25.1求概率的方法 同步练习 2025-2026学年北京版数学九年级下册

null 求概率的方法 一、单选题 1．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 2．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 4．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 5．在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色 7．不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 8．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 10．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 12．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 13．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 14．有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为 15．如图是某公园中的植物迷宫，游客游玩迷宫时，每遇到一个岔路就随机向前或转弯继续前行（不走回头路），如果规定走进死胡同算失败，那么游客走出这个迷宫的概率为 ． 三、解答题 16．甘肃省海拔大多在1000米以上，有直插云天的皑皑雪峰、有一望无垠的辽阔草原、也有郁郁葱葱的森林．如图1，现有2张形状、大小相同但画面不同的风景图片，分别是祁连雪山和桑科草原，小颖将这2张图片全部从中间剪断（如图2），然后将所得到的4张小的图片混合均匀． (1)求小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； (2)用画树状图或列表的方法，求小颖从4张小的图片中随机抽出2张恰好组成一张完整风景图的概率． 17．春节期间，某电影院上映了《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》三部电影．小明、小丽两人从中选取一部电影观看． (1)小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率是______； (2)请用树状图或列表求小明、小丽两人选取同一部电影的概率． 18．某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 19．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 20．在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C C A D C D 1．C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子， ∴击中靶子的频率为， ∴小明射击一次击中靶子的概率约为， 故选：A 3．C 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 4．B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 5．C 【分析】本题考查概率的应用，从图中找出一共有几条路径，用能获得食物的路径数量除以路径总数即为所求． 【详解】解：小鼠一共有八条路径可以选择，只有两条路能获得食物， ∴P（小鼠在第一次走迷宫就能获得食物）． 故选：C． 6．C 【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案． 【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是， ∴这三种颜色的球的个数相等， ∴添加的球是黑球， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法． 7．A 【分析】本题主要考查了通过频率求频数，解题的关键是掌握频数和频率的关系． 利用频数和频率的关系进行求解即可． 【详解】解：估计袋中红球的数目为（个）， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了几何概率，依据阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值解答即可得解． 【详解】解：∵阴影部分占36°， ∴阴影部分占整个圆面积的：， ∴该顾客获奖的概率为． 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由摘取顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是的概率是， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 11．6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 12．12 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 13． 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 14． 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：令红色墨水笔为，两支黑色墨水笔为、，列表得： 小红         小明 共有9种等可能出现的结果，墨水颜色相同的情况有5种， ∴小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：入口向左走，共有2条路线，均是死胡同，不能走出迷宫，而入口向右，共有2条路线，其中有1条可以走出迷宫， 所以共有4条路线，只有1条路线可以走出迷宫，因此游客走出这个迷宫的概率为． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法． （1）根据概率公式求解即可； （2）用、表示祁连雪山风景图片被剪成的两半，用、b表示桑科草原风景图片被剪成的两半，然后利用树状图展示所有可能的结果数，找出2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：∵4张小的图片中有2张祁连雪山部分图形， ∴小颖从这4张小的图片中随机抽出1张恰好是祁连雪山部分图的概率； （2）解：用、表示祁连雪山风景图片被剪成的两半，用、表示桑科草原风景图片被剪成的两半， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数为， 所以2张图片恰好组成一张完整风景图的概率． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据表格得出小明、小丽选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）∵一共有3部电影，《哪吒之魔童闹海》只有一部，且每部电影的概率相同， ∴小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率是 ． （2）解：设分别用A、B、C表示《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》，列表如下： 小丽        小明 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中选取同一部电影的结果数有A，A；B，B；C，C；共3种， ∴选取同一部电影的概率为    18．(1) (2) 【分析】本题主要考查概率问题，列表法或树状图方法是解题的关键． （1）由题可直接得到概率； （2）根据题意列出树状图，再计算概率即可． 【详解】（1）总共4本法律，所以抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为， 故答案为：． （2）根据题意树状图如下： 抽取两本法律共有12种，其中有《民法典》的共有6种， 所以抽取的两本法律中有《民法典》的概率为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． （2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 20．(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数； （2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题． 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4， ∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个． 故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $