阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第五章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在中，，，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为 ． 10．如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是 ． 11．如图，在等腰中，于点D，E，F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 12．如图，将斜边长相等的两块三角板按如图所示摆放，连接，，，，则 ． 13．如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 14．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交于，设，则的周长是 ． 15．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 16．如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的取值范围是 ． 三、解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在中，已知，，求的度数． 18．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． (1)第三边的范围为______． (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 19．已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：． 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个； (3)在直线上找一点，使的值最小． 21．已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 22．如图，边长为m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积． (1)你能得到的公式是___________ ； (2)爱思考的小聪看到三边为a，b，c的直角三角形(如图4)，四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积： 方法一：___________ ；(用a，b，c来表示) 方法二：___________ ；(用a，b，c来表示) (3)你能得出一个关于a，b，c的等式：___________ ； (4)若三边为a，b，c的直角三角形中，，求c的值． 23．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 24．中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（） 25．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 26．在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27．如图，中，，，作直线，使．过点B作于D，将线段绕点D顺时针方向旋转得到． 连接． (1)依题意补全图形； (2)设，则______（用含的代数式表示）； (3)用等式表示之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知点，对于点P、实数t和非零实数m，给出如下定义：过点作x轴的垂线l，过点P作点P关于直线l的对称点Q；若，将点Q向上平移个单位得到点R，若，将点Q向下平移个单位得到点R；我们称点R为点P的“滑移反射点”．例如，已知，当，时，点，点P的滑移反射点R的坐标为． (1)已知点， ①当，时，则点M的“滑移反射点”坐标为______． 已知点是点M的“滑移反射点”，则______． ②如果点R是点M的“滑移反射点”，且点R在第一象限，是等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的t值：______． (2)已知，，，上任意一点的“滑移反射点”组成的图形记为图形G；如果存在t，m，使图形G与有且只有一个公共点，直接写出符合条件的t的取值范围：______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第五章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即为三角形的外角性质，据此即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外角度数为， 故选：B． 3．下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 4．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴ ∵，则 ∴ 故选：A． 5．如图，在中，，，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的相关性质并灵活运用． 【详解】解：∵直线垂直平分， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 6．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由“三线合一”的性质可得，，再根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点E， ∵，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可． 此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵等边的边长为6 ∴， ∴ ∵ ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ∴，且，， ∴， ∵，即， ∴不是等边三角形，故③错误． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点C、M都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ∵，垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确， 设， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间距离公式． 利用两点间距离公式求解点A到原点的距离即可． 【详解】解：点A的坐标为，原点坐标为， ∴A到原点的距离为． 故答案为：． 10．如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴的面积． 故答案为：6． 11．如图，在等腰中，于点D，E，F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴． 故答案为：． 12．如图，将斜边长相等的两块三角板按如图所示摆放，连接，，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． 在上截取，由已知条件可得，，证明，得到，，设，求出，得到，根据三角形内角和定理计算即可 【详解】解：如图，在上截取， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 14．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交于，设，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 15．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 【答案】 0或4 5或2 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）分两种情况：当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 故答案为：或； （2）当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：5或2． 16．如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：过点B作，D为垂足，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，   ∴， 设，则 ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D，点P的对应点在线段的延长线上时，最小， 则最小值为； ∵， ∴， ∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C，时，最大， 最大值为； 故答案为：． 三、解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在中，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 18．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． (1)第三边的范围为______． (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【答案】(1) (2)    底边和腰不相等的等腰三角形 【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【详解】（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为． ∴三角形的周长． ∵两条边的长为，另外一条边的长为， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 19．已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一． 延长至，使，连接，则，证明， 得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论 【详解】证明：如图，延长至，使，连接，则， 为中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即． 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个； (3)在直线上找一点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及轴对称图形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键． （）分别作出，，的对应点，，即可； （）根据线段的垂直平分线性质找出格点即可； （）连接交直线于点，连接，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，如图，网格中满足条件的点共有个， 故答案为：； （3）解：如图，点即为所求； 理由：连接交直线于点，连接， ∴， ∴，即的值最小． 21．已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】(1)作图见解析 (2)，垂直平分线的性质， 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； 【详解】（1）如图， 点即为所求． （2）证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 22．如图，边长为m的正方形中有一个边长为n的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积． (1)你能得到的公式是___________ ； (2)爱思考的小聪看到三边为a，b，c的直角三角形(如图4)，四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积： 方法一：___________ ；(用a，b，c来表示) 方法二：___________ ；(用a，b，c来表示) (3)你能得出一个关于a，b，c的等式：___________ ； (4)若三边为a，b，c的直角三角形中，，求c的值． 【答案】(1) (2)方法一：，方法二： (3) (4)10 【分析】本题考查了勾股定理的证明，平方差公式的几何背景． （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积和长方形的面积两种方法列式即可； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积和正方形的面积公式列式即可； （3）根据两种方法表示出的大正方形的面积相等整理即可得解； （4）将，代入（3）中等式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）解：方法一：， 方法二：； 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 即， ∴． 故答案为：； （4）解：当，时，， 解得：（负值舍去）． 23．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）根据三线合一可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ∴； （2）解：，， 点是的中点， ， ， ， 的周长． 24．中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（） 【答案】消防车不需要改道行驶，理由见详解 【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键． 如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴，则， 在直角中，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵消防车的警报声传播半径为400米，且， ∴消防车不需要改道行驶． 25．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质； （1）根据三角形的面积公式，直接求的面积； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可求：，即，且，即可证，可得； （3）根据的面积是的面积的两倍，列出方程可求的值． 【详解】（1）解：， ； （2）证明：如图：连接， ，是中点， 平分， 又， ， ， 依题意得：， 在与中， ， ， ； （3）解：如图：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 解得：或 综上所述：当或． 26．在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点是的中点； （2）解：，理由为： 在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，中，，，作直线，使．过点B作于D，将线段绕点D顺时针方向旋转得到． 连接． (1)依题意补全图形； (2)设，则______（用含的代数式表示）； (3)用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，旋转的性质，补全图形即可； （2）根据题意，得结合，解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据等量代换证明即可． 本题考查了垂直的定义，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，补图如下： ． （2）解：根据题意，得，线段绕点D顺时针方向旋转得到． 得 又，， 故， 故答案为：． （3）解：在上截取，连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴． 28．在平面直角坐标系中，已知点，对于点P、实数t和非零实数m，给出如下定义：过点作x轴的垂线l，过点P作点P关于直线l的对称点Q；若，将点Q向上平移个单位得到点R，若，将点Q向下平移个单位得到点R；我们称点R为点P的“滑移反射点”．例如，已知，当，时，点，点P的滑移反射点R的坐标为． (1)已知点， ①当，时，则点M的“滑移反射点”坐标为______． 已知点是点M的“滑移反射点”，则______． ②如果点R是点M的“滑移反射点”，且点R在第一象限，是等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的t值：______． (2)已知，，，上任意一点的“滑移反射点”组成的图形记为图形G；如果存在t，m，使图形G与有且只有一个公共点，直接写出符合条件的t的取值范围：______． 【答案】(1)①；；②或或； (2) 【分析】（1）①根据“滑移反射点”的定义即可求解；②根据等腰直角三角形的定义，分3类情况讨论，、、，利用全等三角形的性质与判定求出的坐标，再结合“滑移反射点”的定义即可求解； （2）求出点分别关于直线对称点的坐标，由题意可知图形G可以通过上下平移得到，再结合图形G与有且只有一个公共点，列出关于t的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①过点作x轴的垂线l为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴点向上平移1个单位得到， ∴点M的“滑移反射点”坐标为； 由题意得，点的“滑移反射点”坐标为， ∵点是点M的“滑移反射点”， ∴， 解得； 故答案为：；； ②当时， 如图，作轴于点，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； 当时， 如图，作轴于点，作轴于点， 同理可证， ∴，， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； 当时， 同理可证， ∴，， 设点的坐标为， 则， 解得， ∴， 由①得，点的“滑移反射点”坐标为， ∴， 解得； ∴综上所述，符合条件的t值为或或； 故答案为：或或； （2）解：∵，，， ∴，轴， 点关于直线的对称点坐标为， 点关于直线的对称点坐标为， 点关于直线的对称点坐标为， 由题意得，图形G可以通过上下平移得到， ∵图形G与有且只有一个公共点， ∴与至少有一个公共点， ∴， 解得， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $