高一数学上学期期末模拟卷（人教B版必修第一册+第二册）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）必修第一册 --第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题，则的否定（ ） A． B． C． D． 3．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 4．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数且过定点，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 7．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 10．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 11．如果函数的定义域和值域都是，则称函数是上的“同域函数”， 是的“同域区间”，则下列说法正确的是（　　） A．函数是上的“同域函数” B．函数存在“同域区间” C．函数有且只有3个“同域区间” D．函数有且只有1个“同域区间” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ．（答案不唯一） 13．若幂函数在时的图象位于直线的上方，则的取值范围是 . 14．一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”， （1）若为的跟随区间，则 ； （2）若函数存在“跟随区间”，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16.（15分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 17.（15分）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 18.（17分）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19.（17分） 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有； 则称函数为“雅礼函数”． 已知为幂函数且是偶函数，函数过点． (1)试求的解析式； (2)试判断函数与是否是“雅礼函数”； (3)若函数为“雅礼函数”，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 o (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 .: 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教B版(2019)必修第一册-第二册。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 % : 要求的。 1.已知集合A={01,2,B={x-1<x3<3},则AnB=() A.{0} B.{1} c.{0,1} D.{0,1,2 2.命题p:x>Lx-1>0,则p的否定() 1 O A.3x>1,x--≤0 B.3x≤l,x-1<0 1 C.x>1,x--≤0 D.xs1,x-1<0 3.己知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)=() A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6 4.如图，在△ABC中，M为线段AB上的一点，CM=mCA+nCB(m,n∈R)且BM=4MA,则（) : : : 3 4 B.= C.m= D.m=, ,n= 3 ·: A ,m= ,n= 4 : : 5.已知函数f(x)=a21- 二(a>0且a≠1)过定点(m,n),则函数g(x)=log.x-的大致图象为() O : 试题第1页（共4页） 6学科网·上好课 6.己知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图.若甲组数据的中位数为4，乙组数据的75%分位数 为b,则a+b的值是() 甲 乙 798 0 785 579 1 113 346 20 3 10 A.37 B.38 C.39 D.40 7.已知实数x,x,是函数f()= 付-e.《一圳的丙个专点，则下列结论正确的是〈) A剑 8.4xe3 C.(x-1)(x2-1)e(1,2) D.(x-1)(x2-1)∈(o,1) 8.已知定义在(-o,0)U(0,+o)上的函数f(x),对任意x,y都满足∫(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时， f(x)>0,则下列说法中不正确的是() A.f(I)=0 B.f(x)是偶函数 C.函数∫(x)在（∞，0）上单调递增 1 D.不等式f(nx)>f()的解集为0，U(e,+o) e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数a,b满足a>0,b>0且a+2b=1,则下列说法正确的有() A.若a>b,则对任意实数c,ac2>bc2 B.若a>b,则+1b a+la 11 C.a+6的最小值是3+25 D.a2+4b2的最小值是1 10.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取 一次，以上每次抽取一个小球，记事件A:第一次取球编号数字小于3；B:第二次取球编号数字为偶数： C:第三次取球编号为6；D:前两次取球编号数字和为7；E:第一、三次取球编号数字至少有一个1.则 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 下列说法正确的是() AP(D-月 B.事件A与事件C相互独立 C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立 11.如果函数f(x)的定义域和值域都是[，n],则称函数f(x)是[，n]上的“同域函数”，[，n]是f(x)的 “同域区间”，则下列说法正确的是( A.函数f(x)=√x是[0,1]上的“同域函数” B.函数f(x)=2存在“同域区间” C.函数f(x)=x有且只有3个“同域区间” D.函数f(x)=x2-2x有且只有1个“同域区间” 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,1),b=(x,tx+2),若存在实数x,使得ā与b的方向相同，则t的一个取值为·（答 案不唯一) 13.若幂函数y=x在0<x<1时的图象位于直线y=x的上方，则s的取值范围是 14.一般地，若f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,b],则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若 f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”， (1)若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间，则b= (2)若函数f(x)=m-√x+1存在“跟随区间”，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知全集U=R,集合A={r-4-12<,B=3<x<10y (1)将下图中的阴影部分表示的集合。 U B (2)已知M={x≥a+2},且“x∈CM"是“x∈A"的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x2-3x+18 (1)求f(x)的解析式： (2)若关于x的方程f(x)=+3n-3的两根为x,x2,且x-x2=8,求n的值： (3)若x∈R,f(x)≥x-3,求m的取值范围. 试题第3页（共4页） 17.(15分)己知函数f(x)=(2+m)+1-m2. (1)当m=3时，求f(x)的值域： : (2)若f(x)最小值为-3，求m的值： ●： : (3在(2)的条件下，若不等式7名-8在（®g3,+m)有实数解，求实数a的取值范国。 : : 18.(17分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况， : : 现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照 兵 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. : 频率 组距 0.035 0.030… 0.010 : 0.005 游 5060708090100成绩（分） : 游 (1)求频率分布直方图中α的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代 .: : 替)： (2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名， S 求至少有1名学生的成绩在[60,70)的概率： (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一 人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已 知每场比姿甲胜乙的概率为行，甲胜丙的概率为}，乙胜丙的概率为；每场比赛相互独立。请通过计算 说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大 19.(17分)若函数f(x)满足： 世 ①对于x>0,都有f(x)>0: : ②对于x,y>0,都有r(x)+(y)<fx+y以： 则称函数f(x)为“雅礼函数” 已知(x)=(a2-3a+3)x“为幂函数且(x)是偶函数，函数f2(x)=l1og。(x+1)过点(1,1). 。: (1)试求f(x),2(x)的解析式： (2)试判断函数f(x)与∫(x)是否是“雅礼函数”： (3)若函数8(x)=2-1+2a(2-1)为“雅礼函数”，求a的取值范围. : :: : 试题第4页（共4页）2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的舡 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）必修第一册 --第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题，则的否定（ ） A． B． C． D． 3．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 4．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数且过定点，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 7．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 10．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 11．如果函数的定义域和值域都是，则称函数是上的“同域函数”， 是的“同域区间”，则下列说法正确的是（　　） A．函数是上的“同域函数” B．函数存在“同域区间” C．函数有且只有3个“同域区间” D．函数有且只有1个“同域区间” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ．（答案不唯一） 13．若幂函数在时的图象位于直线的上方，则的取值范围是 . 14．一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”， （1）若为的跟随区间，则 ； （2）若函数存在“跟随区间”，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16.（15分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 17.（15分）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 18.（17分）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19.（17分） 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有； 则称函数为“雅礼函数”． 已知为幂函数且是偶函数，函数过点． (1)试求的解析式； (2)试判断函数与是否是“雅礼函数”； (3)若函数为“雅礼函数”，求的取值范围． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B D D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【解答】解：（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为；……5分 （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围.………..(13分) 16．（15分） 【解答】解：（1）由，① 得，② ②①，得， 所以.……3分 （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或.……8分 （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. ………..(15分) 17．（15分） 【解答】解：（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为.……3分 （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，.……8分 （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为．……15分 18．（17分） 【解答】解：（1）由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5……4分 （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率．……9分 （3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大．．………..(17分) 19．（17分） 【解答】解：（1）因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，不符合条件， 当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，符合条件， 所以； 因为过点，所以，解得， 所以.…………4分 （2）对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有， 所以，故满足②， 所以是“雅礼函数”； 对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有 ， 因为，所以，所以， 所以，故不满足②， 所以不是“雅礼函数”.……9分 （3）因为为“雅礼函数”，所以对于，都有， 即对于，都有，即对于，都有， 即对于，都有， 因为，所以，所以对于，都有， 所以，所以； 因为为“雅礼函数”，所以对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 上述不等式两边同乘可得， 即对于，都有， 即对于，都有， 因为，所以， 所以对于恒成立，所以，所以， 综上所述，的取值范围是. ………..(17分) 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________， . 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ， . 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教B版(2019)必修第一册一第二册。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={0,1,2,B={x-1<x3<3},则A∩B=() A.{0} B.} c.{0,} D.{0,1,2} 2.命题p:x>1,x-1 >0,则P的否定() A.x>1,x-s0 B.ax≤1，x-1<0 x C.Vx>Lx-Ls0 D.x≤Lx-1<0 3.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)=() A.0.2 B.0.3 c.0.5 D.0.6 4.如图，在△ABC中，M为线段AB上的一点，CM=mCA+nCB(m,n∈R)且BM=4M☑，则() AM B B.m= 5.n1 D.m= 3 4=4 5.已知函数/)=。as0且a≠过定点m川，则函数g)=lg,k-叫的大致图象为《) 1/6 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA 1! VA D 6.已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图.若甲组数据的中位数为α，乙组数据的75%分位数 为b,则a+b的值是() 甲 798 0785 579 1 113 346 2 20 2 3 10 A.37 B.38 C.39 D.40 7.已知实数x,2是函数f(x)= -1og,(x-1)的两个零点，则下列结论正确的是() AG-10-e0 B.(&--)e传 C.(x-1)(2-1)e(1,2) D.(x-1)(x2-1)e(-o,1) 8.已知定义在(-n,0)U(0,+∞)上的函数f(x),对任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时， ∫(x)>0,则下列说法中不正确的是() A.f(1)=0 B.f(x)是偶函数 C.函数f(x)在(-∞，0)上单调递增 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.不等式f(lnx)>f(1)的解集为0，二U(e,+o) e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数a,b满足a>0,b>0且a+2b=1,则下列说法正确的有() A.若a>b,则对任意实数c,ac2>bc2 B.若a>b,则b+16 a+l a C.日方的最小值是3+2万 D.a2+4b2的最小值是1 10.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取 一次，以上每次抽取一个小球，记事件A:第一次取球编号数字小于3；B:第二次取球编号数字为偶数；C: 第三次取球编号为6；D:前两次取球编号数字和为7；E:第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说 法正确的是() A.D B.事件A与事件C相互独立 C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立 l1.如果函数f(x)的定义域和值域都是[，n],则称函数f(x)是[m,m上的“同域函数”，[m,n是f(x)的“同 域区间”，则下列说法正确的是（) A.函数f(x)=√x是[0,1]上的“同域函数” B.函数∫(x)=2存在“同域区间” C.函数f(x)=x3有且只有3个“同域区间 D.函数f(x)=x2-2x有且只有1个“同域区间” 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,1),b=(x,tx+2),若存在实数x,使得a与b的方向相同，则t的一个取值为.（答 案不唯一) 13.若幂函数y=x在0<x<1时的图象位于直线y=x的上方，则s的取值范围是 14.一般地，若∫(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,b],则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若 f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的跟随区间”， 316 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间，则b=_ (2)若函数f(x)=m-√x+1存在“跟随区间”，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知全集U=R,集合A={xr2-4x-12<0},B={x3<x<10} (①)将下图中的阴影部分表示的集合. U (2)已知M={xk≥a+2},且“x∈CM”是“x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围 16.(15分)已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x2-3x+18. (1)求f(x)的解析式： (2)若关于x的方程∫(x)=x+3-3的两根为x,2,且51-x=8,求n的值： (3)若x∈R,(x)≥x-3,求m的取值范围. 4/6 耐学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分)己知函数f(x)=(2+m)+1-m2. (1)当=3时，求f(x)的值域； (2)若f(x)最小值为-3，求m的值： (3)在(2)的条件下，若不等式)s2-8在(log,3,+o)有实数解，求实数a的取值范围. 18.(17分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况， 现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. 频率 个组距 0.035.. 0.030 0.010 0.005- 05060708090100成绩（分） (1)求频率分布直方图中α的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代 替)； (2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名， 求至少有1名学生的成绩在[60,70)的概率： (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一 人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已 知每场比奏甲胜乙的概率为行，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为}，每场比赛相互独立。请通过计算说 明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大， 516 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)若函数f(x)满足： ①对于x>0,都有f(x)>0; ②对于，y>0,都有x)+f)<(x+y): 则称函数∫(x)为“雅礼函数”. 已知(x)=(a2-3+3)x为幂函数且f(x)是偶函数，函数2(x)=log.(x+1)过点(1,1). (1)试求(x),方(x)的解析式： (2)试判断函数(x)与(x)是否是“雅礼函数”； (3)若函数8(x)=2*-1+2a(2-1)为“雅礼函数”，求a的取值范围. 616 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）必修第一册 --第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由交集的运算可得. 【解答】， 所以. 故选：C 2．命题，则的否定（ ） A． B． C． D． 【分析】由全称命题的否定形式可得答案. 【解答】命题，则的否定是. 故选：A. 3．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式求解. 【解答】由和对立，可得，解得， 又∵随机事件和互斥，， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【解答】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 5．已知函数且过定点，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解. 【解答】令，则， 所以函数且过定点， 所以， 则，其图象关于对称，且在上单调递减， 则符合的图象为D选项. 故选：D. 6．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 【分析】利用中位数与分位数的定义计算可求结论. 【解答】甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32共10个数据， 所以中位数为，所以， 乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31共10个数据， 又，所以乙组数据的分位数为22，所以， 所以. 故选：D. 7．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，结合图像进行讨论得到的范围. 【解答】令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，如图所示.    不妨设，则由图像可得，所以，故D错误. ， ，故C错误. ，，即， 又，，故A错误，B正确. 故选：B. 8．已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 【分析】利用赋值法可求出的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【解答】因为定义在上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【解答】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，错误； 故选：BC 10．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【解答】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 11．如果函数的定义域和值域都是，则称函数是上的“同域函数”， 是的“同域区间”，则下列说法正确的是（　　） A．函数是上的“同域函数” B．函数存在“同域区间” C．函数有且只有3个“同域区间” D．函数有且只有1个“同域区间” 【分析】根据同域函数、同域区间的定义，结合幂函数、二次函数、指数函数的单调性逐一判断即可. 【解答】A：因为在区间上是增函数， 所以， 因此函数值域为，所以函数是上的“同域函数”， 因此本选项说法正确； B：假设函数存在“同域区间”，设为，， 因为函数是上的增函数， 所以， 所以有同时成立，因此方程有两个不同的根， 因为指数函数是爆炸增长，比正比例函数增长的速度快得多， 函数图象如下图所示： 所以指数函数和正比例函数没有交点， 因此方程不可能有两个不同的根， 假设不成立，因此函数不存在“同域区间”，所以本选项说法不正确； C：假设函数存在“同域区间”，设为，， 因为函数是上的增函数， 所以， 因此有，解得， 所以，因此函数有且只有3个“同域区间”， 故本选项说法正确； D：假设函数存在“同域区间”，设为，， ，对称轴为， 当时，， 因为函数存在“同域区间”， 所以，，， 若，则，此时，区间为， 若，， 因为函数存在“同域区间”， 所以，或，而，舍去， 当时，此时函数单调递增， 因为函数存在“同域区间”， 所以，或，或，或， 因为，所以，因此这四组解都不符合； 若时，此时函数单调递减， 因为函数存在“同域区间”， 所以， ，舍去， 此时，所以不符合题意， 综上所述：函数有且只有1个“同域区间”， 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ．（答案不唯一） 【分析】根据题意，得到，列出方程组，进而得到答案. 【解答】由向量，存在实数x，使得与的方向相同， 则，即，可得，所以，则,取. 故答案为： 13．若幂函数在时的图象位于直线的上方，则的取值范围是 . 【分析】问题转化为当时，，利用指数函数的单调性求解. 【解答】由题可得，当时，，又函数在R上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”， （1）若为的跟随区间，则 ； （2）若函数存在“跟随区间”，则的取值范围是 ． 【分析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合题中定义可得出，即可解得实数的值； （2）设跟随区间为，根据题意得出，变形得出，令，，所以，，从而可得，令，可知函数有两个不等的零点，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解答】（1）因为为的跟随区间， 所以函数的值域为， 因为， 所以二次函数的对称轴为， 因此函数在上单调递增， 因此根据题中所给的定义有，解得； （2）函数的定义域为， 因为函数存在“跟随区间”，设跟随区间为， 所以的值域为， 而函数是定义域内的递减函数， 因此有，两式作差可得， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 令，，所以，， 因此有，同理可得， 设， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用交集运算求解即可； （2）把必要不充分条件转化为集合的真包含关系，再讨论端点取值范围即可求解. 【解答】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为；……5分 （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围.………..(13分) 16.（15分） 已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【分析】（1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. 【解答】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以.……3分 （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或.……8分 （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. ………..(15分) 17.（15分） 已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【分析】（1）利用换元以及指数函数的单调性，化简函数，根据二次函数的性质，可得答案； （2）利用换元以及指数函数的单调性，化简函数，根据二次函数的性质，解得分类讨论，可得答案； （3）由函数解析式以及参变分离，整理不等式，利用基本不等式，可得答案. 【解答】（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为.……3分 （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，.……8分 （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为．……15分 18.（17分） 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率； （3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较. 【解答】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5……4分 （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率．……9分 （3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大．．………..(17分) 19.（17分） 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有； 则称函数为“雅礼函数”． 已知为幂函数且是偶函数，函数过点． (1)试求的解析式； (2)试判断函数与是否是“雅礼函数”； (3)若函数为“雅礼函数”，求的取值范围． 【分析】（1）根据幂函数定义先确定的可取值，再根据奇偶性确定出的值，则可求；代入于，则可求，则可求； （2）根据“雅礼函数”的定义进行判断即可； （3）根据“雅礼函数”的定义将问题转化为“对于，都有”以及“对于恒成立”，由此求解出结果. 【解答】（1）因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，不符合条件， 当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，符合条件， 所以； 因为过点，所以，解得， 所以.…………4分 （2）对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有， 所以，故满足②， 所以是“雅礼函数”； 对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有 ， 因为，所以，所以， 所以，故不满足②， 所以不是“雅礼函数”.……9分 （3）因为为“雅礼函数”，所以对于，都有， 即对于，都有，即对于，都有， 即对于，都有， 因为，所以，所以对于，都有， 所以，所以； 因为为“雅礼函数”，所以对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 上述不等式两边同乘可得， 即对于，都有， 即对于，都有， 因为，所以， 所以对于恒成立，所以，所以， 综上所述，的取值范围是. ………..(17分) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $