专题07：长方体和正方体的体积（导学案）五年级数学寒假自习课（人教版）

五年级数学下册第三单元寒假自习课（人教版） 专题07：长方体和正方体的体积 知识点精讲 知识点01：体积和体积单位 内容 体积 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 体积单位 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别写成cm3，dm3，m3。 体积单位间的换算 每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm3＝1000cm3；1m³＝1000dm3 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 【典型例题1】填上合适的体积单位。 一块橡皮的体积约8（ ） 一本数学课本的体积约0.5（ ） 货车集装箱的体积约是40（ ） 【典型例题2】3.5立方分米＝（ ）立方厘米； 0.25立方米＝（ ）立方厘米。 【变式训练1】下面现实情境中，能提出与“体积”有关问题的是（     ）。 A．给相框装上花边 B．给学校的一面墙刷漆 C．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 D．给一个游泳池注水 【变式训练2】用体积1dm3的小正方体木块，堆成一个体积是1m3的大正方体，需要（ ）个小正方体木块，若把这些小正方体木块一个挨一个排成一行，长度是（ ）m。 知识点02：长方体的体积 内容 长方体的体积 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 【典型例题1】一个长方体铁皮盒子，无盖。长、宽、高分别是20厘米、10厘米和1.5分米。做一个这样的盒子至少需要多少平方厘米的铁皮？如果每立方厘米的油为0.8克，这个盒子最多可以装多少克油？（铁皮连接处等忽略不计，铁皮的厚度忽略不计） 【典型例题2】一根长2m的长方体木料，横截面是边长为3dm的正方形，木料的体积是（ ）dm3。 【变式训练1】如图所示是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。 【变式训练2】2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？ 知识点03：正方体的体积 内容 正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 【典型例题1】用一根长24分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【典型例题2】为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【变式训练1】一个正方体的棱长是5cm，它的棱长总和是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 【变式训练2】一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（     ）倍，体积扩大到原来的（     ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．2；6 D．4；6 课后强化 一、选择题 1．一本数学书的体积约（     ）。 A．3000cm3 B．300cm3 C．30cm3 D．20cm3 2．如果长方体的长、宽、高都扩大到原来3倍，则它的体积扩大到原来的（     ）倍。 A．9 B．27 C．6 3．一个长方体的体积是81立方厘米，正好可以平均分成3个正方体。正方体的棱长是（     ）。 A．3厘米 B．6厘米 C．9厘米 4．如图，从一个体积是30立方厘米的长方体中挖掉一小块后，（     ）。 A．体积变小，表面积不变 B．体积不变，表面积变小 C．体积变小，表面积变小 D．体积不变，表面积不变 5．如图是一个长方体的展开图，它的体积是（     ）。 A．1344cm3 B．672cm3 C．488cm3 D．192cm3 6．家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（     ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 7．一个长方体纸盒，长8cm，宽6cm，高5cm，最多可以完整放入（     ）个棱长2cm的正方体积木。 A．24 B．30 C．120 8．把一个长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块削成一个最大的正方体，削去部分的体积是（     ）立方厘米。 A．210 B．125 C．85 二、填空题 9．棱长是10厘米的正方体，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 10．三个棱长2cm的小正方体拼成一个长方体，它的体积是（ ）。 11．填表计算。 图形 长 （厘米） 宽 （厘米） 高 （厘米） 表面积 （平方厘米） 体积 （立方厘米） 长方体 10 8 3 （     ） （     ） 正方体 4 （     ） （     ） 12．把两个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）平方分米，长方体的体积是（ ）立方分米，长方体的表面积是（ ）平方分米。 13．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，这个长方体的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 14．一根长方体木料长5厘米，宽4厘米，高3厘米，从木料上锯下一个最大的正方体木块后，剩余木料的体积是（ ）立方厘米。 15．一个长方体长6dm，宽4dm，高3dm，则这个长方体的棱长之和是（ ），它的占地面积最小是（ ），它的体积是（ ）。 16．下面的几何体是由棱长1cm的小正方体摆成的，如果要把它继续补搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个小正方体。 17．下图是由棱长1cm的小正方体摆成的立体图形，它的表面积是（ ）cm2，再放上（ ）个这样的小正方体就能摆成一个棱长为3厘米的大正方体，摆成的这个大正方体的棱长总和是（ ）cm。 18．桌面上平放着一个高3厘米，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 19．一个正方体的棱长总和是60厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 20．一个长80cm、宽40cm、高60cm的长方体纸箱最多能装下（ ）个棱长是20cm的正方体玻璃缸。 21．一个长方体的木块，高1.5米，平行于底面截成两个长方体后，表面积比原来增加了100平方厘米，原长方体木块的体积是（ ）。 三、计算题 22．计算长方体体积和正方体表面积。（单位：米）      四、解答题 23．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 24．游泳馆新建的游泳池长50米，宽25米，深3米。 （1）游泳池的四周和底面要粘瓷砖，一共需要贴多少平方米的资砖？ （2）游泳池里已经注入了1500立方米的水，要使池里的水到达1.5米高的水位线，还要注入多少立方米的水？ 25．如图是一个棱长为3分米的正方体鱼缸的展开图。 （1）图中，①号面的相对面是（ ），②号面的相对面是（ ）。 （2）这个正方体鱼缸的占地面积是（ ）平方分米，它的容积是（ ）立方分米。（忽略材料厚度） 26．一块底面是正方形的长方体方钢，长2米，把它截成3段，表面积增加了60平方厘米，这块方钢的体积是多少？ 27．学校用3.2立方米的沙子将新挖的长4米、宽2米的长方体沙坑填满。这个沙坑有多深？这个沙坑的占地面积是多少？ 28．一个封闭的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计）长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图①）。现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上（如图②），这时水深多少分米？ 29．把一个长70厘米，宽60厘米，高50厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体，正方体的体积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学下册第三单元寒假自习课（人教版） 专题07：长方体和正方体的体积 知识点精讲 知识点01：体积和体积单位 内容 体积 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 体积单位 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别写成cm3，dm3，m3。 体积单位间的换算 每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm3＝1000cm3；1m³＝1000dm3 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 【典型例题1】填上合适的体积单位。 一块橡皮的体积约8（ ） 一本数学课本的体积约0.5（ ） 货车集装箱的体积约是40（ ） 【答案】 立方厘米/cm3 立方分米/dm3 立方米/m3 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。一个骰子的体积接近1立方厘米；一个魔方的体积接近1立方分米；一个鱼缸的体积接近1立方米。根据生活经验，计量一块橡皮的体积应用“立方厘米”作单位；计量一本数学课本的体积应用“立方分米”作单位；计量货车集装箱的体积应用“立方米”作单位。 【详解】一块橡皮的体积约8立方厘米，一本数学课本的体积约0.5立方分米，货车集装箱的体积约是40立方米。 【典型例题2】3.5立方分米＝（ ）立方厘米； 0.25立方米＝（ ）立方厘米。 【答案】 3500 250000 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，单位大变小乘进率，进行换算即可。 【详解】3.5×1000＝3500（立方厘米）；0.25×1000000＝250000（立方厘米） 3.5立方分米＝3500立方厘米；0.25立方米＝250000立方厘米 【变式训练1】下面现实情境中，能提出与“体积”有关问题的是（     ）。 A．给相框装上花边 B．给学校的一面墙刷漆 C．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 D．给一个游泳池注水 【答案】D 【分析】封闭图形一周的长度就是它的周长。物体表面或封闭图形的大小就是它的面积。物体所占空间的大小就是它的体积。 【详解】A．给相框装上花边，花边的长度就是相框的周长； B．给学校的一面墙刷漆，指的是墙的面积； C．给一块长方形菜地的四周围上篱笆，篱笆的长度指的是菜地的周长； D．给一个游泳池注水，指的是水的体积。 能提出与“体积”有关问题的是给一个游泳池注水。 故答案为：D 【变式训练2】用体积1dm3的小正方体木块，堆成一个体积是1m3的大正方体，需要（ ）个小正方体木块，若把这些小正方体木块一个挨一个排成一行，长度是（ ）m。 【答案】 1000 100 【分析】1m3＝1000dm3，1m＝10dm用体积1dm3的小正方体木块，堆成一个体积是1m3的大正方体，需要1000个小正方体木块，排成一行后，长度是100m。 【详解】用体积1dm3的小正方体木块，堆成一个体积是1m3的大正方体，需要1000个小正方体木块，若把这些小正方体木块一个挨一个排成一行，长度是100m。 知识点02：长方体的体积 内容 长方体的体积 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 【典型例题1】一个长方体铁皮盒子，无盖。长、宽、高分别是20厘米、10厘米和1.5分米。做一个这样的盒子至少需要多少平方厘米的铁皮？如果每立方厘米的油为0.8克，这个盒子最多可以装多少克油？（铁皮连接处等忽略不计，铁皮的厚度忽略不计） 【答案】1100平方厘米；2400克 【分析】（1）由题意可知，运用，由于长方体铁皮盒子无盖，长×宽只有一个面，不用乘2，即可算出盒子的表面积； （2）运用，计算出这个长方体盒子的体积，再用乘法求出重量。 计算过程要先把1.5分米转化为以厘米为单位的数据，再计算。 【详解】 （平方厘米） （克） 答：做一个这样的盒子至少需要1100平方厘米的铁皮；这个盒子最多可以装2400克油。 【典型例题2】一根长2m的长方体木料，横截面是边长为3dm的正方形，木料的体积是（ ）dm3。 【答案】180 【分析】根据题意可知，长方体木料的长是2dm，宽是2dm，高是2m，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2m＝20dm 3×3×20 ＝9×20 ＝180（dm3） 木料的体积是180dm3。 【变式训练1】如图所示是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。 【答案】306cm2；270cm3 【分析】观察长方体展开图，长方体的长是15cm，宽是6cm，高是（9－6）cm，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】9－6＝3（cm） 表面积： （15×6＋15×3＋6×3）×2 ＝（90＋45＋18）×2 ＝153×2 ＝306（cm2） 体积： 15×6×3 ＝90×3 ＝270（cm3） 这个长方形的表面积是306cm2，体积是270cm3。 【变式训练2】2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？ 【答案】10.35立方米 【分析】由题意知，冰面可看作一个长方体，长、宽、高分别为46米、5米、4.5厘米。将单位统一成“米”之后，代入公式“长方体体积＝长×宽×高”计算即可。 【详解】4.5厘米＝0.045米 46×5×0.045 ＝230×0.045 ＝10.35（立方米） 答：冰面体积是10.35立方米。 知识点03：正方体的体积 内容 正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 【典型例题1】用一根长24分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 24 8 【分析】根据题意，24分米就是这个正方体的棱长总和；根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12；棱长＝棱长总和÷12；代入数据，求出正方体的棱长；再根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】24÷12＝2（分米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方分米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 用一根长24分米的铁丝焊成一个最大的正方体框架，这个正方体的表面积是24平方分米，体积是8立方分米。 【典型例题2】为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）12.8厘米 （2）438.4平方厘米 【分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据长方体的体积＝长×宽 ×高可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入数据计算即可； （2）根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 【变式训练1】一个正方体的棱长是5cm，它的棱长总和是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 【答案】 60 125 【分析】已知一个正方体的棱长是5cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的体积V＝a3，代入数据计算，求出它的棱长总和与体积。 【详解】5×12＝60（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 它的棱长总和是（60）cm，体积是（125）cm3。 【变式训练2】一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（     ）倍，体积扩大到原来的（     ）倍。 A．2；8 B．4；8 C．2；6 D．4；6 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。据此解答。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 故答案为：B 课后强化 一、选择题 1．一本数学书的体积约（     ）。 A．3000cm3 B．300cm3 C．30cm3 D．20cm3 【答案】B 【分析】棱长1cm的正方体，体积是1cm3，大约是1个手指头的大小，据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行选择。 【详解】由分析可得：一本数学书的体积约300cm3。 故答案为：B 2．如果长方体的长、宽、高都扩大到原来3倍，则它的体积扩大到原来的（     ）倍。 A．9 B．27 C．6 【答案】B 【分析】假设原来长方体的长是a，宽是b，高是h，则扩大后的长是3a，宽是3b，高是3h，根据，分别代入数据计算，再用扩大后的体积除以原来的体积，即可得解。 【详解】 则它的体积扩大到原来的27倍。 故答案为：B 3．一个长方体的体积是81立方厘米，正好可以平均分成3个正方体。正方体的棱长是（     ）。 A．3厘米 B．6厘米 C．9厘米 【答案】A 【分析】将长方体平均分成3个小正方体，长方体的体积没有变化，则每个小正方体的体积是81÷3＝27（cm3），正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。27是由3个3相乘，则正方体的棱长是3厘米。 【详解】81÷3＝27（cm3） 27＝3×3×3 故答案为：A 4．如图，从一个体积是30立方厘米的长方体中挖掉一小块后，（     ）。 A．体积变小，表面积不变 B．体积不变，表面积变小 C．体积变小，表面积变小 D．体积不变，表面积不变 【答案】A 【分析】表面积是指长方体各个面的面积之和，体积是指长方体所占空间的大小。据此解答。 【详解】从长方体中挖掉一小块后，减少三个面的同时增加了三个相同的面，所以表面积没有变化；因为挖掉了一小块，所以整个长方体所占空间变小，即体积变小。 故答案为：A 5．如图是一个长方体的展开图，它的体积是（     ）。 A．1344cm3 B．672cm3 C．488cm3 D．192cm3 【答案】B 【分析】根据长方体的展开图找到长方体的长、宽、高。具体方法是：根据展开图，假设其中最大的长方形是前面，则高为8cm，宽为6cm，两条长和两条宽的和是40cm，据此求出长。最后根据长方体的体积公式，代入计算即可。 【详解】假设其中最大的长方形是前面， 则高为8cm，宽为6cm， 长为40÷2－6 ＝20－6 ＝14（cm） 14×6×8 ＝84×8 ＝672（cm3） 所以，这个长方体的体积是672cm3。 故答案为：B 6．家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（     ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 【答案】C 【分析】根据长方体的体积＝横截面的面积×长，据此求出一根方木的体积，再乘方木的数量，即可求出这些木料的体积。据此解答。 【详解】0.024×3×50 ＝0.072×50 ＝3.6（立方米） 这些木料一共是3.6立方米。 故答案为：C 7．一个长方体纸盒，长8cm，宽6cm，高5cm，最多可以完整放入（     ）个棱长2cm的正方体积木。 A．24 B．30 C．120 【答案】A 【分析】根据题意可知，用除法分别求出长、宽、高部分可以放几个棱长2cm的正方体积木，然后把个数相乘，即可解答。 【详解】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 5÷2＝2（个）……1（cm） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 一个长8cm、宽6cm、高5cm的长方体纸盒里最多能放入24个棱长为2cm的小正方体积木。 故答案为：A 8．把一个长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块削成一个最大的正方体，削去部分的体积是（     ）立方厘米。 A．210 B．125 C．85 【答案】C 【分析】要削一个最大的正方体，则这个正方体的棱长最大为5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高和正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出原来的长方体体积和正方体体积，再求出它们的差，即可求出削去部分的体积是多少立方厘米。 【详解】7×6×5－5×5×5 ＝210－125 ＝85（立方厘米） 削去部分的体积是85立方厘米。 故答案为：C 二、填空题 9．棱长是10厘米的正方体，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 600 1000 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10 ＝10×10 ＝1000（立方厘米） 棱长是10厘米的正方体，表面积是600平方厘米，体积是1000立方厘米。 10．三个棱长2cm的小正方体拼成一个长方体，它的体积是（ ）。 【答案】24立方厘米/24cm3 【分析】三个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，将3个小正方体体积相加得到长方体，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算得出答案。 【详解】长方体体积为：2×2×2×3＝24（立方厘米）。 11．填表计算。 图形 长 （厘米） 宽 （厘米） 高 （厘米） 表面积 （平方厘米） 体积 （立方厘米） 长方体 10 8 3 （     ） （     ） 正方体 4 （     ） （     ） 【答案】268；240 96；64 【分析】根据题意，可依据长方体表面积公式和体积公式以及正方体表面积公式和体积公式， 长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积＝长×宽×高；正方体表面积＝6×棱长2；正方体体积＝棱长3，将数据代入公式计算即可。 【详解】长方体表面积＝（10×8＋10×3＋8×3）×2 ＝（80＋30＋24）×2 ＝134×2 ＝268（平方厘米） 长方体体积＝10×8×3 ＝80×3 ＝240（立方厘米） 正方体表面积＝6×42 ＝6×16 ＝96（平方厘米） 正方体体积＝4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 长方体表面积：268平方厘米 长方体体积：240立方厘米 正方体表面积：96平方厘米 正方体体积：64立方厘米 12．把两个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）平方分米，长方体的体积是（ ）立方分米，长方体的表面积是（ ）平方分米。 【答案】 8 16 40 【分析】用两个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少两个面，体积是两个正方体体积和；组成的长方体的长等于2×2＝4分米，宽是2分米，高是2分米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（平方分米） 2×2×2×2 ＝4×2×2 ＝8×2 ＝16（立方分米） 组成长方体的长：2×2＝4（分米）；宽是2分米；高是2分米。 （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝（16＋4）×2 ＝20×2 ＝40（平方分米） 把两个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方分米，长方体的体积是16立方分米，长方体的表面积是40平方分米。 13．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，这个长方体的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 4 8 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，一个长方体的长、宽、高都扩大几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数。 【详解】2×2＝4、2×2×2＝8 这个长方体的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 14．一根长方体木料长5厘米，宽4厘米，高3厘米，从木料上锯下一个最大的正方体木块后，剩余木料的体积是（ ）立方厘米。 【答案】33 【分析】根据题意可知，长方体锯下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高，即棱长等于3厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体体积和正方体体积，再用长方体体积－正方体体积，即可解答。 【详解】5×4×3－3×3×3 ＝20×3－9×3 ＝60－27 ＝33（立方厘米） 一根长方体木料长5厘米，宽4厘米，高3厘米，从木料上锯下一个最大的正方体木块后，剩余木料的体积是33立方厘米。 15．一个长方体长6dm，宽4dm，高3dm，则这个长方体的棱长之和是（ ），它的占地面积最小是（ ），它的体积是（ ）。 【答案】 52dm/52分米 12dm2/12平方分米 72dm3/72立方分米 【分析】根据，代入数据计算长方体的棱长之和，求它最小的占地面积，就是两条较短的棱长围成的长方形的面积，再根据，代入数据计算长方体的体积。 【详解】（1）（6＋4＋3）×4 ＝13×4 ＝52（dm） （2）4×3＝12（dm2） （3）6×4×3 ＝24×3 ＝72（dm3） 则这个长方体的棱长之和是52dm，它的占地面积最小是12dm2，它的体积是72dm3。 16．下面的几何体是由棱长1cm的小正方体摆成的，如果要把它继续补搭成一个大正方体，至少还需要（ ）个小正方体。 【答案】54 【分析】观察可知，要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少要有4个小正方体，根据，代入数据计算搭成大正方体所需的小正方体个数，再减去已有的个数。即可得解。 【详解】 （个） 至少还需要54个小正方体。 17．下图是由棱长1cm的小正方体摆成的立体图形，它的表面积是（ ）cm2，再放上（ ）个这样的小正方体就能摆成一个棱长为3厘米的大正方体，摆成的这个大正方体的棱长总和是（ ）cm。 【答案】 22 21 36 【分析】根据从不同的角度观察这个立体图形，从上面看有4个小正方形面积，上面和下面的面积相等，下面有4个小正方形的面积；从前面看有4个小正方形面积，前面和后面相等，后面也有4个小正方形面积；从左面看有3个小正方形面积，左面和右面相等，右面有3个小正方形；再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出一个小正方形的面积，再乘个数，就是这个立体图形的面积；大正方体的棱长是（1×3）厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；代入式据，求出这个正方体的体积，再求出棱长是1厘米的小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积，即可求出需要多少个小正方体；观察图形，数清楚图中的小正方体的个数，再用组成大正方体的个数减去图中小正方体的个数，求出再放上小正方体的个数；根据棱长总和＝棱长×12求出棱长总和。据此解答。 【详解】1×1×（4×2＋4×2＋3×2） ＝1×（8＋8＋6） ＝1×（16＋6） ＝1×22 ＝22（） 3×3×3÷（1×1×1） ＝9×3÷（1×1） ＝27÷1 ＝27（个） 27－6＝21（个） 1×3＝3（cm） 3×12＝36（cm） 所以它的表面积是22，再放上21个这样的小正方体就能摆成一个棱长为3厘米的大正方体，摆成的这个大正方体的棱长总和是36cm。 18．桌面上平放着一个高3厘米，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】48 【分析】由题可知，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，则正面、侧面面积相等，说明长与宽一样长，用长方体侧面的面积除以高，求出长方体的长和宽，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出长方体的体积即可。 【详解】12÷3＝4（厘米） 4×4×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 这个长方体的体积是48立方厘米。 19．一个正方体的棱长总和是60厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 150 125 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用60÷12即可求出正方体的棱长，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6和正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×6＝150（平方厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。 20．一个长80cm、宽40cm、高60cm的长方体纸箱最多能装下（ ）个棱长是20cm的正方体玻璃缸。 【答案】24 【分析】求长方体纸箱最多能装下几个棱长为20cm的正方体玻璃缸，就是求长方体的长、宽、高里分别有几个20cm，用除法计算； 再根据长方体的体积公式V＝abh，把长、宽、高最多能放玻璃缸的个数相乘，即是最多能装下正方体玻璃缸的总个数。 【详解】80÷20＝4（个） 40÷20＝2（个） 60÷20＝3（个） 4×2×3 ＝8×3 ＝24（个） 最多能装下24个棱长是20cm的正方体玻璃缸。 21．一个长方体的木块，高1.5米，平行于底面截成两个长方体后，表面积比原来增加了100平方厘米，原长方体木块的体积是（ ）。 【答案】7500立方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体的木块平行于底面截成两个长方体，则表面积增加2个截面的面积，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积V＝Sh，求出原来长方体的体积。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】1.5米＝150厘米 100÷2＝50（平方厘米） 50×150＝7500（立方厘米） 原长方体木块的体积是7500立方厘米。 三、计算题 22．计算长方体体积和正方体表面积。（单位：米）      【答案】120立方米；486平方米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】8×3×5 ＝24×5 ＝120（立方米） 9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方米） 四、解答题 23．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 【答案】324立方分米 【分析】根据题意，长方体木箱长、宽都是6分米，即这个长方体的上、下面都是“6×6”的正方形，露在外面的2个侧面都是以长方体的高为长、6分米为宽的长方形； 已知露在外面的面积是144平方分米，露在外面的面积包括长方体的上面和2个侧面，先用露在外面的面积减去上面的面积，求出2个侧面的面积，再除以2，求出一个长方形的面积，再除以6，即是这个长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个木箱的体积。 【详解】2个侧面的面积： 144－6×6 ＝144－36 ＝108（平方分米） 1个侧面的面积：108÷2＝54（平方分米） 高：54÷6＝9（分米） 体积：6×6×9 ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：这个木箱的体积是324立方分米。 24．游泳馆新建的游泳池长50米，宽25米，深3米。 （1）游泳池的四周和底面要粘瓷砖，一共需要贴多少平方米的资砖？ （2）游泳池里已经注入了1500立方米的水，要使池里的水到达1.5米高的水位线，还要注入多少立方米的水？ 【答案】（1）1700平方米 （2）375立方米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出水深1.5米时水的体积，然后减去1500立方米即可。 【详解】（1）50×25＋50×3×2＋25×3×2 ＝1250＋150×2＋75×2 ＝1250＋300＋150 ＝1700（平方米） 答：一共需要贴1700平方米的瓷砖。 （2）50×25×1.5－1500 ＝1250×1.5－1500 ＝1875－1500 ＝375（立方米） 答：还需要注入375立方米的水。 25．如图是一个棱长为3分米的正方体鱼缸的展开图。 （1）图中，①号面的相对面是（ ），②号面的相对面是（ ）。 （2）这个正方体鱼缸的占地面积是（ ）平方分米，它的容积是（ ）立方分米。（忽略材料厚度） 【答案】（1） ⑤ ⑥ （2） 9 27 【分析】（1）相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此解答。 （2）根据正方体的底面积＝棱长×棱长，正方体的容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出鱼缸的占地面积和容积解答即可。 【详解】（1）根据相对面的辨别方法，图中，①号面的相对面是⑤，②号面的相对面是⑥。 （2）3×3＝9（平方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 这个正方体鱼缸的占地面积是9平方分米，它的容积是27立方分米。 26．一块底面是正方形的长方体方钢，长2米，把它截成3段，表面积增加了60平方厘米，这块方钢的体积是多少？ 【答案】3000立方厘米 【分析】1米＝100厘米，依此先将2米化成厘米；根据题意，截成3段要切（3－1）次，增加了（2×2）个正方形面积，用60除以4，求出一个正方形的面积，即为长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，题目中的长即为高，代入数据，计算即可。 【详解】2米＝200厘米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 60÷4＝15（平方厘米） 15×200＝3000（立方厘米） 答：这块钢的体积是3000立方厘米。 27．学校用3.2立方米的沙子将新挖的长4米、宽2米的长方体沙坑填满。这个沙坑有多深？这个沙坑的占地面积是多少？ 【答案】0.4米；8平方米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此即可求出这个沙坑的深度；再根据长方形的面积公式：S＝ab，据此可求出这个沙坑的占地面积。 【详解】3.2÷4÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4（米） 4×2＝8（平方米） 答：这个沙坑有0.4米深，这个沙坑的占地面积是8平方米。 28．一个封闭的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计）长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图①）。现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上（如图②），这时水深多少分米？ 【答案】2.5分米 【分析】根据题意可知，无论怎样放置，长方体玻璃容器内水的体积不变，水在图①中的形状是一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积。 现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上，则长方体的底面变成以8分米为长、3分米为宽的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出此时长方体的底面积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出图②中的水深。 【详解】水的体积： 4×3×5＝60（立方分米） 图②中的水深： 60÷（8×3） ＝60÷24 ＝2.5（分米） 答：这时水深2.5分米。 29．把一个长70厘米，宽60厘米，高50厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体，正方体的体积是多少？ 【答案】125000立方厘米 【分析】要把长方体截成最大的正方体，这个正方体的棱长就是长方体的长、宽、高中的最小值；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此作答即可。 【详解】70＞60＞50，最大的正方体的棱长是50厘米。 50×50×50＝125000（立方厘米） 答：正方体的体积是125000立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $