么扩大后的绿地占地面积是多少？ 【对应练习3】一块长方形的草坪的面积是120平方米，扩建后长不变，宽由原来的8米增加到16米，扩建后的草坪面积是多少平方米？ 【考点二】长方形的面积增减变化问题其二 【方法点拨】扩建后菜园的面积增加了多少平方米＝扩建后的面积－原来长方形的面积。 【典型例题】一个长方形的菜园长10米，宽5米。现在菜园要扩建，长增加2米，宽增加2米，扩建后菜园的面积增加了多少平方米？ 【对应练习1】一个长方形菜园长10米，宽8米。现在菜园要扩建，长增加4米，宽增加2米。扩建后菜园的面积比原来增加了多少平方米？ 【对应练习2】某小区为了改善小区生态环境，美化生活环境，增进居民身心健康，要将一个长10米，宽8米的长方形花坛进行扩建，把这个花坛的长增加5米，宽增加4米。这个花坛的面积增加了多少平方米？（先画图，再解答） 【对应练习3】儿童公园要扩建一个长方形的泳池。如果长增加9米，泳池面积就增加72平方米；如果宽增加3米，泳池面积就增加45平方米。这个泳池的面积是多少平方米？ 【考点三】长方形的面积增减变化问题其三 【方法点拨】增加部分的面积除以增加的长度，减少部分面积除以减少的长度。 【典型例题】一个长方形，如果长增加4米，面积就增加20平方米；如果宽减少2米，面积就减少14平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【对应练习1】对一个长方形花圃进行改造，如果是长增加5米，面积就增加40平方米；如果是宽增加3米，面积就增加39平方米。原来花圃的面积是多少平方米？（先画出示意图，再解答） 【对应练习2】一个长方形，如果长不变，宽增加2米，面积就增加46平方米；如果宽不变，长增加3米，面积就增加48平方米，原来长方形的面积是多少平方米？ 【对应练习3】一个长方形操场，长50米，宽40米，扩建后长和宽分别增加5米，扩建后操场面积增加了多少平方米？ 【考点四】正方形的面积增减变化问题其一 【方法点拨】增加的面积除以增加的长度，可求出正方形的边长。 【典型例题】如图，一个正方形花圃，如果一组对边各增加6米，那么面积就增加了96平方米．这个正方形花圃的面积原来是多少平方米？（先画一画，再解答） 【对应练习1】一个正方形，如果边长各增加2厘米，面积就增加20平方厘米，求原正方形的面积。 【对应练习2】一个正方形，如果边长增加4厘米，则正方形就要增加64平方厘米，求原来正方形的面积和周长各是多少？ 【对应练习3】正方形的边长增加3厘米，则面积增加51平方厘米。原来正方形的周长是多少厘米？现在正方形的面积是多少平方厘米（先画图，再解答）？ 【考点五】正方形的面积增减变化问题其二。 【方法点拨】增加的面积除以增加的长度，可求出对应的长度。 【典型例题】一个长方形，如果宽增加3厘米，那么面积就增加24平方厘米，这时正好是一个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】一个长方形，如果长不变，宽增加3分米，就变成了一个正方形，此时面积增加了27平方分米。你知道原来的长方形的面积是多少吗？ 【对应练习2】一个长方形若宽增加7分米就是一个正方形，面积就增加77平方分米，求原来长方形的面积？ 【对应练习3】一个长方形，若宽增加6分米，就是一个正方形，面积增加66平方分米，求原来长方形的面积。 【考点六】长方形中的最大正方形 【方法点拨】从一个长方形中剪一个最大的正方形，正方形的边长要以长方形的较短边为准。 【典型例题】如图，从一张长5厘米，宽3厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形，剩下的长方形的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】用一张纸如图所示，剪掉一个最大的正方形，剩下的纸的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】李老师在一张长12分米、宽8分米的彩纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的彩纸有多大？ 【对应练习3】从长方形卡纸上剪下一个最大的正方形后，剩下的长方形长是8厘米，宽是2厘米。 【考点七】等长转化问题 【方法点拨】长方形和正方形的周长相等时，可以通过周长求出长方形的长或宽，可以求出正方形的边长，进而求出图形的面积。 【典型例题】一根铁丝可以围成一个长22厘米，宽8厘米的长方形，如果用这根铁丝围一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】一根铁丝可以围成长25厘米、宽15厘米的长方形，如果用这根铁丝围正方形，那么围成的正方形面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】动动脑筋我能行！ 用一根彩带可以刚好围成边长为6分米的正方形，如果把它围成长为10分米的长方形，那么这个长方形的面积是多少？ 【对应练习3】一根铁丝正好围成一个长12分米、宽8分米的长方形。如果用这根铁丝围成一个正方形，这个正方形的面积是多少平方分米？ 【考点八】长方形和正方形的面积最值问题 【方法点拨】当周长不变时，长和宽越接近，面积越大，其中当长和宽相等时，此时是一个正方形。 【典型例题1】正方形的面积最大值。 王爷爷要用一段36米长的篱笆围成一块四边形菜地，怎样围菜地的面积才能最大呢？（无法靠墙） （1）把你设计的方案用画图的方法表示出来。 （2）算一算你设计的这块菜地的面积，并说一说这样围面积最大的理由。 【对应练习】用100米长的栅栏围成一个四边形的羊圈，羊圈的面积最大是多少？ 【典型例题2】长方形的面积最大值。 用一根16分米的铁丝围成长和宽都是整分米数的长方形。围成的长方形中，面积最大是多少平方分米？ (1)完成表格。 长/分米 ( ) ( ) ( ) ( ) 宽/分米 ( ) ( ) ( ) ( ) 面积/平方分米 ( ) ( ) ( ) ( ) (2)围成的长方形中面积最大是( )平方分米，这时围成的图形又叫( )形。 (3)如果这根铁丝长26分米，那么围成的长方形中面积最大是( )平方分米。 【对应练习1】王叔叔用24根1米长的木条围一个长方形或正方形花圃，一共有几种不同的围法？面积最大是多少平方米？（先填表，再回答问题。） 长（米） 宽（米） 面积（平方米） 【对应练习2】用一根铁丝正好围一个每条边长都是4厘米的五边形（如图）。如果用这根铁丝围一个长、宽均为整厘米数的长方形（包含正方形）。 （1）写出所有围法长方形的长、宽的长度。 （2）其中围出最大长方形的面积是多少平方厘米？（列表、图画、列式都是解决问题的好办法） 【对应练习3】先填表再解答。 长方形或正方形 周长 面积 边长是( )厘米 20厘米 长6厘米、宽4厘米 长7厘米、宽( )厘米 21平方厘米 长( )厘米、宽2厘米 20厘米 （1）分析表中的数据，从中你发现了什么？ （2）小明用20米长的篱笆围成一块长方形或正方形的鸡圈养鸡。根据你的发现，他怎样围才能让围成的鸡圈面积最大？最大面积是多少？ ①围的方法： ②最大面积： 【考点九】长方形或正方形一边靠墙的问题 【方法点拨】如果长方形或正方形的一边靠墙，那么这一边的长度就可以省略不计，所以图形的周长实际只有三条边的长度。 【典型例题】一个长方形菜园，一面靠墙，三面的棚栏长29米，菜园的面积是多少平方米？ 【对应练习1】张大爷和王大爷用同样长的篱笆恰好分别围了一个菜园，张大爷围的是一个长方形（如图1），王大爷靠墙围成了一个正方形（如图2）。请你帮忙计算一下，两个菜园的面积分别是多少？ 【对应练习2】用30米的篱笆正好围如图菜地。（一面靠墙） （1）这块菜地的宽是多少米？ （2）这块菜地的面积是多少平方米？ 【对应练习3】张叔叔开了一个儿童游乐场。如图，他想用52米长的围栏围一个正方形的手工操作区（图1），李阿姨建议他用这些围栏靠墙围成一个长22米的长方形手工操作区（图2），算一算，用哪种围法所围成的手工操作区的面积大？ 【考点十】长方形的拼接裁剪问题 【方法点拨】两个或多个相同的长方形进行拼接，可以把宽拼接在一起，也可以把长拼接在一起。 【典型例题1】裁剪问题。 在一个长10厘米、宽8厘米的长方形纸上剪去一个边长是4厘米的正方形，小林想到了两种剪法（如下图），剩下部分的周长和面积分别是多少？ 【对应练习1】李奶奶正在剪窗花，她在一张长48厘米，宽32厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剪完后，剩下的部分是什么形状？它的面积是多少？    【对应练习2】如图，一个长13厘米，宽8厘米的长方形，剪去了一个边长5厘米的正方形，求剩下图形的面积。    【对应练习3】在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸中，减去一个边长是6厘米的正方形．（剪的方法如图） （1）求出剩下部分的周长是多少？ （2）求出剩下部分的面积是多少？ 【典型例题2】拼接问题 有两个相同的长方形，长36厘米，宽18厘米。 （1）拼成一个正方形，它的周长是多少？ （2）拼成一个长方形，它的周长是多少？ （3）拼成的两个图形，面积相等吗？是多少？ 【对应练习1】有两个完全相同的长方形，长是18厘米，宽是9厘米。把它们拼成一个长方形或正方形，它们的周长和面积分别是多少？你有什么发现？ 【对应练习2】两个大小一样的长方形，长是34厘米，宽是17厘米，把这两个长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形的面积和周长分别是多少？ 【对应练习3】有两个完全相同的长方形，长是24分米，宽是12分米。 （1）拼成一个正方形，它的周长和面积各是多少？ （2）拼成一个长方形，它的周长和面积各是多少？ 【典型例题3】拓展型 四个同样形状的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如右图．已知大正方形面积是81平方厘米，小正方形面积是25平方厘米，长方形长多少厘米。 【对应练习1】如图是用五个相同的小长方形拼成的一个大长方形，大长方形的周长是88厘米，求大长方形的面积。 【对应练习2】拼图与计算：用4块同样大小的长方形板，拼成一个正方形后，中间空出的小正方形面积是25平方厘米，已知长方形的长为11厘米，那么每个长方形板的面积是多少？并画出拼图示意图． 【对应练习3】如图，宽为50厘米的矩形图案由10个一样的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为多少平方厘米？ 【考点十一】正方形的拼接裁剪问题 【方法点拨】多个相同的正方形进行拼接，可以拼成一个新的正方形，也可以拼成一个新的长方形。 【典型例题1】裁剪问题。 在一张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种剪的方法（如下图）。剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米） 【对应练习1】一张正方形纸的边长是15厘米。在它的边上剪去一个长5厘米、宽3厘米的长方形，剩下的纸的周长是多少厘米？面积呢？先画出你剪的方法，再计算。 【对应练习2】如图：一张长为8分米的正方形纸中剪去了一个长3分米、宽2分米的长方形．剩下部分的面积是多少？剩下部分的周长是多少？ 【典型例题2】拼接问题 有两个大小一样的正方形，边长是18厘米，拼成一个长方形后周长是多少？面积是多少？ 【对应练习1】4个边长是4厘米的小正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的周长和面积各是多少？ 【对应练习2】用9块边长6厘米的正方形纸片拼成一个正方形。 （1）请你在下边先画图。 （2）所拼成图形的周长和面积各是多少？ 【对应练习3】用6个边长为1厘米的小正方形可以拼成一个大长方形，有几种拼法？画图表示出来。拼成的长方形的面积是多少？ 【考点十二】铺砖问题其一：铺砖数量 【方法点拨】 1. 要铺的图形的面积÷地砖的面积=地砖的总块数。 2. 要铺的图形的长可以铺的块数×要铺的图形的宽可以铺的块数=地砖的总块数。 【典型例题】一个会议室的地面长12米，宽8米。用边长是4分米的方砖铺地，需要多少块这样的方砖？ 【对应练习1】一个厨房长4米，宽2米，用边长为2分米的方砖铺地，至少需要多少块？ 【对应练习2】一间长9米、宽6米的长方形会议室，如果用边长是3分米的方砖铺地面，那么一共需要这样的方砖多少块？ 【对应练习3】一块长方形草坪，长25米，宽8米，沿草坪一边用边长20厘米的方砖铺一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？一共要用多少块方砖？ 【考点十三】铺砖问题其二：总面积 【方法点拨】地砖的总块数×每块砖的面积=要铺的图形的面积。 【典型例题】波波家的阳台要铺地砖，用边长4分米的方砖，沿着阳台的长铺了10块，沿着宽铺了5块，这个阳台的面积是多少？ 【对应练习1】红红家准备为宽4.8米的长方形书房铺方砖，有下面两种方砖可选择。如果选择边长为8分米的方砖铺地，需要30块才能铺满。这个书房的面积是多少平方分米？ 【对应练习2】学校会议室是一个长方形。如果用边长5分米的方砖来铺地面，沿着长边可铺20块，沿着宽边可铺10块。学校会议室地面面积有多少平方米？ 【对应练习3】为丰富学生的课余活动，学校装修出一间教室作为学生的活动室，并用边长6分米的方砖铺地（如图所示），沿着长边铺了15块，沿着宽边铺了5块。 （1）一块方砖的面积是多少平方分米？ （2）这间教室的面积有多少平方米？ （3）如果在这个教室里上划出一块最大的正方形设计成“垫上运动区”，并摆上面积为5平方分米的泡沫垫，需要购买多少块这样的泡沫垫？ 【考点十四】铺砖问题其三：确定最优方案 【方法点拨】确定最优的铺砖方案时，需根据不同砖的类型确定砖的块数以及对应的金额，找出最省钱的方案。 【典型例题】 学校新建的阅览室地面需要铺地砖，有大、小两种方砖可供选择．请你计算选择哪种方砖便宜？便宜多少钱？ 【对应练习1】豆豆家准备在客厅地面铺上方砖，请根据所提供的信息，完成问题。 （1）如果选择边长为2分米的方砖铺地，需要多少块？ （2）选择哪一种方砖便宜？便宜多少钱？ 【对应练习2】 （1）一张长12dm、宽8dm的彩纸，最多能剪出多少张面积为7dm2的正方形纸？ （2）李红家准备在客厅地面上铺方转，选择哪种方砖便宜，需要这种方砖多少块？ 【对应练习3】赵强家准备在长6米、宽4米的客厅地面上铺上方砖，有下面两种方砖，选择哪种方砖便宜，便宜多少钱？ 【考点十五】正方形的数量问题 【方法点拨】要以长为边，先求出长可以锯成几块；再以宽为边，求出宽可以锯成几块；再把长边的数量×宽边的数量，即可求出最多能锯成多少块小正方形木板。 【典型例题】王师傅将一块长2米，宽12分米的长方形木板锯成边长是2分米的小正方形木板，最多能锯成几块？ 【对应练习】将一块长25厘米，宽12厘米的纸剪成若干个边长为2厘米的正方形，最多可以剪成多少块？ 【考点十六】不规则平面图形的面积 【方法点拨】求不规则平面图形的面积，一般用平移、分割、添补等方法把不规则图形转化为规则的已知图形再来求面积。 【典型例题】李叔叔家有一块菜地（如下图），这块菜地的面积有多少平方米？ 【对应练习1】有一块60分米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32分米、宽20分米的长方形花圃，其余的植上草皮。（如图）请问花圃的面积是多少平方分米？草皮的面积是多少平方分米？ 【对应练习2】在一块草地的中间有一条宽2米的长方形小路，草地部分的面积是多少平方米？ 【对应练习3】奶奶家院子里有一块菜地（如图），这块菜地的面积有多少平方米？ 第五单元数据的收集与整理【四大考点】 【考点一】单式统计表 【考点二】复式统计表 【考点三】根据复式统计表，解决实际问题 【考点四】复式统计表的绘制 【考点一】单式统计表 【方法点拨】1. 单式统计表。单式统计表是只含有一个统计项目的表格，用于整理和展示单一类别的数据。例如：记录某位学生一周内每天阅读时间、某班级学生某天吃早餐情况等。 2. 单式统计表的制作步骤。 （1）搜集数据：通过观察、记录等方式收集原始数据。 （2）整理数据：按统计目的对数据进行分类，去除重复或无效信息。 （3）设计草表：规划表格结构，确定横栏和竖栏的分格数量及长度。 （3）正式制表：填写核对后的数据，并标注标题、单位、日期。 3. 单式统计表的特点和作用。 （1）特点。结构简单，仅包含单一统计项目，数据直观，便于快速查看和分析。 （2）作用。用数量说明研究对象的情况，例如分布、变化等，帮助发现数据规律或差异，辅助解决问题。 4. 单式统计表的应用。记录学生个人每日体温变化；统计班级内学生最喜欢的单一类别课外活动（如“跳绳人数”）；分析某商店一周内某商品的日销量等等。 【典型例题】下面是三（1）班同学最喜欢的周末活动情况统计表。 三（1）班同学最喜欢的周末活动情况统计表 周末活动 看书 看电视 旅游 运动 其他 人数（人） 15 10 8 4 3 (1)三（1）班同学周末最喜欢( )的人数最多；最喜欢旅游的人数是最喜欢( )的人数的2倍。 (2)三（1）班一共有( )人。 【对应练习1】四年级一班男生1分钟跳绳的成绩记录如下。 125、85、142、115、79、104、133、128、115、84 129、96、134、124、102、138、112、88、122、106 （1）把下面的统计表填写完整。 四年级一班男生1分钟跳绳成绩统计表 2024年10月 成绩/个 合计 100以下 100～120 121～140 141及以上 人数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （2）成绩在( )的人数最多，在( )的人数最少。（填成绩段） 【对应练习2】喜欢吃苹果的有18人；喜欢吃梨的有9人；喜欢吃香蕉的人数比喜欢吃梨的人数多6人。 （1）填写下表。 喜欢吃的水果 人数（人） （2）喜欢吃( )的人数最多，喜欢吃( )的人数最少。 （3）喜欢吃苹果的人数比喜欢吃梨的人数多( )人。 （4）喜欢吃梨的和喜欢吃香蕉的共( )人。 【对应练习3】下面是第二小学三年级某班同学最喜欢吃的蔬菜情况统计表。 最喜欢吃的蔬菜 土豆 茄子 豆角 黄瓜 人数（人） 13 5 9 10 (1)最喜欢吃( )的人最多，有( )人；最喜欢吃( )的人最少，有( )人。 (2)最喜欢吃土豆的人数比最喜欢吃豆角的人数多( )人。 (3)最喜欢吃黄瓜的人数是最喜欢吃茄子的人数的( )倍。 【考点二】复式统计表 【方法点拨】 1. 复式统计表。复式统计表是包含两组或两组以上统计项目的表格，能够同时整理、对比和分析多组相关数据。例如：同时统计“男生”和“女生”的阅读时间、不同年级学生的身高体重等。 2. 复式统计表的制作步骤。 （1）确定统计表名称。明确统计内容和统计表名称，例如“五年级学生课外活动统计表”。 （2）规划行列结构。根据数据分类，确定横栏和纵栏的类别及数量。 （3）设计表头。将横栏、纵栏和数据项整合到表头中。 （4）合并数据。将多个单式统计表的数据合并到复式统计表中，注意避免重复或遗漏。 （5）计算合计与总计。通过横向或纵向求和验证数据准确性。 3. 复式统计表的特点和作用。 （1）特点。相比单式统计表，复式统计表的结构更复杂，可同时呈现多组数据，支持对比分析，例如不同性别、年级的数据比较。 （2）作用。复式统计表有利于发现数据间的关联和差异，例如男生更爱踢球，女生更爱跳绳，简化复杂数据的呈现，提升分析效率。 4. 复式统计表的应用。根据复式统计表回答问题时，首先要看懂表头，弄清每一项内容，然后找到相关内容的数据进行分析和计算，最后解决所求问题，一般可用于以下场景中，例如：统计班级中男生和女生最喜欢的课外活动；比较不同年级学生的平均身高和体重；分析某商店不同季节、不同商品的销量变化等等。 【典型例题】观察复式统计表，并回答问题。 下面是三年级某班参加课后兴趣小组统计表（单位：人） 美术 音乐 篮球 合唱 男生 2 4 5 14 女生 1 3 7 17 (1)男生参加( )兴趣小组的人数最少，女生参加( )兴趣小组的人数最多。 (2)参加合唱的一共有( )人。 【对应练习1】下面是阳光小学三年级同学的体育成绩统计表。 性别 优秀 良好 合格 不合格 男生 20 56 11 23 女生 27 43 13 16 (1)阳光小学三年级一共有( )名学生。 (2)男生成绩获得( )的人数最多，女生成绩获得( )的人数最少。 (3)合格以上为达标，( )生的达标人数最多。（填“男”或“女”） 【对应练习2】下面列出了几种食物每100克中脂肪和蛋白质的含量。 成分/含量/克/食物 豆腐 鸭肉 鸡肉 鲜鱼 脂肪 7 21 2 9 蛋白质 16 15 23 21 (1)每100克豆腐中的蛋白质为( )克，每100克鸭肉中的脂肪为( )克。 (2)100克豆腐中蛋白质含量比100克鲜鱼中蛋白质含量少( )克。 (3)研究表明，多吃高蛋白、低脂肪的食物有利于健康，在上面四种食物中，最符合条件的是( )。 【对应练习3】根据统计表中的信息完成各题。 三年级学生最喜欢课外书籍种类统计表 科幻类 童话类 科普类 历史类 男生 26 13 25 13 女生 21 33 14 13 (1)男生最喜欢的两种课外书籍是( )类和( )类，相差人数是( )人。 (2)女生最喜欢的课外书籍是( )类，有( )名女生喜欢科普类书籍。 (3)通过比较可以发现，喜欢( )类课外书籍的男、女生人数相差最大。 (4)参加本次统计的女生共有( )人。 【考点三】根据复式统计表，解决实际问题 【方法点拨】 复式统计表的应用。根据复式统计表回答问题时，首先要看懂表头，弄清每一项内容，然后找到相关内容的数据进行分析和计算，最后解决所求问题，一般可用于以下场景中，例如：统计班级中男生和女生最喜欢的课外活动；比较不同年级学生的平均身高和体重；分析某商店不同季节、不同商品的销量变化等等。 【典型例题】下面是某校春游划船活动人数上报表。 （1）请把表格填完整。 （2）如果每条小船最多坐6位同学，那么四年级全体同学需要租几条小船？ （3）如果每条大船最多乘坐9位同学，那么五、六年级女生一起坐大船，至少需要租几条大船？ 【对应练习1】某冷饮店一个星期售出饮料情况如下表： （1）哪一天售出的饮料最多？售出多少箱？ （2）本星期上午一共售出多少箱饮料？平均每个上午售出多少箱？ （3）星期六和星期日两天，平均每天售出多少箱饮料？ 【对应练习2】下面是三（1）班第一组同学期中数学成绩统计表。 （1）观察统计表，第一小组男生的成绩好还是女生的成绩好？ （2）如果三（1）班共有4个这样相同人数的小组，三（1）班共有多少人？ 【对应练习3】根据统计表回答下列问题。 （1）三年级哪个班男、女生人数相差最多？相差多少人？ （2）三年级1－4班的男生一共有多少人？ 【考点四】复式统计表的绘制 【方法点拨】 复式统计表的制作步骤。 （1）确定统计表名称。明确统计内容和统计表名称，例如“五年级学生课外活动统计表”。 （2）规划行列结构。根据数据分类，确定横栏和纵栏的类别及数量。 （3）设计表头。将横栏、纵栏和数据项整合到表头中。 （4）合并数据。将多个单式统计表的数据合并到复式统计表中，注意避免重复或遗漏。 （5）计算合计与总计。通过横向或纵向求和验证数据准确性。 【典型例题】《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》正式施行后，小明想知道郑州市生活垃圾分类进展如何，就对自己所住小区的1号楼和2号楼的居民进行了调查，根据调查的数据得到了下面的统计表。 1号楼生活垃圾分类情况统计表 类别 垃圾分成2类 垃圾分成3类 垃圾分成4类 垃圾不分类 户数 57 62 51 6 2号楼生活垃圾分类情况统计表 类别 垃圾分成2类 垃圾分成3类 垃圾分成4类 垃圾不分类 户数 73 56 39 8 根据上面两个表中的信息，将下面的表格填写完整，再回答问题。 楼号户数 种类 垃圾分成2类 垃圾分成3类 垃圾分成4类 垃圾不分类 1号楼 ( ) ( ) ( ) ( ) 2号楼 ( ) ( ) ( ) ( ) （1）1号楼把垃圾分成4类的居民有( )户，2号楼把垃圾分成4类的居民有( )户。 （2）2号楼垃圾不分类的居民比1号楼垃圾不分类的居民( )。 （3）1号楼中参与调查的居民共有( )户。 【对应练习1】光明小学四（1）举行数学知识竞赛，成绩如下：（单位：分） 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 编号 成绩 1 68 6 76 11 100 16 65 21 95 26 58 2 85 7 87 12 91 17 92 22 73 27 66 3 83 8 97 13 79 18 85 23 86 28 98 4 99 9 88 14 68 19 79 24 94 29 66 5 82 10 74 15 88 20 71 25 72 30 83 （1）根据上面的信息，完成下面的统计表。 成绩/分 合计 90及以上 80～89 80以下 人数 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）这次竞赛最高分是( )分，最低分是( )分，最高分和最低分相差( )分。 【对应练习2】五道渠学校各年级男、女生人数如下： 一年级：男生 23人，女生21人；二年级：男生19人，女生24人； 三年级：男生28人，女生33人；四年级：男生22人，女生22人； 五年级：男生26人，女生30人；六年级：男生28人，女生30人； 根据以上数据制成统计表。 【对应练习3】先锋小学学生向“手拉手”学校捐赠图书的情况如下： 一年级：文艺书80册　　　　科技书32册　　　　连环画96册 二年级：文艺书93册　　　　科技书40册　　　　连环画106册 三年级：文艺书98册　　　　科技书73册　　　　连环画110册 四年级：文艺书115册　　　 科技书43册　　　　连环画131册 五年级：文艺书132册　　　 科技书56册　　　　连环画109册 根据上面的数据，填写下面的统计表。 先锋小学向“手拉手”学校捐赠图书统计表 年　月　日 年、月、日的秘密【八大考点】 【考点一】认识月份 【考点二】认识闰年和平年 【考点三】认识季度 【考点四】认识12时计时法和24时计时法 【考点五】计算经过的时间 【考点六】计算有效天数 【考点七】计算年份 【考点八】周期问题与推理星期几 【考点一】认识月份 【方法点拨】 1. 了解大月、小月、特殊月。 （1）大月（有31天的月份叫大月）：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月都称为大月，共7个月份。 （2）小月（有30天的月份叫小月）：4月、6月、9月、11月都称为小月，共4个月份。 （3）特殊月（既不是大月，也不是小月）：2月，有时28天，有时29天。 2. 月份的记忆方法。（1）拳头记忆法 数法∶伸出左手，手背面向自己，握住拳头，从右边第一个凸起处开始数起，第一个凸起处是一月，凹下的地方是二月，接着以此类推数到七月，转回来，从数一月的地方接着数八月，一直数到十二月。 发现：①凡是数到凸起的地方为大月，每月是31天；凹下的地方为小月，每月是30天（2月除外）； ②七月、八月这两个大月连在一起。 （2）歌诀记忆法 【歌诀一】一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，二月二八、二九来变化。 说明：腊，一般指农历十二月，在这里代表公历十二月；冬，一般指农历十一月，在这里代表公历十月。 【歌诀二】七个大月心中装，七前单数七后双。 说明：七月前的单月（包括七月）和七月后的双月都是大月。 【典型例题】一年中有( )个大月。 A．5 B．6 C．7 【对应练习1】下面的节日是在大月的是( )。 A．清明节 B．教师节 C．国庆节 【对应练习2】8月有( )天。 A．28 B．29 C．30 D．31 【对应练习3】下面节日所在的月份都是大月的一组是( )。 A．儿童节、劳动节 B．植树节、儿童节 C．儿童节、教师节 D．建军节、国庆节 【考点二】认识闰年和平年 【方法点拨】 1. 根据2月的天数判断。平年：2月有28天；闰年：2月有29天。 2. 根据全年的天数判断。平年：全年有365天；闰年：全年有366天。 3. 根据公历年份判断。平年：公历年份不是4的倍数；闰年：公历年份是4的倍数（公历年份是整百年的，必须是400的倍数）。 【典型例题】下列年份中是闰年的是( )。 A．1800年 B．2100年 C．2000年 【对应练习1】在2000年，2014年，2020年，2200年这些年份中，是闰年的有( )个。 A．4 B．3 C．2 【对应练习2】下列年份中不是闰年的是( )。 A．1900年 B．2000年 C．2020年 D．2028年 【对应练习3】每年的上半年和下半年天数相差( )天。 A．1 B．2 C．3 D．2或3 【考点三】认识季度 【方法点拨】一年分为四个季度，每三个月为一个季度，1—3月为第一季度，4—6月为第二季度，7—9月为第三季度，10—12月为第四季度。 【典型例题】一年的季度中，第( )季度的天数最多。 A．一 B．二 C．三 【对应练习1】教师节在第( )季度，劳动节在第( )季度。 A．一；二 B．二；三 C．三；二 D．四；二 【对应练习2】绿水青山就是金山银山。大力开展植树活动是保护环境的好办法，植树节是在一年中的第( )季度 A．一 B．二 C．三 D．四 【对应练习3】一年有四个季度，一季度有三个月，第( )两个季度的天数一定相同。 A．一和二 B．二和三 C．三和四 D．二和四 【考点四】认识12时计时法和24时计时法 【方法点拨】 1. 12时计时法。时针走到几时，就说几时，然后在前面加上凌晨、早上、上午、中午、下午、晚上等词语来区别不同的时刻，12时计时法又叫普通计时法。 2. 24时计时法。在一天里，钟表上的时针正好走两圈，共24小时，采用从0时到24时的计时法，是24时计时法。 3. 认识0时。日常生活中所说的半夜12时既是一天结束的时刻，称为 24时，又是新一天开 始的时刻，称为0时。 4. 12时计时法与24时计时法的转化方法。 （1） 12时计时法转化为24时计时法：从半夜12时到中午12时，直接去掉限制词；中午12时以后，用“整时”加上12，并去掉限制词。 （2）24时计时法转化为12时计时法：从0时到12时，直接加上限制词；12时以后，用“整时”减去12，并加上限制词。 【典型例题】晚上7时用24时计时法表示为( )，15时30分用普通计时法表示为( )。 【对应练习1】晚上8时是( )时，上午7时是( )时；15时是下午( )时，10时是上午( )时。 【对应练习2】下午7：30用24时计时法表示为( )；10时20分用12时计时法表示为( )。 【对应练习3】2022年10月12日下午4时01分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，由新晋“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲授课，这是中国航天员首次在“问天”实验舱内进行授课。下午4时01分用24时计时法表示为( )。 【考点五】计算经过的时间 【方法点拨】 1. 计算经过的时间。如果两个时刻的表示法不同，要转化成相同的表示法，解决此类问题时，一般要把12时计时法转化成24时计时法。 2. 计算经过时间的方法。 经过时间=结束时刻－开始时刻；结束时刻=开始时刻＋经过时间； 开始时刻=结束时刻－经过时间。 【典型例题1】问题一 夏至是一年中白昼最长的一天。南京天文台观测出夏至这天早上4：30天亮，晚上7时42分天黑。这天南京白天一共有多长？ 【对应练习1】2021年7月4日8时11分至当日14时57分，我国空间站航天员刘伯明、汤洪波首次出舱活动取得圆满成功。航天员出舱活动了多长时间？ 【对应练习2】星期六，乐乐上午8时到奶奶家，晚上9时妈妈接他回家，这一天乐乐在奶奶家待了多长时间？ 【对应练习3】李叔叔每天早上8：30上班，中午休息1小时30分钟，下午6：00下班。 （1）李叔叔每天工作多长时间？ （2）某天因为有加班任务，李叔叔下班时间比平时晚3小时，下班后他想乘坐18路公交车回家，能坐上吗？ 【典型例题2】问题二 张阿姨是医院的医生，今天该她值夜班，她从晚上7：30开始上班，到第二天早上8：00交班，张阿姨一共上了多长时间的夜班？ 【对应练习1】一列火车18：00出发，第二天8：00到达，这列火车运行多长时间？ 【对应练习2】小丽每天晚上8：45上床，上床后又看45分钟的课外书才睡觉。她晚上几时几分开始睡觉？如果睡到第二天早上7：30起床，她睡了多长时间？ 【对应练习3】火车从西安到北京，下午6时发车，第二天早上7时37分到达，这列火车行驶了多长时间？ 【典型例题3】问题三 甲地到乙地的路程是530千米，一辆货车平均每小时行驶89千米。这辆货车早晨6时从甲地出发，中午12时能到达乙地吗？ 【对应练习1】元旦节，苗苗与爸爸开车一起去看望奶奶，他们上午9：30从家出发，下午3：30到达奶奶家，途中在服务区休息和吃午饭约用了一小时，爸爸平均车速为每小时87千米，苗苗家到奶奶家有多少千米？ 【对应练习2】一列火车上午11时从甲地出发，下午3时到达乙地，火车平均每小时行90千米。甲乙两地相距多少千米？ 【对应练习3】德江到贵阳全程约为360千米，爸爸去贵阳出差，上午8时乘客车从德江出发，中午12时到达贵阳，客车平均每小时行多少千米？ 【考点六】计算有效天数 【方法点拨】 1. 计算有效天数（不跨月）的方法。结束日期－开始日期＋1。 2. 计算有效天数（跨月）的方法。 （1）先将日期分成两段，开始日期到当月结束日期为第一段，剩余的天数为第二段； （2）有效天数=当月结束日期-开始日期＋1＋剩余天数。 【典型例题1】同月 李青暑假去姥姥家玩，他从7月12日开始，到7月20日结束，一共住了几天？ 【对应练习1】3月5日到3月31日共多少天？ 【对应练习2】2022年北京冬奥会从2月4日开始，到2月20日结束，共计( )天，今年二月共有( )天。 【典型例题2】跨月 2025年2月13日开学，7月6日放暑假。这个学期一共有多少天？ 【对应练习1】2025年春季期开学时间是2月17日，6月30日放暑假。这个学期一共有多少天？ 【对应练习2】精英小学2024年1月28日开始放寒假，2月26日开学，这所小学寒假放多少天？ 【对应练习3】妈妈在2023年12月22日买了一款理财产品，次日（第二天）开始计息，到2024年2月5日到期。妈妈买的是多少天的理财产品？ 【考点七】计算年份 【方法点拨】年份的计算与有效日期的计算类似。 【典型例题】我国历史悠久，先后有很多朝代。 （1）下面是我国唐朝的开始年份和结束年份。唐朝经历了多少年？ 唐（618年－907年） （2）宋朝分为北宋和南宋，北宋从960年开始，经历了167年，北宋是何时结束的？ 【对应练习1】亮亮是1998年4月25日出生的，到2010年4月25日，亮亮是几周岁？他妈妈恰好比他大25岁，亮亮妈妈是哪年出生的？ 【对应练习2】 （1）2020年2月14日早晨，牛奶还能喝吗？ （2）学习机今天坏了，在保修期内吗？ （3）灭火器从哪年开始必须进行检验？ 【对应练习3】如图是一种感冒药包装盒中的部分说明。 请根据以上说明填空并回答问题。 （1）这种药的保质期是（     ）年。 （2）这种药一天最多服用多少克？（请写出计算过程） 【考点八】周期问题与推理星期几 【方法点拨】解决此类问题，应首先算出两个日期的差，再看此天数包含几个星期（即包含几个7天），如果两个日期的差正好是7的倍数，那么这两个日期的星期数就相同；如果有余数，余数是几，就从首日期星期数的后一天开始往后数几天。 注意：当两个日期是不同月份的时候，需分析第一个日期所在的月份是大月还是小月还是二月。 【典型例题1】同一月内推算 2022年6月14日是星期二，6月30日是星期几？ 【对应练习1】如果4月13日是星期二，那么4月28日是星期几? 【对应练习2】 北京冬奥会2022年2月4日（星期五）开幕，2022年2月20日闭幕，是星期( )。 【典型例题2】不同月份推算 2022年2月10日是星期四，那么2022年9月2日是星期几？ 【对应练习1】某年的8月10日是星期四，那么这年的12月15日是星期几？ 【对应练习2】9月15日是星期三，10月8日是星期几？ 【对应练习3】2014年4月10日是星期四，则2014年6月1日是星期几？ 【对应练习4】回答下列各题： （1）如果今天是星期三，从这天算起，第25天是星期几？ （2）如果今天是星期三，再过25天是星期几？ 第六单元小数的初步认识·概念与计算篇 【考点一】小数的初步认识和读写法 【考点二】生活中常见的小数单位转化 【考点三】一位小数的大小比较 【考点四】小数的大小比较与生活实际应用 【考点五】小数组数问题 【考点六】小数点错读错看 【考点七】简单的小数加减法列竖式计算 【考点八】简单的小数加减法混合运算与脱式计算 【考点一】小数的初步认识和读写法 【方法点拨】 1. 小数的定义。小数是由整数部分、小数点和小数部分组成，常出现在商品价格（3.50元）、长度（0.1米）等生活场景中。 2. 小数与分数的关系。分母是 10 的分数可写成一位小数（如 1/10 = 0.1）；分母是 100 的分数可写成两位小数（如 7/100 = 0.07）。 3. 小数的读法。从整数部分读起，整数部分按照整数的读法来读，整数部分是0的读作“零”；小数点读作“点”；小数部分按从左到右的顺序依次读出每一位上的数字，小数部分不管有几个0，都要一一读出来。 4. 小数的写法。 先写整数部分，按照整数的写法来写，如果整数部分是零，就直接写0；再 在个位数字的右下角点上小数点；最后依次写出小数部分每一位上的数字。 【典型例题1】小数的认识 分别用分数和小数表示图中的阴影部分。 分数：( )       分数：( ) 小数：( )       小数：( ) 【对应练习1】如下图，涂色部分用分数表示是( )，用小数表示是( )。    【对应练习2】在下图中的里填小数，（    ）里填分数。 【对应练习3】在□里填上合适的小数。 【典型例题2】小数的读写法。 九点零三写作( )，7.27读作( )。 【对应练习1】 九点五零写作：( )；30.06读作：( )。 【对应练习2】乐乐的爸爸身高是一点七四米，横线上的数写作( )；体重是70.5千克，横线上的数读作( )。 【对应练习3】读数和写数。 0.74读作( )     2.76读作( ) 零点二七写作( )     二十八点零六写作( ) 【考点二】生活中常见的小数单位转化 【方法点拨】生活中常用小数表示一些常见的单位换算。 1元=10角，1角=0.1元；1元=100分，1分=0.01元； 1米=10分米，1分米=0.1米；1米=100厘米，1厘米=0.01米。 【典型例题】8元6角写成小数是( )元，米写成小数是( )米。 【对应练习1】7分米用分数表示是( )米，用小数表示是( )米；12元5角用小数表示是( )元。 【对应练习2】6.3m是( )m( )dm；8分米4厘米是( )米。 【对应练习3】5角7分用整数表示是( )分，用分数表示是元，用小数表示是( )元。 【考点三】一位小数的大小比较 【方法点拨】先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就比较小数部分，小数部分第一位上的数大的那个数就大；如果第一位上的数相同，就比较第二位上的数……以此类推。 【典型例题】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 21角( )2.2元       3.8米( )38分米       3.3分米( )0.4分米 【对应练习1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.2米( )8.1米     0.6元( )0.9元       16分米( )1.5米 1( )0.8            6.4元( )6元4角      4.7( )5.7 【对应练习2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5( )2.9     0.4( )0.6     16.1元( )15.9元 4元5角( )4.6元     11.3米( )11.5米     7.8米( )78分米 【对应练习3】在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 1.4( )0.9         5.7( )5.2             35×24( )24×29 7m2( )700dm2      4角( )0.6元        2.6分米( )2分米8厘米 【考点四】小数的大小比较与生活实际应用 【方法点拨】生活实际中的数字往往会以小数的方式呈现，掌握小数的大小比较方法可以更熟练的解决该类问题。 【典型例题】请把下面同学的名字写在领奖台上。 三名同学立定跳远成绩 名字 成绩/米 小林 1.9 小强 1.7 辉辉 2.1 【对应练习1】在男子跳远比赛中，小立跳了1.3米，小刚跳了1.7米，小军跳了1.5米，小亮跳了0.9米，在这次比赛中，谁获得了男子跳远比赛第一名？请按成绩给他们排出名次。 【对应练习2】 （1）哪袋糖最轻？哪袋糖最重？ （2）哪袋糖最贵？哪袋糖最便宜？ 【对应练习3】体质测试中，三（1）班的四位男同学成绩如下表。 （1）座位体前屈测试中，吴西成绩是第一名，那么他至少伸到了( )厘米；赵明得了第四名，那么他最多只伸到了( )厘米。 （2）比较四位同学50米跑步测试的成绩，请把前三名的名字写在领奖台上。 【考点五】小数组数问题 【方法点拨】用数字和小数点组小数时，注意审清题目要求，有规律的组数。 【典型例题】用、、和小数点，你能组成多少个不同的两位小数？并将它们写出来。 【对应练习1】用2、5、6、8和小数点能组成多少个不同的两位小数？并分别写出来。（每个数字只能用一次，至少写出14个） 【对应练习2】用2、5、4和小数点，可以组成不同的小数，请你把它们都写出来．(每个数字都要用并且只能用一次) 【对应练习3】用2，0，5和一个小数点，你能组成哪些不同的小数？请将它们写下来。 【考点六】小数点错读错看 【方法点拨】小数点错读错看的问题，先把读错的小数写出来，再根据题目要求调整小数点的位置。 【典型例题】小马虎在读一个小数时，把小数点的位置看错了，结果读成四百五十点七，已知原数要读出一个零，原数可能是多少？ 【对应练习1】小青读一个小数时，由于没看到小数点，结果错读成五千零八。原来的小数只读一个零，原来的小数是多少？ 【对应练习2】小冬在读一个小数时，把小数点丢了，结果读成了四千零三，原来的小数一个零都不读出来，原来的小数是多少？ 【考点七】简单的小数加减法列竖式计算 【方法点拨】 1. 小数加法的计算方法。先把小数点对齐（也就是相同数位对齐），再按照整数加法的计算方法进行计算，哪一位相加满十要向前一位进1，得数的小数点要和加数的小数点对齐。 2. 小数减法的计算方法。先把被减数和减数的小数点对齐（也就是相同数位对齐），再按照整数减法的计算方法进行计算，得数的小数点要和被减数或减数的小数点对齐。 3. 整数加、减法与小数加、减法的相同点和不同点。 相同点：（1）相同数位对齐，计算小数加、减法时，只要小数点对齐，就能保证相同数位对齐； （2）加法相加满十向前一位进1，减法不够减从前一位退1当10； （3）用竖式计算时都按从低位到高位的顺序进行计算。 不同点：整数减法中，最高位的计算结果为0时，0不写；小数减法中，整数部分计算结果为0时，0不可以省略，要写在个位上。 【典型例题】列竖式计算。 【对应练习1】列竖式计算。 3.6＋2.7＝               6.5－2.8＝               15＋4.3＝                20－8.3＝ 【对应练习2】列竖式计算。 ＝           ＝ ＝            ＝ 【对应练习3】列竖式计算。 3.6＋8.8＝             16.4＋2.8＝ 9－3.6＝               10.7－6.9＝ 【考点八】简单的小数加减法混合运算与脱式计算 【方法点拨】简单的小数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，从左往右依次计算。 【典型例题】脱式计算。 218＋32×25             427－174÷6           15.8－1.2＋3.5 【对应练习1】用递等式计算。 35×24－175                   504÷6×15              14.3＋3.9－0.8 【对应练习2】脱式计算。 （503－458）×32                7－3.6＋25.8                780－16×25 【对应练习3】脱式计算。 13×32－136            （501－246）÷5            4.8－1.8＋3.7 第六单元小数的初步认识·实践与应用篇 【考点一】小数加法与生活实际应用 【考点二】小数减法与生活实际应用 【考点三】小数加减法混合运算与生活实际应用 【考点四】还原问题 【考点五】倒油问题 【考点六】重叠问题 【考点七】错中求解 【考点一】小数加法与生活实际应用 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】红红购物后不小心把购物小票弄脏了，你知道她一共花了多少钱吗？ 【对应练习1】这两本书一共多少钱？ 寻宝记 13.6元 恐龙世界 20.5元 【对应练习2】妈妈在超市买了3千克苹果，每千克8元，又买了2千克香蕉，每千克1.5元，一共花了多少钱？ 【对应练习3】小军买了一本故事书12.8元，买了一本科幻书32.4元，两本书一共多少元？ 【考点二】小数减法与生活实际应用 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】早上小红拿5元钱去买早点，剩下2.5元钱。小红买早点用了多少钱？ 【对应练习1】小明身上有12元零花钱，花了4.5元买文具，又花了3元买零食，现在他还剩下多少钱？ 【对应练习2】蜂鸟是世界上最小的鸟，它的体长只有5.6厘米。 【对应练习3】西安地铁2号线是西安市的第一条地铁线路，目前已完成两期工程建设。已知第一期工程全长约20.5千米，第二期工程全长约6.9千米，第一期工程比第二期工程约长多少千米？ 【考点三】小数加减法混合运算与生活实际应用 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】欢欢身高1.3米，他站到0.8米高的凳子上以后比爸爸还要高0.3米，欢欢的爸爸身高多少米？ 【对应练习1】强强在超市买一支钢笔花了4.5元，买一个日记本花了2.8元，强强付出10元，应找回多少元？ 【对应练习2】某地一天早晨的气温是21.3度，中午比早晨上升了10.8度，到了晚上又比中午下降了9.6度，晚上的气温是多少度？ 【对应练习3】为完成学校布置的劳动实践作业——“西红柿炒蛋”，王阳同学带30元去超市，买西红柿用去4.2元，买鸡蛋用去3.9元，王阳还想再买一本22元的《数学世界》，他带的钱够吗？ 【考点四】还原问题 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】妈妈带了一些钱去超市购物，买洗衣液用去了带的总钱数的一半，买香蕉又用去了剩余钱数的一半，现在还剩下7.9元。妈妈一共带了多少钱？ 【对应练习1】盆子中有鸡蛋不知其数，第一次吃了其中的一半又半个，第二次吃了剩下的一半又半个，这时盆子中还剩下1个鸡蛋，盆子中原有鸡蛋多少个？ 【对应练习2】妈妈到超市买东西，她买肉用去所带钱数的一半，买水果用去余下钱数的一半，买青菜又用去余下钱数的一半，这时还剩4.5元。妈妈去超市一共带了多少钱？ 【考点五】倒油问题 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】一桶油连桶重10千克，用去一半油后连桶重5.7千克，桶有多重？ 【对应练习1】妈妈买来一桶油，连通共重6.6千克，用去一半后，连通共重4千克，这桶油原来重多少千克？桶重多少千克？ 【对应练习2】小明的爸爸去超市买了一桶油，油和桶共重4.1千克，用去一半油后，油和桶共重2.1千克，原来油和桶各重多少千克？ 【考点六】重叠问题 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】把两根竹竿像下面这样接在一起，接完后的竹竿长多少米？ 【对应练习1】姐姐把两张长都是1.6米的彩纸重叠在一起（涂色部分表示重叠部分）。重叠部分长0.4米，重叠在一起后，彩纸一共长多少米？ 【对应练习2】看图解答。 （1）把两根竹竿像下面这样接在一起，接完后的竹竿有多长？ （2）用接好的竹竿测量河水的深度。露出水面的部分长0.9米，此处河水深多少米？ 【考点七】错中求解 【方法点拨】熟练掌握小数加减法的计算方法是解决小数加减法实际应用题的关键。 【典型例题】小军在计算小数减法时，把被减数15.3看成了153，结果得144.1，正确的差是多少？ 【对应练习1】小力计算2.58加一个两位小数时，由于马虎，将这个两位小数的小数点丢了，结果得数是78.58，正确的得数应该是多少？ 【对应练习2】军军去商店买文具盒和书包，付钱时给了售货员阿姨54.10元，但是售货员阿姨却说钱不够，原来军军把文具盒的价钱6.30元看成3.60元，那么军军该付多少钱？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $