第06讲 圆的方程（知识梳理+4大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第06讲 圆的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点2：圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径长为r(其中a，b，r都是常数，r>0).设M（x，y）为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合P=.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为=r ①，①式两边平方，得 知识点3：求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点4：点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点5：圆的一般方程 1．定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为（），半径r=. 2．推导过程 把圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 知识点6：待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 【题型1 圆的标准方程】 例1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 例2（24-25高二下·上海徐汇·期中）曲线，公共点的个数（   ） A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个 【答案】D 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，由半径的值不能确定，可得答案. 【详解】由曲线，则曲线为圆，即圆心为，半径为，如下图示， 易知曲线与曲线共同过原点，由半径不能确定，则交点个数不能确定. 故选：D. 变式1（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法即可求解方程组得解. 【详解】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 故答案为： 变式2（23-24高二上·上海·月考）以为直径端点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径即可得解. 【详解】由题意知圆心为，半径为， 则以为直径端点的圆的标准方程为. 故答案为：. 变式3（22-23高二上·上海奉贤·月考）已知圆心且经过点圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程. 【详解】圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 【题型2点与圆的位置关系】 例3（22-23高二上·上海长宁·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得：. 故选：C 例4（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 【答案】在圆的外部 【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得. 【详解】由圆的圆心到点的距离为， 知点在圆的外部. 故答案为：在圆的外部. 变式1（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是 【答案】 【分析】点坐标代入方程左边所得值应大于0，还要考虑方程是表示圆，两者结合可得结论． 【详解】由题意题设方程表示圆，则，或， 点在圆外，则，， 综上，的范围是． 故答案为：． 变式2（20-21高二上·上海浦东新·月考）若过点可作圆的两条切线，则实数m的取值范围为 . 【答案】. 【分析】由题意可知点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于过点可作圆的两条切线，则点在圆外， 可得，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法，理解过已知点总可以作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键. 变式3（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程． 【详解】设圆的方程为， ∵圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， ∵圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 【题型3圆的一般方程】 例5（20-21高二上·上海徐汇·月考）已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心，根据已知条件求得参数，再求得圆的半径，即可求得结果. 【详解】，即， 则，其表示圆心为，半径为的圆， 根据题意可得：，解得，故该圆的半径为，则其面积. 故选：A. 例6（25-26高二上·上海青浦·月考）方程表示圆，则的取值范围为 【答案】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设点，则，由，所以，代入，即可求解. 【详解】设点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即. 因此点P的轨迹方程是. 故答案为： 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设过三点的圆的方程为：，代入求解即可. 【详解】设过三点的圆的方程为：， 则解得 所求圆的方程为. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于点对称的圆的方程． 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心关于点对称的点的坐标，即可求出对称的圆的方程. 【详解】圆，即，圆心，半径， 圆心关于点对称的点为，即， 所以圆关于点对称的圆的方程为.    【题型4求参数范围】 例7（22-23高二上·上海闵行·月考）当变化时，不在直线上的点所成区域是区域内的任意一点.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原方程化为关于的方程，得，，夹角记作，直线与圆相切，进而得，即可求解 【详解】原方程化为关于的方程， 时， ，得， 当，时，点不在直线上， 所以区域G是以点为圆心，半径为1的圆的内部（除外不包括圆上点）， ，，，夹角记作， 由坐标可知三点共线，且， 当直线与圆相切于点时，， 所以此时， 因此，． 故选：A 例8（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）若方程表示圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 变式2（25-26高二上·上海·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 【答案】或．圆心坐标为，半径为 【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出的范围. 【详解】原方程可化为． 由，得，解得或， 所以a的取值范围是或，圆心坐标为，半径为． 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为 【答案】2 【分析】根据圆的一般方程半径公式求解. 【详解】圆的半径为. 故答案为：2. 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）以为圆心，且经过的圆的方程是 . 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，把代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程. 【详解】因为圆心，故可设圆的标准方程为， 因为点在圆上，所以， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程表示圆，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准形式，从而可列不等式，求解即可. 【详解】将圆的方程化为， 所以，解得或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·月考）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】已知圆心为，半径， 则圆的标准方程为：. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 【答案】 【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【详解】由题意可知圆的标准方程为， 化圆的一般式得. 故答案为：. 6．（22-23高二下·上海宝山·期末）若表示圆，则实数的值为 . 【答案】 【分析】 依题意可得，解得，再代入检验. 【详解】因为表示圆，所以， 解得或， 当时方程，即，不表示任何图形，故舍去； 当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意； 故答案为： 7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆的圆心到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】， 即：， 故圆心为： 所以圆心到直线的距离：. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·期中）设，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 【答案】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程 【详解】，所以半径， 又∵， ∴线段AB的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：. 9．（22-23高二上·上海宝山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可. 【详解】因为方程表示圆，则， 解得：或， 故答案为：或. 10．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 【答案】 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 11．（22-23高二下·上海浦东新·月考）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为 （精确到0.01 m）． 【答案】5.39 m 【分析】建立平面直角坐标系，分别设圆的一般式方程以及标准式方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为． 方法一：设圆拱所在的圆的方程是. 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得 故圆拱所在的圆的方程是. 方法二：设圆的半径为，则，得. 则圆心纵坐标为，. 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即吊杆的长约为. 故答案为： 二、单选题 13．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 14．（20-21高二上·上海浦东新·期末）已知点P(a，b)，曲线，，则“点P(a，b)在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】根据两曲线的几何图形及充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】曲线，，表示圆心在原点，半径为1的圆， 曲线，，表示圆心在原点，半径为1的上半圆， 若点P(a，b)在曲线C1上，则，若点P(a，b)在曲线C2上，则， 所以“点P(a，b)在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的必要不充分条件. 故选：B 15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 16．（24-25高二上·上海·期中）在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（    ） A．椭圆的内部 B．双曲线右支的开口侧 C．抛物线的开口侧 D．圆的内部 【答案】D 【分析】根据已知得到，令，住户坐标为，应用两点距离公式即可得区域形状. 【详解】令的面积为，则的面积为， 若住户到距离为，则到的距离为， 要使，且，即， 令，住户坐标为， 所以， 故商场对周边住户吸引力更强区域的形状为圆的内部. 故选：D 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于直线对称的圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】将圆方程变形可得，，则圆心，半径， 则圆心关于直线对称点坐标为，且对称圆的半径为， 则对称圆的方程为. 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 19．（23-24高二上·上海·课后作业）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或 【分析】利用待定系数法，根据圆心的位置、圆上的点坐标及直线与圆的相切关系，得到相关参数的方程组，从而得解. 【详解】依题意，设圆的方程为，则圆心坐标为，半径为， 由题意得：， 由得， 将代入，得， 将代入，同时平方，得， 从而有，解得或， 当时，，，则圆的方程为； 当时，，，则圆的方程为； 综上：所求圆的方程为或． 20．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为. 【分析】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】（1）由题设，点到直线的距离为； （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为. 21．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点2：圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径长为r(其中a，b，r都是常数，r>0).设M（x，y）为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合P=.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为=r ①，①式两边平方，得 知识点3：求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点4：点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点5：圆的一般方程 1．定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为（），半径r=. 2．推导过程 把圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 知识点6：待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 【题型1 圆的标准方程】 例1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25高二下·上海徐汇·期中）曲线，公共点的个数（   ） A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个 变式1（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为 ． 变式2（23-24高二上·上海·月考）以为直径端点的圆的标准方程为 . 变式3（22-23高二上·上海奉贤·月考）已知圆心且经过点圆的标准方程为 ． 【题型2点与圆的位置关系】 例3（22-23高二上·上海长宁·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 变式1（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是 变式2（20-21高二上·上海浦东新·月考）若过点可作圆的两条切线，则实数m的取值范围为 . 变式3（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【题型3圆的一般方程】 例5（20-21高二上·上海徐汇·月考）已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 例6（25-26高二上·上海青浦·月考）方程表示圆，则的取值范围为 变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是 . 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于点对称的圆的方程． 【题型4求参数范围】 例7（22-23高二上·上海闵行·月考）当变化时，不在直线上的点所成区域是区域内的任意一点.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）若方程表示圆，则m的取值范围为 . 变式2（25-26高二上·上海·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）以为圆心，且经过的圆的方程是 . 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程表示圆，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高二下·上海·月考）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 5．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 6．（22-23高二下·上海宝山·期末）若表示圆，则实数的值为 . 7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆的圆心到直线的距离是 ． 8．（25-26高二上·上海·期中）设，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 9．（22-23高二上·上海宝山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 11．（22-23高二下·上海浦东新·月考）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 12.（25-26高二上·上海·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为 （精确到0.01 m）． 二、单选题 13．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（20-21高二上·上海浦东新·期末）已知点P(a，b)，曲线，，则“点P(a，b)在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海·期中）在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（    ） A．椭圆的内部 B．双曲线右支的开口侧 C．抛物线的开口侧 D．圆的内部 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）求圆关于直线对称的圆的方程． 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 19．（23-24高二上·上海·课后作业）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 20．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 21．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $