5.2.3 简单复合函数的导数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《简单复合函数的导数》教学设计 1、 内容与内容解析 1、 内容：复合函数的概念，简单复合函数的求导法则 2、 内容解析： （1） 引入简单复合函数求导法则的必要性：之前所学的简单基本函数求导法则无法满足学习需要，无法通过之前所学解决复合函数求导问题，因此，探寻解决方法，同时，在之前的认知基础上进行进一步深入 （2） 复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和 的重合函数(composite function)， 记作 ，它可以由几个基本初等函数复合而成，与基本初等函数紧密联系起来。 3、 教学重点：简单复合函数的求导法则； 2、 目标与目标解析 1、 目标： （1） 理解复合函数的概念； （2） 掌握简单复合函数的求导法则； （3） 会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数 2、 目标解析： 达成上述目标的标志分别是： （1） 能够判断出构成复合函数的几个基本初等函数； （2） 能够运用简单复合函数的求导法则解决问题； （3） 会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数 3、 教学问题诊断解析 1、 问题诊断 让学生体会简单复合函数的求导法则的必要性，之前所学的基本初等函数的求导已经不能够满足学习需要，因此找到探究复合函数导数的方法 2、 教学难点： （1）复合函数的分解，求复合函数导数 （2）利用简单复合函数求导法则解决实际问题 4、 教学过程设计 （一）复习引入 我们之前已经学习了基本初等函数的导数和导数的四则运算法则，我们先来回顾一下： 1.基本初等函数的导数： （1） （2） （3） 若 （4） 若; （5） 若 特别地，若; （6） 若; 特别地，若. 2.导数的四则运算法则； 1. 2. 3. 【设计意图】引导学生回顾基本初等函数的导数，为本节课作铺垫 （二）生成概念 有了以上基础后，我们来思考这样一个问题： 思考：如何求函数的导数？ 我们可以发现：这个函数它与我们之前所学过的函数不同，它不能用定义求出极限，也不能够由基本初等函数通过加减乘除，因此我们就要来找寻解决该问题的方法，思考一下是否能够把它转化成我们熟悉的问题来求解。我们先来分析一下这个函数，在这个函数中，我们可以找到“熟悉的身影”，比如括号内的“”，它是一个基本初等函数，我们现在将其看作一个整体，记作，即，此时，我们就可以将整个函数看作是,我们把可以这样用中间变量表示的函数称为函数和的复合函数，记作。那么，函数就可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数。 【设计意图】引导学生发现复合函数与基本初等函数的联系，让学生主题发现问题，找到解决方法 那么如何去求复合函数的导数就是我们所要探究的问题：现在我们给定一个复合函数：，根据定义，，因为，，由此推得，，所以，，根据导数定义（展示导数定义），我们可以发现如果给这个分式配一个分母，有，那么，=，又因为时，，所以=f’(u)g’(x) 这样，我们就得到了简单复合函数的求导法则： 【师生活动：教师引导学生推导复合函数求导法则】 【设计意图】让学生体会简单复合函数的求导法则的推导过程，经历主动探索的过程 （三）课堂巩固 例1：求函数的导数 这样，我们可以得到求函数导数的方法，因为函数可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数，所以， ，这个式子可否作为结果？只是我们所设的中间量，函数对进行求导，因此，我们应当将代回， 练习1：1、（2021·全国·高二课时练习）将下列复合函数分解成基本初等函数并求其导数： ① ② ③； ④ ⑤ ⑥． 【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解． （1）解：，； （2）解：因为，所以 （3）解：因为，所以 （4）解：因为，所以 （5）解：因为，所以 （6）解：因为，所以 【学生活动】：总结求复合函数的一般步骤： （1） 观察复合函数，判断构成复合函数的几个基本初等函数； （2） 利用中间变量对复合函数进行求导； （3） 将中间变量代回，得到关于自变量的导数。 2、（2021·广东·东莞市光明中学高二阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A． B． C． D． 【分析】 通过求导可知选项A、B的导函数分别为、，利用导数的性质可以分析其在整个定义域上不单调.然后根据选项C、D的导函数分别判断得出、，其在整个定义域上是单调的，故可选出答案. 【详解】 A．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故A错误. B．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故B错误. C．函数定义域为，，所以在定义域为是增函数，故C正确. D．函数定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，所以在定义域为是增函数，故D正确. 故选：CD 3、（2021·全国·高二单元测试）已知函数，则（ ） A． B．3 C． D．2 【设计意图】引导学生掌握复合函数求导方法，总结复合函数求导的一般规律、过程 【分析】 先求函数的导函数，然后求出，再求值即可. 【详解】 解：由，求导可得， 则， 则函数的解析式为， 所以，， 则， 故选：B. 例题2：（2021·北京育才学校高三阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【分析】 求出导数，求得切线的斜率，即可求得答案. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 又， ∴曲线在点处的切线方程为. 故选：D. 练习2： 1、（2021·全国·高二课时练习）函数在处的导数是______． 【分析】 将函数解析式展开，再求导，之后代入即可得到结果. 【详解】 将函数解析式展开得到：，求导得， 所以． 故答案为：6. 【设计意图】让学生学会运用简单复合函数的求导法则 2、（2019·湖南·高二期末（理））已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________. 【分析】 设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程． 【详解】 设切点坐标为，，，， 则曲线在点处的切线方程为， 由于该直线过原点，则，得， 因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为． 【学生活动】总结：过点作函数图象的切线方程求解思路： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程； （2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程． （四）总结提升 回顾本堂课，我们是怎么推导简单复合函数的求导法则的？ 求复合函数的一般步骤是什么？ 利用简单复合函数的求导法则可以解决怎样的问题？ 【学生活动】学生回顾本节课内容，思考以上问题 【设计意图】引导学生梳理本节课的研究问题和研究思路 学科网（北京）股份有限公司 $$