25.1求概率的方法巩固练习2024-2025学年 北京版数学九年级下册

25.1求概率的方法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 2．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 3．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（　　） A． B． C． D． 4．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 5．有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（    ） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球 6．学校60周年校庆，要从甲、乙、丙三人中选两名志愿者，甲被选中的概率是（    ）． A． B． C． D．1 7．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（    ） A．1 B． C． D． 8．有一道四选一的选择题某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是（    ） A． B． C． D． 9．一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球， 这些球除颜外都相同． 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回． 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则白球的个数的值可能是 （     ） A．1 B．2 C．4 D．5 10．掷一枚质地均匀的骰子．小明掷了3次，其中2次点数为5，1次点数为2．若他再掷1次，则点数为5的概率是（    ） A．0 B． C． D． 11．将分别标有“我”“爱”“数”“学”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率是（    ） A． B． C． D． 12．如图，是两个可以自由转动的均匀圆盘A和B，A、B分别被均匀的分成三等份和四等份．同时自由转动圆盘A和B，圆盘停止后，指针分别指向的两个数字的积为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．某种树苗移植的成活情况记录如下： 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 14．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）． 15．一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点落在直线上的概率是 . 16．甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 ． 17．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 三、解答题 18．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到黑球的频数 64 123 a 367 486 600 摸到黑球的频率 0.427 0.410 0.415 0.408 0.405 b (1)表中的a＝____；b＝____； (2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是___；（精确到0.1） (3)袋中白球个数的估计值为____． 19．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字． （1）出现“5”的概率是多少？ （2）出现“6”的概率是多少？ （3）出现奇数的概率是多少？ 20．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），如图所示．并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．小红和妈妈购买了168元的商品，请你分析计算： 颜色 奖品 红色 玩具熊 黄色 童话书 绿色 彩笔    (1)小红获得童话书的概率是多少？ (2)小红获得奖品的概率是多少？ 21．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为． (1)计算由、确定的点在函数的图象上的概率； (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若、满足＞6则小明胜，若、满足＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则. 22．一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔，撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 　 　． (2)该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 23．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率． 24．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题． （1）填空：样本容量为　 　，a＝　 　； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《25.1求概率的方法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A C D C B B 题号 11 12 答案 B B 1．D 【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得． 【详解】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒）， 故选：D． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 2．D 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，继而找出九年级同学获得前两名的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：列表如下： 七 八 九 九 七 ––– （八，七） （九，七） （九，七） 八 （七，八） ––– （九，八） （九，八） 九 （七，九） （八，九） ––– （九，九） 九 （七，九） （八，九） （九，九） ––– 所有等可能的情况有12种，其中九年级同学获得前两名的情况有2种， 则P=． 故选：D． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．B 【详解】试题分析： 图上共有15个方格，黑色方格为5个，小鸟最终停在黑色方格上的概率是，即．故选B． 考点：几何概率． 4．C 【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率． 5．A 【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 【详解】解：观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球， 故选：A． 【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答． 6．C 【分析】列举出任选两人的可能情况，再将甲被选中结果数除以总结果数． 【详解】解：甲，乙，丙三人要选2个，可能结果为甲乙、甲丙、乙丙，共3种，其中甲被选中的结果有2种，所以甲被选中的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 7．D 【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种， ∴P（正，正）=． 故选∶D． 【点睛】此题考查了列举法求概率，解题的关键是知道概率=所求情况数与总情况数之比． 8．C 【分析】让1除以备选答案总数即为这个同学答对的概率． 【详解】因为四个答案只有一个对的，所以某同学完全靠猜测获得结果答对的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查了等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9．B 【分析】由大量重复实验，摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率，根据概率公式列式计算即可求得n的数值． 【详解】解:∵大量重复实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25， ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查频率估计概率，准确计算是解题的关键． 10．B 【分析】根据概率的意义求出即可． 【详解】∵掷一枚质地均匀的骰子，出现1，2，3，4，5，6点的可能性相同， ∴再掷1次，则点数为5的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义和等可能事件概率的求法，准确理解概率的意义是解题的关键． 11．B 【分析】本题考查利用画树状图或列表法求概率，根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“数学”的结果数为2， ∴抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率 ． 故选B． 12．B 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确画出树状图，熟练掌握概率公式是解题关键．先利用树状图展示所有12种等可能的结果，其中积为偶数的有8种可能，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中积为偶数的有8种可能， ∴指针分别指向的两个数字的积为偶数的概率==． 故选B． 13．0.80 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80， 故答案为：0.80． 14． 【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵， ∴， ∴， 解得： 故答案为：①；② 【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键． 15． 【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x+1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 1 （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，3） 3 （3，1） （3，2） 共有6种等可能的结果，其中，点落在直线上的结果有2种， ∴点落在直线上的概率=． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，还需要注意实验是不放回实验． 16． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树形图如下： 由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中， 所以分到甲和乙的概率为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 17．0.5/ 【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可． 【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右， ∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5． 故答案为：0.5． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 18．(1)249、0.4/ (2)0.4/ (3)18 【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右； （3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4， 故答案为：249，0.4； （2）解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4； 故答案为：0.4； （3）解：设白球有x个， 根据题意得：， 解得x=18， 经检验：x=18是分式方程的解， ∴估算这个不透明的口袋中白球有18个． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1． 19．（1）出现“5”的概率是；（2）出现“6”的概率是0；（3）出现奇数的概率是． 【分析】（1）根据出现的机会有两次，再利用概率公式计算即可； （2）根据出现的机会没有，可得出现是不可能事件，从而可得其概率； （3）根据出现奇数的机会有四次，再利用概率公式计算即可. 【详解】解：（1）因为出现的机会有两次， 所以出现“5”的概率是：， （2）因为出现的机会没有， 所以出现“6”的概率是：， （3）因为出现奇数的机会有四次， 所以出现奇数的概率是 【点睛】本题考查的是概率的含义与计算，掌握概率的计算方法是解题的关键. 20．(1) (2) 【分析】（1）看黄色部分占整份数的多少，即可求得所求的概率； （2）看有颜色部分占整份数的多少，即可求得获得奖品的概率． 【详解】（1）黄色在16份中占了2份，则小红获得童话书的概率为； （2）三种颜色在16份中共占了6份，则小红获得奖品的概率为； 【点睛】本题考查简单几何概率的求法，体现了数学在实际生活中的应用，掌握概率的计算公式是关键． 21．(1)；(2)不公平，规则见解析. 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再得出得点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案； （2）首先分别求得x、y满足xy>6则小明胜，x、y满足xy<6则小红胜的概率，比较概率大小，即可得这个游戏是否公平；公平的游戏规则：只要概率相等即可． 【详解】(1)画树状图得：    ∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=−x+5的图象上的有4种：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)， ∴点(x,y)在函数y=−x+5的图象上的概率为：   (3)这个游戏不公平. 理由：∵x、y满足xy>6有：(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况,x、y满足xy<6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6种情况. ∴P(小明胜)=,P(小红胜)=, ∴这个游戏不公平． 公平的游戏规则为：若x、y满足则小明胜，若x、y满足xy<6则小红胜. 【点睛】考查游戏公平性，一次函数图象上点的坐标特征，列表法与树状图法，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键. 22．(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4部名著， ∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．(1) (2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，即可求解， （2）根据数状图，可得出大于20的数的个数，以及两位数的个数，再根据概率公式即可求解， 【详解】（1）解：画树状图如下： 则所有可能出现的结果为 （2）解：把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字， 则共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个， 则这个两位数大于20的概率为：， 24．（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45． 【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值； （2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图； （3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解. 【详解】解：（1）， 所以样本容量为100； B组的人数为， 所以，则； 故答案为，； （2）补全频数分布直方图为： （3）样本中身高低于的人数为， 样本中身高低于的频率为， 所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$