专题四概率与统计第1讲统计与成对数据的统计分析讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦概率与统计核心专题，涵盖用样本估计总体、回归模型分析、独立性检验三大高考高频考点，按“考点透析-方向细分-真题演练”逻辑架构知识点，通过图表分析、数字特征计算、回归方程求解等方法指导，结合各地模拟真题训练，帮助学生系统构建知识网络，精准突破统计应用难点。 资料以真实情境案例驱动教学，如结合电影票房数据、篮球比赛得分等实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过回归方程推导、独立性检验步骤拆解等活动训练数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习。每个考点配套最新模拟真题详解，助力学生在有限时间内掌握统计方法应用技巧，为教师把控复习重点和节奏提供实用教学资源。

专题四 概率与统计 第1讲 统计与成对数据的统计分析 一、考点透析 考点1 用样本估计总体 方向1 图表分析估计总体 1.（多选题）(2025·安徽省六安市·模拟题)据网络平台最新数据，截止到年月日时分，电影哪吒之魔童闹海总票房含点映、预售及海外票房已超亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则(    ) A. B. 观众年龄的众数估计为 C. 观众年龄的平均数估计为 D. 观众年龄的第百分位数估计为 【答案】BD  【解析】解：根据题意可得，解得，故A选项错误； 观众年龄在频率最高，所以观众年龄的众数估计是，故B选项正确； 因为平均数估计为，故C选项错误； 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 故第百分位数位于第组，设其为， 则，解得， 即第百分位数为，故D选项正确． 故选：． 2．（25-26高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且． (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值； (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率； (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值． 【答案】(1)， (2) (3)时， 的最大值是. 【详解】（1）由茎叶图知：甲队分数为：6，14，28，34，， 乙队分数为：12，25，26，，31， 因为甲队队员得分的极差为32， 所以，解得， 又因为乙得分的平均值为24， 所以 ，解得. （2）由图知，20分以上的队员中，甲队有28、34、共3人，乙队有25、26、、31共4人，总共7人， 从7人中随机抽取2人，有种，且每种情况等可能， 记“至少有1名来自乙队”为事件A， 其对立事件是“2名都来自甲队”，有种，且每种情况等可能， 所以至少有1名来自乙队的概率为. （3）甲队的平均数为， 又， 因为甲乙两队的队员平均分相等，所以，即， 则，由，解得， 令，由对勾函数的性质得在上递减，在上递增， 又，且， 所以的最大值是，此时，. 方向2 样本的数字特征估计总体 1.(2025·福建省三明市·模拟)“体育强则中国强，国运兴则体育兴”已知某运动员在年篮球联赛中连续场的得分数据为：，，，，，，，，，，则这组数据的(    ) A. 第百分位数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 平均成绩为 【答案】A  【解析】解：将得分数据按升序排列为：，，，，，，，，，， 对于，因为，所以第百分位数为第位数，即为，故A正确； 对于，众数为，故B错误； 对于，中位数为，故C错误； 对于：平均数，故D错误． 故选：． 2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知样本数据的平均数为，方差为；样本数据的平均数为，方差为，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题可得， 所以， 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为：． 故选：． 考点2 回归模型分析 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)已知变量和的统计数据如下表： 若和线性相关，则关于的回归直线方程为(    ) 附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得， 因为， 所以，， 故回归直线方程为， 故选：． 2.(2025·山东省淄博市·模拟)某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了月到月的物流成本单位：万元和企业利润单位：万元的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则(    ) A. 若企业月份物流成本预计为万元，预测月企业利润约为万元 B. 月到月企业的月平均利润约为万元 C. 数据对应的残差为 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】AB  【解析】解：根据回归方程为可得，当时，， 预测月企业利润约为万元，故A正确； 由，可得月到月的物流成本的平均值， 设月到月企业的月平均利润为，且点满足回归直线，所以， 即月到月企业的月平均利润约为万元，故B正确； 当时，，数据对应的残差为，故C不正确； 删除该组数据后，因为小于样本中心点的横坐标， 且大于通过回归方程计算出的对应的预测值， 所以删除改点后，样本中心点向右上方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，故D不正确． 故选：． 3.(2025·湖南省·模拟)某科技公司对年至年的生产成本万元进行统计，根据统计数据作出如下散点图： 由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本与时间变量的值依次为的经验回归方程类型的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据图中散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围， 选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的，故A错误； 选项是“直线型”的拟合函数，且是增加的，故B错误； 选项是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的，故D错误； 只有选项的拟合函数符合题意，故C正确． 故选：． 考点3 独立性检验 1.(2025·湖北省襄阳市·模拟)在列联表表一的卡方独立性检验中，，其中为第行第列的实际频数，如，而第行的行频率第列的列频率总频数，为第行第列的理论频数，如． 表一 表二 求表二列联表的值； 求证：题干中与课本公式等价，其中． 【答案】 见解析 【解析】解：由题意得，，， ； 列联表如下： 则 ， 同理， ， ， ．  2.(2025·吉林省松原市·模拟)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 乙机床 合计 求，； 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 参考公式：，． 附： 【答案】， 能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 【解析】解：，； 甲机床生产的产品中一级品的频率为， 乙机床生产的产品中一级品的频率为； 由题可知；；；，， 所以， 根据参考值可知， 所以能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．  二、跟踪练习 1.(2025·浙江省·模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是(    ) A. 图的平均数中位数众数 B. 图的众数中位数平均数 C. 图的平均数众数中位数 D. 图的平均数中位数众数 【答案】C  【解析】解：：图的分布直方图是对称的，所以平均数中位数众数，故A正确； B、：图中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； ：图左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确． 故选：． 2.(2025·四川省眉山市·模拟题)年月日，首个版本正式上线，截至年月日，的累计下载量已超亿次，成为当下的热门话题立德中学高中数学社团以至岁人群使用频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是(    ) A. 甲小组开展了每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断年龄为岁的群体每周使用频次一定为次 C. 丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程和的分别约为和，因此经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多 D. 丁小组研究性别因素是否影响使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的使用频次没有差异 【答案】C  【解析】解：对于，由的绝对值越接近，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为岁的群体每周使用频次不一定为次，故B错误； 对于，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多，故C正确； 对于，，可以认为不同性别的使用频次有差异,故D错． 故选：． 3.（多选题）(2025·湖北省武汉市·模拟)下列说法中正确的是(    ) A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据，，，的方差为,则数据，，，的标准差是 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别为和 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为，，，，，乙组数据为，，，，，，，，，则甲组数据的第百分位数和乙组数据的第百分位数之和为 【答案】BC  【解析】解：对于，若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为，故A错误 对于，若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差是，所以标准差为，故B正确 对于，，，，故C正确 对于，因为，，所以甲组数据的第百分位数为，乙组数据的第百分位数是，，故D错误． 故选BC． 4.（多选题）(2025·四川省绵阳市·模拟)某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是(    ) A. B. 评分在的人数约为 C. 估计评分的下四分位数为 D. 估计评分的平均数为 【答案】ABD  【解析】解：对，由频率之和为得，解得，故A正确； 对，评分在的频率为，故人数约为，故B正确； 对，下四分位数频率为，故下四分位数为，故C错误； 对，平均数为，故D正确． 故选：． 5.(2025·湖北省武汉市·模拟)近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地年月日至年月日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 电池级碳酸锂价格十万元吨 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：由题知，可得， 又，， 由，可得， 故． 故答案为． 6.(2025·陕西省西安市·模拟)某农业研究部门在面积相等的块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量单位：并整理如表． 亩产量 频数 记这块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 求，； 判断该新型水稻能否推广种植在这块稻田中，若超过块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植． 【答案】=1055 该新型水稻不能推广种植．  【解析】解：由频数分布表可得 ， 所以； 因为， 所以，， 所以， 因为亩产量在内的稻田有块，所以亩产量在内的稻田不超过块， 即亩产量在内的稻田不超过块， 故该新型水稻不能推广种植．  学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 概率与统计 第1讲 统计与成对数据的统计分析 一、考点透析 考点1 用样本估计总体 方向1 图表分析估计总体 1. （多选题）(2025·安徽省六安市·模拟题)据网络平台最新数据，截止到年月日时分，电影哪吒之魔童闹海总票房含点映、预售及海外票房已超亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则(    ) A. B. 观众年龄的众数估计为 C. 观众年龄的平均数估计为 D. 观众年龄的第百分位数估计为 2．（25-26高三上·上海宝山·期末）某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且． (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中和的值； (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率； (3)若甲乙两队的队员平均分相等，求的最大值，并写出此时和的值． 方向2 用样本的数字特征估计总体 1.(2025·福建省三明市·模拟)“体育强则中国强，国运兴则体育兴”已知某运动员在年篮球联赛中连续场的得分数据为：，，，，，，，，，，则这组数据的(    ) A. 第百分位数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 平均成绩为 2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知样本数据的平均数为，方差为；样本数据的平均数为，方差为，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为(    ) A. B. C. D. 考点2 回归模型分析 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)已知变量和的统计数据如下表： 若和线性相关，则关于的回归直线方程为(    )附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A. B. C. D. 2.(2025·山东省淄博市·模拟)某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了月到月的物流成本单位：万元和企业利润单位：万元的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则(    ) A. 若企业月份物流成本预计为万元，预测月企业利润约为万元 B. 月到月企业的月平均利润约为万元 C. 数据对应的残差为 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 3.(2025·湖南省·模拟)某科技公司对年至年的生产成本万元进行统计，根据统计数据作出如下散点图： 由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本与时间变量的值依次为的经验回归方程类型的是(    ) A. B. C. D. 考点3 独立性检验 1.(2025·湖北省襄阳市·模拟)在列联表表一的卡方独立性检验中，，其中为第行第列的实际频数，如，而第行的行频率第列的列频率总频数，为第行第列的理论频数，如． 表一 表二 求表二列联表的值； 求证：题干中与课本公式等价，其中． 2.(2025·吉林省松原市·模拟)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 乙机床 合计 求，； 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 参考公式：，． 附：  二、跟踪练习 1.(2025·浙江省·模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是(    ) A. 图的平均数中位数众数 B. 图的众数中位数平均数 C. 图的平均数众数中位数 D. 图的平均数中位数众数 2.(2025·四川省眉山市·模拟题)年月日，首个版本正式上线，截至年月日，的累计下载量已超亿次，成为当下的热门话题立德中学高中数学社团以至岁人群使用频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是(    ) A. 甲小组开展了每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断年龄为岁的群体每周使用频次一定为次 C. 丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程和的分别约为和，因此经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多 D. 丁小组研究性别因素是否影响使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的使用频次没有差异 3.（多选题）(2025·湖北省武汉市·模拟)下列说法中正确的是(    ) A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据，，，的方差为,则数据，，，的标准差是 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别为和 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为，，，，，乙组数据为，，，，，，，，，则甲组数据的第百分位数和乙组数据的第百分位数之和为 4.（多选题）(2025·四川省绵阳市·模拟)某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是(    ) A. B. 评分在的人数约为 C. 估计评分的下四分位数为 D. 估计评分的平均数为 5.(2025·湖北省武汉市·模拟)近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地年月日至年月日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 电池级碳酸锂价格十万元吨 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为          ． 6.(2025·陕西省西安市·模拟)某农业研究部门在面积相等的块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量单位：并整理如表． 亩产量 频数 记这块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 求，； 判断该新型水稻能否推广种植在这块稻田中，若超过块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植． 学科网（北京）股份有限公司 $