（温故知新-寒假专供）专题05 比的认识（知识回顾+七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共36题）-北师大版数学六年级上册培优讲义

专题05 比的认识 （知识回顾+七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共36题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点01：比的基本概念 1 知识点02：比的基本性质 2 知识点03：求比值与化简比 2 知识点04：比的应用 2 知识点05：注意事项 2 题型讲练 3 重点难点题型一：比的读法、写法及各部分的名称 3 重点难点题型二：求比值 3 重点难点题型三：比与分数、除法的关系 3 重点难点题型四：比的基本性质 4 重点难点题型五：比的化简 4 重点难点题型六：按比分配问题 4 重点难点题型七：比的应用 5 拔尖训练 6 知识点01：比的基本概念 1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。例如，4:5读作“4比5”。 2．比的各部分名称：“∶”是比号，读作“比”。比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项所得的商叫做比值。 3．比与除法、分数的关系： 比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子。 比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母。 比值相当于除法中的商，也相当于分数中的分数值。 比号相当于除法中的除号，相当于分数中的分数线。 知识点02：比的基本性质 1．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。 2．比的后项不能为0：因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0。 知识点03：求比值与化简比 1．求比值： 定义：所谓比值，就是前项除以后项所得的商。 方法：用比的前项除以后项得到一个数，这个数就是比值。比值可以是整数、分数或小数。 2．化简比： 定义：把一个比根据比的基本性质化成最简整数比。 方法： 对于整数比，可以直接把前项和后项同时除以它们的最大公因数。 对于分数比，可以先将比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数，将它们转化为整数比，然后再进行化简。 也可以先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成最简整数比。 知识点04：比的应用 1．按比分配问题： 解题方法：先求出总量一共被平均分成了几份，再找出各部分量占总量的份数，采用平均分的方法求出每份具体的数量，最后用分数乘法求出各部分相应的具体数量。 2．连比问题： 定义：三个或三个以上的数的关系也可以用比来表示，这样的比称为连比。 解题方法：根据连比的性质，可以将连比问题转化为多个简单的比的问题进行求解。 知识点05：注意事项 1．比与除法、分数的区别： 比表示一种关系，除法是一种运算，分数是一个数。 2．比是有序的： 如果颠倒比的顺序，就会得到另一个比，表示的意义也不同。 3．体育比赛中的“比”与教材中的“比”意义不同： 体育比赛中的“比”是记录比赛双方得分的一种形式，如2:0表示一个队得2分，另一个队得0分。 教材中的“比”则表示两个数之间的倍比关系。 重点难点题型一：比的读法、写法及各部分的名称 【例1】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：( )、( )。 【变式1】一个比是由三个部分组成，它们分别是：( )、( )和( )． 【变式2】既可以表示比，也可以表示比值．     ( )（判断对错） 重点难点题型二：求比值 【例2】（24-25六年级下·福建南平·期末）焖饭时，如果水和米的体积比大约在1∶1时，则米饭偏硬；如果水和米的体积比大约在3∶2时，则米饭偏软。根据以上信息，焖软硬适中的米饭，水和米的体积比可以是（    ）。 A．3∶1 B．5∶2 C．6∶5 D．2∶3 【变式1】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）下面各比，与的比值相等的是（    ）。 A． B． C． 【变式2】（24-25六年级上·吉林长春·期末）求比值。 12∶18    2.4∶3.2     重点难点题型三：比与分数、除法的关系 【例3】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）＝（    ）÷（    ）＝＝（    ）%＝（    ）∶30＝39∶（    ）＝（    ）（填小数）。 【变式1】（24-25六年级上·福建泉州·期末）0.4＝（    ）÷15＝＝3∶（    ）＝（    ）%。 【变式2】（24-25六年级上·安徽铜陵·期中）（    ）＝（    ）∶32＝（    ）（填小数）。 重点难点题型四：比的基本性质 【例4】（24-25六年级上·陕西榆林·期末）先化简下面各比，再求出比值。 24∶18     【变式1】（24-25六年级上·安徽淮南·期末）在2∶5中，若把前项加6，要使比值不变，后项应加( )。 【变式2】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）如果把4∶7的前项加上8，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．加上21 C．加上14 D．减去8 重点难点题型五：比的化简 【例5】（24-25六年级上·广东深圳·期末）化成最简整数比。 ∶           0.65∶1.5          1时25分∶45分 【变式1】（24-25六年级上·吉林·期中）甲杯中有40g的水，乙杯中有20g水，甲杯中放入10g糖，乙杯中放入5g糖，现在甲乙杯糖水相比，（    ）。 A．甲杯糖水甜 B．乙、杯糖水甜 C．两杯糖水一样甜 【变式2】（20-21六年级上·广东深圳·期末）在一个正方形内画一个最大的圆，这个正方形的周长与圆的周长之比的比值是（    ）。 A．3.14 B．π C． D． 重点难点题型六：按比分配问题 【例6】（25-26六年级上·福建泉州·期中）某创客社团在市级3D打印设计大赛中累计消耗1.5kg高强度3D打印材料，其中400g用于制作核心支撑结构，剩下的分为辅助材料和装饰性材料，已知辅助材料使用量是装饰性材料的，装饰性材料使用了( )g。 【变式1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）妈妈、爸爸和小轩三人的储蓄罐里原来共有零花钱2950元，妈妈取走了450元买了化妆品，爸爸把写稿收入的800元放到储蓄罐里，小轩取出了自己存入的压岁钱的买了课外书，现在三人在储蓄罐里的钱数的比为5∶3∶2，原来妈妈、爸爸、小轩各在储蓄罐里存了多少元？ 【变式2】（21-22六年级上·陕西榆林·期末）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？ 重点难点题型七：比的应用 【例7】（24-25六年级上·四川成都·期末）墙壁后面有一个水池，按照红色、金色与混合色是3∶2∶5的比放养锦鲤，其中放养的红色锦鲤有48尾，一共放养了( )尾锦鲤。 【变式1】（24-25五年级上·山东淄博·期末）某小学六年级学生参加体育测试，已达到国家体育锻炼标准的有60人。未达标学生人数占参加体育测试人数的，下列算式中求未达标学生人数正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·山西运城·期中）一杯糖水，糖与水的比是，喝了后，糖与水的比是。( )（判断对错） 1．（24-25六年级上·浙江金华·期末）一个三角形，三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（24-25六年级上·浙江金华·期末）下面的四个情境中，两个量的比可以用5∶4表示的是（    ）。 A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 3．（24-25六年级上·福建泉州·期中）下面说法中正确的有（    ）。 ①计算时可以用乘法分配律进行简算。 ②一个不小于0的数乘假分数，积一定不小于这个数。 ③一台电视机先提价，再降价，则现价与原价一样。 ④比的前项扩大到原来的2倍，后项缩小到原来的，比值扩大到原来的8倍。 A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 4．（23-24六年级上·辽宁·期中）一辆汽车从A城开往B城，已经行驶了全程的，还剩下144千米。A、B两城相距多少千米？下面列式正确的是（    ）。 ①144÷（8－5）×8                               ②144÷（1－） ③解：设A、B两城相距千米。－＝144        ④144÷（8－5）×5 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．（24-25六年级上·浙江金华·期末）你做过排球、足球的反弹高度实验吗？ (1)排球从3米的高处自由下落，排球每次的反弹高度和下落高度的比是3∶5，那么排球第一次的反弹高度是( )米。 (2)足球从高处自由下落后的反弹高度是下落高度，要使足球第一次反弹高度和（1）中排球第一次的反弹高度相同，应该让足球从( )米的高处自由下落。 6．（24-25六年级上·浙江金华·期末）我国民间常用生姜、红糖和水按2∶3∶55的比例熬制“姜汤”预防感冒。要熬制1200克的“姜汤”（不计损耗），需准备红糖( )克。 7．（24-25六年级上·安徽阜阳·期末）一道减法算式，被减数、减数和差一共是80，减数与差的比是5∶3，减数是( )，差是( )。 8．（25-26六年级上·陕西西安·期中）现有水果糖和酥糖共14kg，已知酥糖是水果糖的，则酥糖有10kg。( )（判断对错） 9．（24-25六年级上·广东惠州·期末）汽车生产车间的女工人数是男工人数的80%，男工人数与女工人数的比是5∶4。( )（判断对错） 10．（24-25六年级上·浙江金华·期末）化简比，后两题还要求出比值。 （1）2.5∶25       （2）0.4L∶700mL    （3）∶0.375    （4）40分∶3时 11．（2025·广东深圳·小升初模拟）某班有 40 名同学，下图是六（1）班在一次数学考试中的等级分布情况。其中甲等级为优良，丙等级及以上均为合格。已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，全班均合格。 （1）问甲、乙、丙等级分别有多少人？请写出计算过程。 （2）奇思：丙等级比乙等级少33%。妙想：丙等级比乙等级少75%。你同意谁的说法，请算一算。 12．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）某货运公司三次运送完一批货物，第一次运送了24吨，占这批货物质量的，第二次与第三次运送货物质量的比是5∶3，第二次运送货物多少吨？ 13．（25-26六年级上·陕西渭南·期中）红星电器厂赶制一批电器，厂里甲、乙两个车间单独完成这次任务需要的天数之比是，甲车间单独完成需要12天。如果由甲、乙两个车间合作4天后，剩下的由乙车间单独完成，完成这次任务一共需要多少天？ 14．（24-25六年级上·陕西渭南·期中）小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3∶7，这本书有多少页？ 15．（23-24六年级上·四川成都·期末）如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是2∶3，淘气以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，笑笑同时以每小时12千米的速度从乙地骑自行车去丙地，她比淘气早1小时到达丙地，甲、乙两地相距多少千米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 比的认识 （知识回顾+七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共36题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点01：比的基本概念 1 知识点02：比的基本性质 2 知识点03：求比值与化简比 2 知识点04：比的应用 2 知识点05：注意事项 2 题型讲练 3 重点难点题型一：比的读法、写法及各部分的名称 3 重点难点题型二：求比值 3 重点难点题型三：比与分数、除法的关系 5 重点难点题型四：比的基本性质 7 重点难点题型五：比的化简 8 重点难点题型六：按比分配问题 10 重点难点题型七：比的应用 13 拔尖训练 14 知识点01：比的基本概念 1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。例如，4:5读作“4比5”。 2．比的各部分名称：“∶”是比号，读作“比”。比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项所得的商叫做比值。 3．比与除法、分数的关系： 比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子。 比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母。 比值相当于除法中的商，也相当于分数中的分数值。 比号相当于除法中的除号，相当于分数中的分数线。 知识点02：比的基本性质 1．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。 2．比的后项不能为0：因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0。 知识点03：求比值与化简比 1．求比值： 定义：所谓比值，就是前项除以后项所得的商。 方法：用比的前项除以后项得到一个数，这个数就是比值。比值可以是整数、分数或小数。 2．化简比： 定义：把一个比根据比的基本性质化成最简整数比。 方法： 对于整数比，可以直接把前项和后项同时除以它们的最大公因数。 对于分数比，可以先将比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数，将它们转化为整数比，然后再进行化简。 也可以先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成最简整数比。 知识点04：比的应用 1．按比分配问题： 解题方法：先求出总量一共被平均分成了几份，再找出各部分量占总量的份数，采用平均分的方法求出每份具体的数量，最后用分数乘法求出各部分相应的具体数量。 2．连比问题： 定义：三个或三个以上的数的关系也可以用比来表示，这样的比称为连比。 解题方法：根据连比的性质，可以将连比问题转化为多个简单的比的问题进行求解。 知识点05：注意事项 1．比与除法、分数的区别： 比表示一种关系，除法是一种运算，分数是一个数。 2．比是有序的： 如果颠倒比的顺序，就会得到另一个比，表示的意义也不同。 3．体育比赛中的“比”与教材中的“比”意义不同： 体育比赛中的“比”是记录比赛双方得分的一种形式，如2:0表示一个队得2分，另一个队得0分。 教材中的“比”则表示两个数之间的倍比关系。 重点难点题型一：比的读法、写法及各部分的名称 【例1】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：( )、( )。 【答案】 4∶3 3∶2 【思路引导】根据药方的数值来写比，把其中一种药材的重量作比的前项，另一种药材的重量作比的后项，中间加上“∶”即可。 【规范解答】茯苓与桂枝的质量比是4∶3 白术与甘草的质量比是3∶2 因此根据这个药方，可写出两个比是4∶3、3∶2。 【变式1】一个比是由三个部分组成，它们分别是：( )、( )和( )． 【答案】 前项 比号 后项 【变式2】既可以表示比，也可以表示比值．     ( )（判断对错） 【答案】√ 重点难点题型二：求比值 【例2】（24-25六年级下·福建南平·期末）焖饭时，如果水和米的体积比大约在1∶1时，则米饭偏硬；如果水和米的体积比大约在3∶2时，则米饭偏软。根据以上信息，焖软硬适中的米饭，水和米的体积比可以是（    ）。 A．3∶1 B．5∶2 C．6∶5 D．2∶3 【答案】C 【思路引导】水和米体积比为1∶1时，比值为1÷1＝1，此时米饭偏硬。水和米体积比为3∶2时，比值为3÷2＝1.5，此时米饭偏软。所以当比值在1和1.5中间时，米饭软硬适中，据此分析各选项，进而得出正确答案。 【规范解答】A．水和米体积比为3∶1，比值为3÷1＝3，3＞1.5，比偏软时的比值还大，米饭会更软，不符合要求。 B．水和米体积比为5∶2，比值为5÷2＝2.5，2.5＞1.5，比偏软时的比值大，米饭偏软，不符合要求。 C．水和米体积比为6∶5，比值为6÷5＝1.2，1＜1.2＜1.5，在偏硬和偏软的比值之间，米饭软硬适中，符合要求。 D．水和米体积比为2∶3，比值为2÷3≈0.67，0.67＜1，比偏硬时的比值小，米饭偏硬，不符合要求。 焖软硬适中的米饭，水和米的体积比可以是6∶5。 故答案为：C 【变式1】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）下面各比，与的比值相等的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】比的前项除以后项即可求出比值，据此分别求出5∶3和选项中各比的比值即可解答。 【规范解答】5∶3＝5÷3＝ A. ＝ ＝ ＝ B. ＝ ＝ ＝ C. ＝ ＝ ＝ 则与的比值相等的是。 故答案为：B 【变式2】（24-25六年级上·吉林长春·期末）求比值。 12∶18    2.4∶3.2     【答案】；0.75； 【思路引导】求比值直接用比的前项÷后项即可，求比值的结果是一个数。 【规范解答】12∶18＝12÷18＝＝ 2.4∶3.2＝2.4÷3.2＝0.75 重点难点题型三：比与分数、除法的关系 【例3】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）＝（    ）÷（    ）＝＝（    ）%＝（    ）∶30＝39∶（    ）＝（    ）（填小数）。 【答案】13；5；26；260；78；15；2.6 【思路引导】把化成假分数是，根据分数与除法的关系＝13÷5。 根据分数的基本性质，的分子、分母都乘2就是。 13÷5＝2.6；把2.6的小数点向右移动两位添上百分号就是260%。 根据比与分数的关系＝13∶5，再根据比的性质，比的前、后项都乘6就是78∶30。 同理，13∶5的前、后项都乘3就是39∶15。 【规范解答】 13÷5＝2.6，2.6＝260% 13∶5 ＝（13×6）∶（5×6） ＝78∶30 13∶5 ＝（13×3）∶（5×3） ＝39∶15 所以＝13÷5＝＝260%＝78∶30＝39∶15＝2.6。（前两空答案不唯一） 【变式1】（24-25六年级上·福建泉州·期末）0.4＝（    ）÷15＝＝3∶（    ）＝（    ）%。 【答案】6；45；7.5；40 【思路引导】先将0.4转化为分数，再根据分数与除法、比的关系，以及分数、小数、百分数的互化方法逐步求解。 求0.4＝（）÷15，根据除法与分数的关系，a÷b＝（b≠0），则（）÷15＝0.4可根据“被除数＝商×除数”，可得括号里的数； 求0.4＝，根据“分母＝分子÷商”，可得括号里的数； 求0.4＝3∶（），根据比与分数的关系，“后项＝前项÷商”，可得括号里的数； 求0.4＝（）%中，把小数转化为百分数，将小数点向右移动两位，再加上百分号； 【规范解答】0.4×15＝6； 18÷0.4＝45； 3÷0.4＝7.5； 0.4转化为百分数是40%。 所以0.4＝6÷15＝＝3∶7.5＝40%。 【变式2】（24-25六年级上·安徽铜陵·期中）（    ）＝（    ）∶32＝（    ）（填小数）。 【答案】15；64；12；0.375 【思路引导】分数的分子相当于比的前项，除法的被除数，分数的分母相当于比的后项，除法的除数； 并且分数的分子与分母同时乘或除以0除外的相同的数，分数大小不变，据此即可填空。 【规范解答】； ； ； ； 即。 重点难点题型四：比的基本性质 【例4】（24-25六年级上·陕西榆林·期末）先化简下面各比，再求出比值。 24∶18     【答案】4∶3；；8∶5； 【思路引导】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化简；再根据比值的求法：用比的前项÷比的后项，即可解答。 【规范解答】24∶18 ＝（24÷6）∶（18÷6） ＝4∶3 4∶3 ＝4÷3 ＝ 140%∶ ＝∶ ＝（×40）∶（×40） ＝56∶35 ＝（56÷7）∶（35÷7） ＝8∶5 8∶5 ＝8÷5 ＝ 【变式1】（24-25六年级上·安徽淮南·期末）在2∶5中，若把前项加6，要使比值不变，后项应加( )。 【答案】15 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 在2∶5中，比的前项2加6得8，相当于前项乘4，根据比的基本性质，比的后项也要乘4，后项5乘4后再减去5，就是比的后项应加上的数，据此解答。 【规范解答】前项相当于乘： （2＋6）÷2 ＝8÷2 ＝4 后项也应乘4或加上： 5×4－5 ＝20－5 ＝15 要使比值不变，后项应加15。 【变式2】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）如果把4∶7的前项加上8，要使它的比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．加上21 C．加上14 D．减去8 【答案】C 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。如果把4∶7的前项加上8，相当于把4乘3，根据比的基本性质，要使它的比值不变，后项要乘3，后项就变为21，7要加上（21－7）才能变为21。 【规范解答】4＋8＝12 12÷4＝3 7×3＝21 21－7＝14 如果把4∶7的前项加上8，要使它的比值不变，后项应乘3或者加上14。 故答案为：C 重点难点题型五：比的化简 【例5】（24-25六年级上·广东深圳·期末）化成最简整数比。 ∶           0.65∶1.5          1时25分∶45分 【答案】25∶56；13∶30；17∶9 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 【规范解答】（1）∶ ＝∶ ＝（×40）∶（×40） ＝25∶56 （2）0.65∶1.5 ＝（0.65×100）∶（1.5×100） ＝65∶150 ＝（65÷5）∶（150÷5） ＝13∶30 （3）1时25分∶45分 ＝85分∶45分 ＝85∶45 ＝（85÷5）∶（45÷5） ＝17∶9 【变式1】（24-25六年级上·吉林·期中）甲杯中有40g的水，乙杯中有20g水，甲杯中放入10g糖，乙杯中放入5g糖，现在甲乙杯糖水相比，（    ）。 A．甲杯糖水甜 B．乙、杯糖水甜 C．两杯糖水一样甜 【答案】C 【思路引导】甲杯中有40g的水，放入10g糖，所以糖与水的比为10∶40，然后根据比的基本性质化简得1∶4。乙杯中有20g水，乙杯中放入5g糖，所以糖与水的比为5∶20，根据比的基本性质化简得1∶4。甲杯糖与水的比与乙杯糖与水的比相同，所以两杯糖水一样甜。 【规范解答】甲杯糖与水的比：10∶40 10∶40 ＝（10÷10）∶（40÷10） ＝1∶4 乙杯糖与水的比：5∶20 5∶20 ＝（5÷5）∶（20÷5） ＝1∶4 甲杯糖与水的比与乙杯糖与水的比相同，所以两杯糖水一样甜。 故答案为：C 【变式2】（20-21六年级上·广东深圳·期末）在一个正方形内画一个最大的圆，这个正方形的周长与圆的周长之比的比值是（    ）。 A．3.14 B．π C． D． 【答案】C 【思路引导】在一个正方形内画一个最大的圆的，圆的直径等于正方形的边长。可设正方形边长是a，则正方形的周长是：4a；圆的周长是a。那么正方形的周长与圆的周长之比为：4a∶a＝4∶。据此解答。 【规范解答】可设正方形边长是a， 则正方形的周长是：4a； 圆的周长是a 4a∶a＝4∶＝ 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查了正方形的周长 、圆的周长及比的意义及化简。 重点难点题型六：按比分配问题 【例6】（25-26六年级上·福建泉州·期中）某创客社团在市级3D打印设计大赛中累计消耗1.5kg高强度3D打印材料，其中400g用于制作核心支撑结构，剩下的分为辅助材料和装饰性材料，已知辅助材料使用量是装饰性材料的，装饰性材料使用了( )g。 【答案】660 【思路引导】先将1.5kg换算成1500g，减去用于制作核心支撑结构的材料质量，求出剩下的辅助材料和装饰性材料的质量，由于辅助材料使用量是装饰性材料的，即辅助材料使用量与装饰性材料使用量的比为2∶3，那么把剩余材料质量按2∶3，算出每份量为（1500－400）÷（2＋3），再乘3即为装饰性材料使用的质量。 【规范解答】1.5kg＝1500g （1500－400）÷（2＋3）×3 ＝1100÷5×3 ＝220×3 ＝660（g） 某创客社团在市级3D打印设计大赛中累计消耗1.5kg高强度3D打印材料，其中400g用于制作核心支撑结构，剩下的分为辅助材料和装饰性材料，已知辅助材料使用量是装饰性材料的，装饰性材料使用了660g。 【变式1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）妈妈、爸爸和小轩三人的储蓄罐里原来共有零花钱2950元，妈妈取走了450元买了化妆品，爸爸把写稿收入的800元放到储蓄罐里，小轩取出了自己存入的压岁钱的买了课外书，现在三人在储蓄罐里的钱数的比为5∶3∶2，原来妈妈、爸爸、小轩各在储蓄罐里存了多少元？ 【答案】1950元；100元；900元 【思路引导】从“现在三人在储蓄罐里的钱数的比为5∶3∶2”可知：假设小轩没拿他的钱的去买书，则2÷（1－）＝3，即钱数的比就是5∶3∶3；现在共有的钱就是2950－450＋800＝3300（元）。将现在共有的钱看作单位“1”， 妈妈现在的钱就占 ，爸爸和小轩现在的钱就各占，用3300×求出妈妈现在的钱，再加上450就是妈妈原来的钱；用3300×求出爸爸现在的钱，再减去800就是爸爸原来的钱；3300×求出小轩原来的钱。据此解答。 【规范解答】2÷（1－） ＝2÷ ＝2× ＝3 2950－450＋800＝3300（元） 妈妈： ＝ ＝1500＋450 ＝1950（元）    爸爸： ＝ ＝900－800 ＝100（元） 小轩： ＝ ＝900（元）   答：原来妈妈在储蓄罐里存了1950元，爸爸在储蓄罐里存了100元，小轩在储蓄罐里存了900元。 【考点剖析】先假设小轩没拿他的钱的去买书，得出三人现在的钱数比，再按比例分配求出三人的钱是解此题的关键。 【变式2】（21-22六年级上·陕西榆林·期末）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？ 【答案】900个 【思路引导】由于第二天卖出去的占了后两天卖的总数的：；第三天卖的占了剩下两天总数的：，则第二天比第三天多卖出的量占后两天总量的：－，单位“1”是后两天总数，单位“1”未知，用除法，即120÷（－），由此即可求出后两天的总数，之后把这批吉祥物玩偶看作单位“1”，后两天总量占了总数的1－，单位“1”未知，用除法，即，算出结果即可。 【规范解答】 ＝120÷（－）÷ ＝120÷÷ ＝120×5× ＝600× ＝900（个） 答：这批吉祥物玩偶一共有900个。 【考点剖析】本题主要考查按比例分配解决问题，同时要注意找准单位“1”是解题的关键。 重点难点题型七：比的应用 【例7】（24-25六年级上·四川成都·期末）墙壁后面有一个水池，按照红色、金色与混合色是3∶2∶5的比放养锦鲤，其中放养的红色锦鲤有48尾，一共放养了( )尾锦鲤。 【答案】160 【思路引导】根据红色、金色与混合色是3∶2∶5的比放养锦鲤，其中放养的红色锦鲤有48尾，用红色锦鲤的尾数48尾除以它占的份数3份，求出一份的尾数，再乘总份数即可解答。 【规范解答】48÷3＝16（尾） 16×（3＋2＋5） ＝16×10 ＝160（尾） 则一共放养了160尾锦鲤。 【变式1】（24-25五年级上·山东淄博·期末）某小学六年级学生参加体育测试，已达到国家体育锻炼标准的有60人。未达标学生人数占参加体育测试人数的，下列算式中求未达标学生人数正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意，未达标人数占参加测试人数的，则已达标人数占1－＝，即已达标人数是未达标人数的 4 倍（已达标人数∶未达标人数＝4∶1）。已知已达标人数为 60 人，求未达标人数，用已达标人数÷4即可，据此解答。 【规范解答】已达标人数是未达标人数的4倍，未达标人数＝60÷4＝15（人） 对应选项A的算式：60÷4 故答案为：A 【变式2】（25-26六年级上·山西运城·期中）一杯糖水，糖与水的比是，喝了后，糖与水的比是。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】糖水是均匀的混合物，喝掉部分后，剩下的糖与水的比例保持不变。 【规范解答】假设糖的质量为1份，水的质量为48份。喝了后，剩下的糖为： （份） 剩下的水为： （份）。此时糖与水的比为，与原比例相同。因此，题目说法错误。 故答案为：× 1．（24-25六年级上·浙江金华·期末）一个三角形，三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【思路引导】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是1∶2∶3，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【规范解答】最大的内角是： 180°× ＝180°× ＝90° 这个三角形是直角三角形。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·浙江金华·期末）下面的四个情境中，两个量的比可以用5∶4表示的是（    ）。 A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】①由图可知5元买了4块橡皮，根据比的意义，写出橡皮总价与数量的比即可； ②已知快速列车的速度为150千米/时，普通列车的速度为120千米/时，根据比的意义，写出快速列车速度与普通列车速度的比，再根据比的基本性质，前项和后项同时除以30将其化简为最简整数比即可； ③已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为4cm，根据圆的面积公式可知两个圆的面积比是半径比的平方； ④鸡的只数是鸭子的，把鸭子数只数看作单位“1”，把鸭子的只数平均分成5份，鸡的只数有这样的4份，根据比的意义，写出鸡与鸭的只数比即可。 【规范解答】①橡皮总价与数量之比为5∶4； ②150∶120＝（150÷30）∶（120÷30）＝5∶4 所以快速列车的速度与普通列车的速度比为5∶4； ③52∶42＝25∶16 所以大圆与小圆的面积之比为25∶16； ④农场里，鸡的只数是鸭子的，所以鸡与鸭的只数比为4∶5。 两个量的比可以用5∶4表示的是①②。 故答案为：A 3．（24-25六年级上·福建泉州·期中）下面说法中正确的有（    ）。 ①计算时可以用乘法分配律进行简算。 ②一个不小于0的数乘假分数，积一定不小于这个数。 ③一台电视机先提价，再降价，则现价与原价一样。 ④比的前项扩大到原来的2倍，后项缩小到原来的，比值扩大到原来的8倍。 A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】①分配律用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 ②假分数是指分子大于或者等于分母的分数，所以假分数大于或等于1。当一个数（0除外）乘一个大于1的数时，积大于这个数，当乘一个等于1的数时，积等于这个数。如果这个数是0，0乘任何假分数都等于0，积等于这个数。 ③假设电视机的价格为1，把电视机价格看作单位“1”，先提价，则价格为：1×（1＋）＝。把提价后的价格看作单位“1”，再降价，则价格为：×（1－）。 ④设原来的比为a∶b（a、b均不为0），比值为。比的前项扩大到原来的2倍，变为2a；后项缩小到原来的，变为b。此时的比值为2a÷。 【规范解答】①，可将其展开为，这样计算较为简便，所以①说法正确。 ②如果这个数是0，0乘任何假分数都等于0，积等于这个数。所以一个数乘假分数，积一定不小于这个数，②说法正确。 ③假设电视机的价格为1，把电视机价格看作单位“1”。 1×（1＋） ＝1× ＝ 把提价后的价格看作单位“1”。 ×（1－） ＝× ＝ 不等于1，所以现价与原价不一样，③说法错误。 ④设原来的比为a∶b（a、b均不为0）。 a∶b＝ a×2＝2a b×＝b 2a÷ ＝2a× ＝ ÷ ＝× ＝8 所以比值扩大到原来的8倍，④说法正确。 说法中正确的有①②④。 故答案为：D 4．（23-24六年级上·辽宁·期中）一辆汽车从A城开往B城，已经行驶了全程的，还剩下144千米。A、B两城相距多少千米？下面列式正确的是（    ）。 ①144÷（8－5）×8                               ②144÷（1－） ③解：设A、B两城相距千米。－＝144        ④144÷（8－5）×5 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】①已知行驶了全程的，可以把已行的路程看作5份，则全程是8份，还剩下（8－5）份；用还剩下的路程除以（8－5）份，即可求出一份数，再用一份数乘全程的份数，求出全程。 ②把全程看作单位“1”，已经行驶了全程的，则还剩下全程的（1－），单位“1”未知，用还剩下的路程除以（1－），即可求出全程。 ③等量关系：全程－已经行驶的路程＝还剩下的路程，据此列出方程。 ④已知行驶了全程的，可以把已行的路程看作5份，则全程是8份，还剩下（8－5）份；那么144÷（8－5）是求一份数，用一份数乘5，求的是已行的路程。 【规范解答】①144÷（8－5）×8，求的是A、B两城之间的距离，列式正确； ②144÷（1－），求的是A、B两城之间的距离，列式正确； ③解：设A、B两城相距千米。－＝144，求的是A、B两城之间的距离，列式正确； ④144÷（8－5）×5，求的是已行的路程，列式错误。 综上所述，列式正确的有①②③。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查用不同的方法解决问题： ①把分数转化成比，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出全程； ②找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答； ③列方程解决问题，从题目中找到等量关系，根据等量关系列方程。 5．（24-25六年级上·浙江金华·期末）你做过排球、足球的反弹高度实验吗？ (1)排球从3米的高处自由下落，排球每次的反弹高度和下落高度的比是3∶5，那么排球第一次的反弹高度是( )米。 (2)足球从高处自由下落后的反弹高度是下落高度，要使足球第一次反弹高度和（1）中排球第一次的反弹高度相同，应该让足球从( )米的高处自由下落。 【答案】(1)//1.8 (2)//4.5 【思路引导】（1）已知排球下落高度为3米，反弹高度和下落高度的比是3∶5，即反弹高度是下落高度的，用下落高度乘，即可求出反弹高度，列式为3×。 （2）已知足球反弹高度是下落高度的，且反弹高度与（1）中排球第一次的反弹高度相同，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，即下落高度＝反弹高度÷。 【规范解答】（1）3×＝（米） 排球第一次的反弹高度是米。 （2） ＝ ＝（米） 应该让足球从米的高处自由下落。 6．（24-25六年级上·浙江金华·期末）我国民间常用生姜、红糖和水按2∶3∶55的比例熬制“姜汤”预防感冒。要熬制1200克的“姜汤”（不计损耗），需准备红糖( )克。 【答案】60 【思路引导】根据题意，已知生姜、红糖和水的比是2∶3∶55，可得总份数是（2＋3＋55）份，又知道总重量是1200克，先用总重量除以总份数求出一份数，再乘红糖的份数，即可求出红糖的重量，据此解答。 【规范解答】1200÷（2＋3＋55） ＝1200÷60 ＝20（克） 20×3＝60（克） 所以需准备红糖60克。 7．（24-25六年级上·安徽阜阳·期末）一道减法算式，被减数、减数和差一共是80，减数与差的比是5∶3，减数是( )，差是( )。 【答案】 25 15 【思路引导】被减数＝差＋减数，因此被减数、减数、差的和÷2＝差＋减数，将比的前后项看成份数，差加减数的和÷总份数＝一份数，一份数分别乘减数和差的对应份数，即可求出减数和差。 【规范解答】80÷2÷（5＋3） ＝40÷8 ＝5 5×5＝25 5×3＝15 减数是25，差是15。 【考点剖析】关键是通过减法算式各部分之间的关系，确定差加减数的和。 8．（25-26六年级上·陕西西安·期中）现有水果糖和酥糖共14kg，已知酥糖是水果糖的，则酥糖有10kg。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把水果糖的质量看作单位“1”，那么酥糖的质量就是，水果糖和酥糖的质量比就是1∶＝5∶2。总份数为5＋2＝7份，而水果糖和酥糖总共14kg，所以每份的质量是14÷7＝2kg。酥糖占2份，所以酥糖的质量是2×2＝4kg，不是10kg，所以该说法错误。 【规范解答】1∶ ＝（1×5）∶（×5） ＝5∶2 14÷（5＋2） ＝14÷7 ＝2（kg） 2×2＝4（kg） 因此，酥糖的实际质量为4kg。 故答案为：× 9．（24-25六年级上·广东惠州·期末）汽车生产车间的女工人数是男工人数的80%，男工人数与女工人数的比是5∶4。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】首先明确“女工人数是男工人数的80%”的含义：把男工人数当作单位“1”，女工人数是单位“1”的80%； 需将“百分比关系”转化为“两个量的比”：比是表示两个数的倍数关系，因此需要把男工、女工对应的比例写成比的形式，再进行化简； 化简过程中需要运用“比的基本性质”（比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变）来化简比。 【规范解答】把男工人数看作单位“1”，用百分比表示为100%。 根据题干，女工人数是男工人数的80%，因此女工对应的比例是80%。 故答案为：√ 10．（24-25六年级上·浙江金华·期末）化简比，后两题还要求出比值。 （1）2.5∶25       （2）0.4L∶700mL    （3）∶0.375    （4）40分∶3时 【答案】（1）1∶10；（2）4∶7；（3）2∶1；2；（4）2∶9； 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【规范解答】（1）2.5∶25 ＝（2.5×10）∶（25×10） ＝25∶250 ＝（25÷25）∶（250÷25） ＝1∶10 （2）0.4L∶700mL ＝（0.4×1000）mL∶700mL ＝400∶700 ＝（400÷100）∶（700÷100） ＝4∶7 （3）∶0.375 ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 2∶1 ＝2÷1 ＝2 （4）40分∶3时 ＝40分∶（3×60）分 ＝40∶180 ＝（40÷20）∶（180÷20） ＝2∶9 2∶9 ＝2÷9 ＝ 11．（2025·广东深圳·小升初模拟）某班有 40 名同学，下图是六（1）班在一次数学考试中的等级分布情况。其中甲等级为优良，丙等级及以上均为合格。已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，全班均合格。 （1）问甲、乙、丙等级分别有多少人？请写出计算过程。 （2）奇思：丙等级比乙等级少33%。妙想：丙等级比乙等级少75%。你同意谁的说法，请算一算。 【答案】（1）甲：30人；乙：8人；丙：2人 （2）妙想说得对；算法见详解 【思路引导】（1）把总人数看作单位“1”，甲等级人数占总人数的75%，用总人数×75%，求出甲等级的人数；再用总人数－甲等级人数，求出乙、丙等级人数和，已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，即乙等级人数占乙、丙等级人数的，用乙、丙等级人数和×，求出乙等级人数，进而求出丙等级人数。 （2）用乙等级人数与丙等级人数的差，除以乙等级人数，再乘100%，求出丙等级比乙等级少百分之几；再判断谁说的对，据此解答。 【规范解答】（1）40×75%＝30（人） （40－30）× ＝10× ＝8（人） （40－30）× ＝10× ＝2（人） 答：甲等级人数是30人，乙等级人数是8人，丙等级人数是2人。 （2）（8－2）÷8×100% ＝6÷8×100% ＝0.75×100% ＝75% 妙想说得对。 答：妙想说得对。 12．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）某货运公司三次运送完一批货物，第一次运送了24吨，占这批货物质量的，第二次与第三次运送货物质量的比是5∶3，第二次运送货物多少吨？ 【答案】10吨 【思路引导】把这批货物的总质量看作单位“1”，第一次运送了24吨，占这批货物质量的，单位“1”未知，用第一次运送的质量除以，求出这批货物的总质量；用总质量减去第一次运送的质量，就是第二次、第三次运送货物的质量之和； 已知第二次与第三次运送货物质量的比是5∶3，即第二次运送货物的质量占第二次、第三次运送货物的质量之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出第二次运送货物的质量。 【规范解答】24÷ ＝24× ＝40（吨） （40－24）× ＝16× ＝10（吨） 答：第二次运送货物10吨。 13．（25-26六年级上·陕西渭南·期中）红星电器厂赶制一批电器，厂里甲、乙两个车间单独完成这次任务需要的天数之比是，甲车间单独完成需要12天。如果由甲、乙两个车间合作4天后，剩下的由乙车间单独完成，完成这次任务一共需要多少天？ 【答案】6天 【思路引导】将这批电器看成单位“1”，已知甲、乙单独完成任务的天数比为4∶3，甲单独需12天，用12÷4×3计算出乙单独需9天。甲每天工作效率是，乙每天工作效率是，两人合作一天工作效率就是＋，再乘4即为甲、乙合作4天完成的，然后用1减去完成的即为剩余几分之几，用剩余的工作量除以乙的工作效率，就是剩下的由乙单独做需要的天数，最后加上一起合作的4天即可解题。 【规范解答】12÷4×3 ＝3×3 ＝9（天） 1÷12＝ 1÷9＝ （＋）×4 ＝（＋）×4 ＝×4 ＝ 1－＝ ÷＋4 ＝×9＋4 ＝2＋4 ＝6（天） 答：完成这次任务一共需要6天。 【考点剖析】本题考查两人合作的工程问题，根据两人的工作效率计算出合作的工作量，从而得出的剩余工作量，进而求出乙完成剩余工作的时间是解题的关键。 14．（24-25六年级上·陕西渭南·期中）小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3∶7，这本书有多少页？ 【答案】180页 【思路引导】求一个数的几分之几用乘法计算，解方程主要运用等式的性质，等式两边同时加上或者减去同一个数，等式不变。等式两边同时乘或者除以一个不为0的数，等式不变。 设这本书有页，则第一天读的页数是页，第二天读的页数是页，由已读的页数与剩下的页数的比是3∶7可知，第一天和第二天已读的页数之和占总页数的，据此列出方程即可求解． 【规范解答】解：设这本书有页 答：这本书有180页。 【考点剖析】本题重点是根据条件已读的页数与剩下的页数的比是3∶7，得到第一天和第二天已读的页数之和占总页数的，再设总页数为未知数，按照第一天读的页数第二天读的页数两天已读的页数之和来列方程求解。 15．（23-24六年级上·四川成都·期末）如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是2∶3，淘气以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，笑笑同时以每小时12千米的速度从乙地骑自行车去丙地，她比淘气早1小时到达丙地，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】20千米 【思路引导】根据“时间＝路程÷速度”可以求出淘气和笑笑到达丙地的时间比，再根据笑笑比淘气早到1小时求出淘气从甲地到丙地的时间，然后再根据“路程＝时间×速度”求出甲丙两地的路程，然后根据甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比求出乙地到丙地的路程，然后把甲地到丙地的路程和乙地到丙地的路程相加求和即可。 【规范解答】淘气和笑笑到达丙地的时间比为： ∶ ＝（×12）∶（×12） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 淘气从甲地到丙地用的时间为： 1÷ ＝1÷ ＝1×2 ＝2（小时） 甲丙两地的路程为：2×4＝8（千米） 乙丙两地的路程为：8÷2×3＝12（千米） 甲乙两地的路程为：8＋12＝20（千米） 答：甲、乙两地相距20千米。 【考点剖析】掌握速度、时间和路程之间的关系，以及求出时间比，是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $