专题14 二项式定理中的系数等问题4大考向（重难专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

重难点14：二项式定理中的系数等问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年天津卷二项式定理系数问题以5分填空题（10-11题） 为主，考指定项系数/常数项，核心是通项公式+组合数运算，难度基础-易。 预测2026年： 命题形式：5分填空（10-11题）；载体为二项式/多项式相乘，穿插含参（如(ax + b)n求a值）。 基础型：指定项系数/常数项（保分），通项+定r+算系数。中档型：多项式相乘（如(x + 1)(2x - 1)5求x3系数），分拆通项再合并同类项。新情景：含参求系数（如系数为120求n/a）、系数和（赋值法）、有理项个数，强化多解与边界验证。 考向1：二项展开式的特定项 求二项展开式的特定项的常用方法 1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； 2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； 3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 1．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 2．（2025·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数字作答） 3．（2025·天津·一模）以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 4．（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是 ． 5．（2025·天津·一模）的展开式中的常数项为 ． 考向2：二项式系数与系数最值 1、二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 1．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 2．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 3．（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 4．（2025·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 5．（2025·天津滨海新·三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 . 考向3：系数和问题 系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 1．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 2．已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 3．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 4．（2025·天津·一模）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 5．（2025·天津·模拟预测）已知展开式中的常数项是，则实数的值为 考向4：杨辉三角形及应用 1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； 2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 1．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 2．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 3．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 . 5．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． （建议用时：60分钟） 1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为 ． 4．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 5．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 6．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为 . 7．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 8．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 9．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 10．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 11．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 12．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 13．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 14．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 15．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点14：二项式定理中的系数等问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年天津卷二项式定理系数问题以5分填空题（10-11题） 为主，考指定项系数/常数项，核心是通项公式+组合数运算，难度基础-易。 预测2026年： 命题形式：5分填空（10-11题）；载体为二项式/多项式相乘，穿插含参（如(ax + b)n求a值）。 基础型：指定项系数/常数项（保分），通项+定r+算系数。中档型：多项式相乘（如(x + 1)(2x - 1)5求x3系数），分拆通项再合并同类项。新情景：含参求系数（如系数为120求n/a）、系数和（赋值法）、有理项个数，强化多解与边界验证。 考向1：二项展开式的特定项 求二项展开式的特定项的常用方法 1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； 2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； 3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 1．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 【答案】112 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】的展开式中常数项为. 故答案为：112. 2．（2025·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】求出的二项展开式的通式即可求解. 【详解】因为的二项展开式的通式为， 令，所以，所以常数项是. 故答案为：. 3．（2025·天津·一模）以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】B 【分析】求出选项A中数据的第75百分位数，即可判断A；根据相关系数的知识可判断B；求出的展开式中常数项可判断C；根据必然事件、不可能事件的概念可判断D． 【详解】对于A：因为，所以第75百分位数为，故A正确； 对于B：相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，并不说明变量之间不存在其它相关关系，故B错误； 对于C：常数项为，故C正确； 对于D：由必然事件和不可能事件的定义，可得D正确． 故选：B． 4．（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是 ． 【答案】 【分析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案． 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即展开式的常数项是． 故答案为：． 5．（2025·天津·一模）的展开式中的常数项为 ． 【答案】． 【分析】求出的通项公式，令的指数为0，即可求解. 【详解】的通项公式是， ，依题意，令， 的展开式中的常数项为. 故答案为：. 考向2：二项式系数与系数最值 1、二项式系数先增后减中间项最大 （1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； （2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得． 1．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 2．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式系数和求得，再由通项公式即可求解. 【详解】由题意可得，即， 通项公式， 令，可得：， 所以的系数为， 故答案为： 3．（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用展开式求. 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即， 则的通项公式为， 令，则， 所以. 故答案为：. 4．（2025·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 【答案】280 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】由题意可知：二项式系数和为，解得， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：280. 5．（2025·天津滨海新·三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案. 【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则. 则展开式中第项为. 令可得，则的系数为. 故答案为： 考向3：系数和问题 系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 1．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由各项系数之和求得，再由二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的二项展开式中各项系数和为1024，即，． 设的二项展开式的通项为，则， 令，得，故展开式中常数项的值为． 故答案为：210． 2．已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 【答案】/0.015625 【分析】先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得，然后赋值法求解系数和即可. 【详解】二项式的展开式通项， 令，得，故展开式中的常数项为，得（舍去负值）， 则令得展开式中所有项的系数之和为． 故答案为： 3．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 4．（2025·天津·一模）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 【答案】 【分析】根据所有项的二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 5．（2025·天津·模拟预测）已知展开式中的常数项是，则实数的值为 【答案】 【分析】利用二项式定理求出的展开式的通项，令的指数为，求出常数项，建立关于的方程，即可求解. 【详解】由题意得，的展开式的通项为， 令，解得，， 所以的展开式中的常数项为， 解得. 故答案为：. 考向4：杨辉三角形及应用 1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； 2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 1．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 2．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，则=，结合二项式定理可得答案. 【详解】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 3．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】 【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得. 【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是， 第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是， 由 ， 则 . 故答案为：. 4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 . 【答案】111 【分析】由“杨辉三角”的性质，得，前半部分用等差数列求和，后半部分用组合数的性质可得结果，再由即可得解. 【详解】由“杨辉三角”的性质，得 ， 所以. 故答案为： 5．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据杨辉三角数字规律得到，再由组合数公式计算可得. 【详解】依题意可知第行的数从左到右分别为， 所以，即，得，解得或（舍去）， 所以的值为. 故答案为： （建议用时：60分钟） 1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】135 【分析】由二项式定理写出通项，根据题意，利用赋值，结合组合数，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 令，解得，则的系数为. 故答案为：. 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为 ． 【答案】/ 4．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算可得的展开式中项与项的系数，则可得的展开式中的系数. 【详解】对有， 则展开式中项的系数为， 展开式中项的系数为， 则展开式中的系数为. 故答案为： 5．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 6．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】405 【分析】利用二项式定理直接列式求解. 【详解】的展开式常数项为. 故答案为：405 7．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 【答案】 【分析】求解二项式展开式的通项，确定的系数列方程即可得的值. 【详解】二项式的展开式的通项为：， 当可得的系数为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 8．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】15 【分析】写出展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】展开式通项公式为， 令，解得， ，故的系数为15. 故答案为：15 9．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】40 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：40 10．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列中的项落在区间中的项数为． （i）求数列的前项和； （ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，由题意得，可求出公差，从而可求出，设数列的公比为，再由可求出，从而可求出，进而可求出； （2）（i）由题意可得，则可求出，从而可求出，方法一：利用错位相减法可求出，方法二：对变形后，利用累加法可求出；（ii）当时，可得，则可得，当当时，利用累乘法可求得，从而可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为为等比数列，且，，， 所以， 所以， 解得或(不合题意，舍去)， 又因，所以， 设数列的公比为， 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以． （2）（i），， 数列中的项落在区间中的项数满足， 即， 因为， ， 数列中的项落在区间中的项数为， 所以， 所以， 方法一： ， ， 所以． 方法二：， （ii）当时，，则， 所以 又因为， 所以，解得， 所以当时， 所以 ， 所以， 所以， 综上． 11．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】84 【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可. 【详解】根据二项式定理,的通项为: ， 当时,即时,可得. 即项的系数为. 故答案为：. 12．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：. 13．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 14．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 15．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $