5.2.3 简单复合函数的导数(6大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 题型一 复合函数导数法则的辨析 1．（多选）（24-25高二下·陕西·月考）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】. 故选：ABD. 2．（多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 题型二 求复合函数的导数 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的导函数. 故选：C 2．（25-26高三上·湖南·期中）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关于的瞬时变化率为. 故选：B. 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 【答案】B 【解析】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 4．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 题型三 利用复合函数的导数求切线斜率或倾斜角 1．（25-26高三上·福建龙岩·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 2．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，则，即直线的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：D 题型四 利用复合函数的导数解决切线问题 1．（25-26高三上·广东广州·月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故A错误； 对于B，易知，可知使得，故B正确； 对于C，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故C错误； 对于D，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故D错误. 故选：B 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 题型五 利用复合函数的导数求参数的值 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 2．（25-26高二·全国·假期作业）若函数的图象上一点点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数求出切线斜率，再由直线的位置关系得出切线斜率，列方程求解即可. 【解析】，所以，即， 又在点处的切线与直线垂直， 所以，所以， 则． 故选：C 3．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 由题意可知，则， 且， 又因为切点为，所以，又， 所以， 则， 故，D满足要求. 故选：D. 4．（江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研数学试题）曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 题型六 利用复合函数的导数求解公切线问题 1．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【解析】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点横坐标为， 由，得，解得 所以切点坐标为，代入直线方程得到. 设直线与曲线的切点横坐标为， 则， 且，联立得， 所以，即. 所以. 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，是上半圆上的两点（不包括端点），那么与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】如图所示， 由导数的几何意义可知与分别表示在上半圆上两点，，作切线的切线斜率， 由半圆可知，当时，切线斜率，当时，切线斜率， 即， 故选：A. 2.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(　　) A.- B.0 C. D.5 【答案】B 【解析】由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0), 又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x), 即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0, ∴f'(5)=f'(0)=0.故选B. 3.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=(　　) A.n B.n-1 C. D. 【答案】D 【解析】f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n, 则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1, 则f'(0)=1+2+3+4+…+n=.故选D. 4．（25-26高三上·河北·月考）若直线是曲线的切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为曲线，求导得， . 设切点横坐标为，因为直线是该曲线的切线， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·广东·月考）已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，曲线在点处的切线斜率， 切线方程为：， 设， 则，，即， ，， ， 当，即时，切线方程为：，与有唯一交点，不合题意； 当时，由，知为一元二次方程的两个不等实根， ，又，； 不妨令， 代入得：， 设，则， ， ； 则当时，等号成立，. 故选：C. 6.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行 D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为 【答案】AD 【解析】根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=, ∴T=2π,ω==1. 根据五点法画图知, 当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z, ∵|φ|<,∴φ=, ∴f(x)=2sin, ∴f'(x)=2cos, ∴g(x)=f(x)+f'(x) =2sin+2cos =2sin =2sin, 令x+=+kπ,k∈Z, 解得x=-+kπ,k∈Z, ∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确; 当x+=+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值2,B错误; g'(x)=2cos, ∵g'(x)≤2<3, ∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误; 方程g(x)=2,即2sin=2, ∴sin=, ∴x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z, ∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.故选AD. 7.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程. 【解析】由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a=f'=3-2sin +2cos =1. 由y=x3得y'=3x2. 当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3, 又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1), ∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,), 此时切线的斜率k'=3, ∴切线方程为y-=3(x-x0). ∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1, ∴b=1,将P(1,1)代入切线方程, 得1-=3(1-x0), ∴2-3+1=0,∴2-2-+1=0, ∴(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0=-(x0=1舍去), ∴切点坐标为, 又切线的斜率为3×=, ∴切线方程为y+=, 即3x-4y+1=0. 综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 1．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 则，即， 又为奇函数，所以，所以， 即， 所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，，， 又，所以，，即， 所以 . 故选：A 2．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（    ） A．516 B．520 C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为都为偶函数， 所以，， 对上述等式两边求导得： ，， 即，， 所以导函数关于点，对称，且，， 所以，即， 将代入得： ，即， 所以的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列， 偶数项构成以为首项，为公差的等差数列； 所以， 故选：B 3．(多选)（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：因为为奇函数，所以，即， 即，所以的图象关于点对称且定义域为R，所以，A正确； B：由，两边求导得，即， 又的图象关于点对称，得，所以，B正确； C：因为为奇函数，即为奇函数，则， 所以，则（为常数）， 当时，，即，故为偶函数， 所以的图象关于直线对称，则，又， 所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以，C错误； D：由得，， 所以，又， 所以，D正确． 故选：ABD 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.3 简单复合函数的导数 题型一 复合函数导数法则的辨析 1．（多选）（24-25高二下·陕西·月考）下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 求复合函数的导数 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·期中）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 4．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 利用复合函数的导数求切线斜率或倾斜角 1．（25-26高三上·福建龙岩·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型四 利用复合函数的导数解决切线问题 1．（25-26高三上·广东广州·月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型五 利用复合函数的导数求参数的值 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二·全国·假期作业）若函数的图象上一点点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B．0 C． D． 3．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研数学试题）曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 题型六 利用复合函数的导数求解公切线问题 1．（25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，是上半圆上的两点（不包括端点），那么与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 2.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(　　) A.- B.0 C. D.5 3.已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=(　　) A.n B.n-1 C. D. 4．（25-26高三上·河北·月考）若直线是曲线的切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东·月考）已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（    ） A． B． C． D． 6.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行 D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为 7.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程. 1．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（    ） A．516 B．520 C．0 D．1 3．(多选)（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $